童日武， 張劍云， 周青松

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院， 合肥， 230037)

近年來，隨著無線通信技術(shù)的快速發(fā)展特別是5G時(shí)代的到來，頻譜帶寬的需求量日益增加，如何實(shí)現(xiàn)雷達(dá)和無線通信設(shè)備之間的頻譜共存問題受到了越來越多研究者的關(guān)注，而通過波形設(shè)計(jì)的方法可以有效實(shí)現(xiàn)頻譜共存，因此雷達(dá)和無線通信系統(tǒng)之間的頻譜共存波形設(shè)計(jì)成為了研究熱點(diǎn)問題[1]。

目前的研究文獻(xiàn)主要是從雷達(dá)角度出發(fā)，通過波形設(shè)計(jì)的方法實(shí)現(xiàn)與通信系統(tǒng)的頻譜共存。頻譜共存波形設(shè)計(jì)問題主要可分為如下2大類：第1類是在非雜波環(huán)境下的頻譜共存波形設(shè)計(jì)[2-7]。其中文獻(xiàn)[6]研究了在能量約束和相似性約束下的頻譜共享波形設(shè)計(jì)問題，并通過求解半正定規(guī)劃(Semi-Definite Programming，SDP)問題和使用秩-分解定理合成優(yōu)化波形。文獻(xiàn)[7]通過對多共存頻帶局部設(shè)計(jì)，能夠精確控制每個(gè)頻帶的干擾能量。

第2類是考慮在雜波環(huán)境下的頻譜共存波形設(shè)計(jì)，以最大化信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR)為設(shè)計(jì)指標(biāo)。當(dāng)前研究文獻(xiàn)[8-9]大多只考慮了波形的能量約束和相似性約束，沒有對波形的幅度加以約束，而在實(shí)際應(yīng)用中為了能夠充分利用發(fā)射機(jī)發(fā)射功率，往往需要發(fā)射波形具有恒?；蛘咻^低的峰均比特性，因此對波形施加低峰均比約束是十分必要和有意義的。另外上述文獻(xiàn)都是先求解SDP問題，再通過秩-分解定理合成優(yōu)化波形。然而求解SDP問題的運(yùn)算復(fù)雜度較高，秩-分解雖然可以獲得高度近似解，但是只適用于能量約束和相似性約束下的全局頻譜波形設(shè)計(jì)，當(dāng)同時(shí)施加峰均比約束或者局部頻譜設(shè)計(jì)時(shí)將不再適用，因此需要尋找新的有效算法求解本文的優(yōu)化問題。

針對以上問題，本文在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上對波形進(jìn)一步施加了峰均比約束，并分別研究了全局頻譜設(shè)計(jì)和局部頻譜設(shè)計(jì)這2種不同的設(shè)計(jì)方法。針對非凸聯(lián)合優(yōu)化問題，本文提出了一種新穎的循環(huán)迭代算法，在每次迭代過程中將非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為可解的凸優(yōu)化問題，再使用可行點(diǎn)追蹤連續(xù)凸近似(Feasible Point Pursuit Successive Convex Approximation，F(xiàn)PP-SCA)算法[10]直接求出波形的優(yōu)化解。仿真結(jié)果表明了所提算法比現(xiàn)有算法具有更低的運(yùn)算復(fù)雜度，且在施加峰均比約束條件時(shí)，無論是全局頻譜設(shè)計(jì)還是局部頻譜設(shè)計(jì)，都具有很好的適用性和靈活性。

1 信號模型

考慮集中式機(jī)載MIMO雷達(dá)，具有NT個(gè)發(fā)射陣元和NR個(gè)接收陣元。雷達(dá)平臺勻速直線運(yùn)動，速度為v，無偏航。在一個(gè)相干處理間隔內(nèi)發(fā)射M組脈沖信號，脈沖重復(fù)周期為恒定值T，波長為λ，其發(fā)射波形矩陣為ST∈NT×L，L表示每個(gè)陣元發(fā)射波形的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。

當(dāng)目標(biāo)距離雷達(dá)很遠(yuǎn)時(shí)，俯仰角可以忽略不計(jì)。則對于方位角為θ0的目標(biāo)而言，其對應(yīng)第m個(gè)脈沖m=(1,2,…,M)的接收信號在接收端經(jīng)過下變頻和基帶采樣后可表示為：

(1)

式中：at(θ)∈NT×1和ar(θ)∈NR×1分別表示發(fā)射空間導(dǎo)向矢量和接收空間導(dǎo)向矢量，對于發(fā)射和接收陣元間距均為半波長的均勻線陣而言：

(2)

(3)

將Yt,m向量化，則有：

(4)

式中：

(5)

式中：IL為L×L的單位陣；s=vec(S)；?為克羅內(nèi)克積。

(6)

式中：

(7)

式中：p(f0)=[1,ej2πf0,…,ej2π(M-1)f0]T表示歸一化多普勒頻率為f0的時(shí)間導(dǎo)向矢量。為方便起見，使用A0來表示A(f0,θ0)。

對于雜波信號，如圖1所示，將雜波分為2R+1個(gè)等距離環(huán)，每個(gè)距離環(huán)分為Nc個(gè)雜波塊，雜波信號可表示為所有雜波塊信號的疊加[9]。

圖1 雜波距離環(huán)

類似于目標(biāo)信號，位于第r(r=0,±1,…,±R,r=0表示目標(biāo)所在距離環(huán)；r>0表示目標(biāo)后面距離環(huán)；r<0表示目標(biāo)前面距離環(huán))個(gè)距離環(huán)中的第k(k=1,2,…,Nc)個(gè)雜波塊的回波信號表示為：

αc,r,kA(r,fc,r,k,θc,r,k)s

(8)

式中：

(9)

為方便起見，將A(r,fc,r,k,θc,r,k)表示成Ac,r,k。

Jr∈L×L表示轉(zhuǎn)移矩陣[11]，定義如下：

(10)

則雜波信號可表示為：

(11)

雷達(dá)接收機(jī)接收到的總信號為目標(biāo)信號、雜波信號以及內(nèi)部噪聲之和，表示為：

(12)

2 問題闡述

2.1 最大化輸出SINR

接收信號y通過有限長線性接收濾波器w后，輸出信號表示為：

yout=wHy=

(13)

故輸出SINR表示為：

SINR(w,s)=

(14)

進(jìn)一步有：

(15)

(16)

(17)

式中：

Rcns(s)=Rcs(s)+INRLM

(18)

(19)

Rcnw(w)=Rcw(w)+wHwINTL

(20)

(21)

2.2 頻譜兼容性約束

假設(shè)有K個(gè)與機(jī)載MIMO雷達(dá)系統(tǒng)共存的許可頻帶，第k(k=1,2,…,K)個(gè)頻帶范圍為[fk,1,fk,2]，則頻譜共存矩陣[6]表示為：

(22)

式中：ωk為第k個(gè)頻帶的權(quán)重；Rk為第k個(gè)頻帶的共存矩陣，表示為：

(23)

第n(n=1,2,…,NT)個(gè)發(fā)射陣元所發(fā)射的波形sn表示為：

sn=(IL?un)s=Uns

(24)

則MIMO雷達(dá)頻譜兼容性約束表示為：

(25)

式中：EI表示所有頻帶的最大允許干擾總能量。

以上只考慮了全局頻譜約束，只能保證所約束頻帶上總的能量低于設(shè)定門限值，但不能分別對每個(gè)頻帶上能量進(jìn)行精確控制，在實(shí)際應(yīng)用場景中，由于軍事、航海等活動的原因，往往某些特定頻帶比其他頻帶的優(yōu)先級更高，且需要精確控制這些頻帶的允許干擾能量，這樣則需要對每個(gè)頻帶單獨(dú)施加頻譜能量約束。

局部頻譜約束表達(dá)式如下：

(26)

局部頻譜約束和全局頻譜約束之間的關(guān)系如下：

(27)

式(26)進(jìn)一步又可表示為：

(28)

2.3 峰均比約束和相似性約束

發(fā)射波形往往能量恒定，本文假設(shè)波形具有歸一化能量，即sHs=1。

峰均比約束比恒模約束條件更為寬松，低峰均比約束既能保證充分利用發(fā)射機(jī)功率又能進(jìn)一步提高SINR，其表達(dá)式如下[12]：

(29)

當(dāng)ζ=NTL時(shí)，退化為能量約束。當(dāng)ζ=1時(shí)則為恒模約束。

式(29)進(jìn)一步可表示為：

(30)

Φi定義如下：

(m,n)∈{1,2,…,NTL}2

(31)

為了得到良好的波形特性，這里同時(shí)對波形施加相似性約束[6]：

‖s-s0‖2≤ε

(32)

式中：s0表示參考波形；ε(0≤ε≤2)表示相似度。

由上目標(biāo)函數(shù)和約束條件可得全局頻譜設(shè)計(jì)時(shí)優(yōu)化問題如下：

局部頻譜設(shè)計(jì)時(shí)優(yōu)化問題如下：

3 優(yōu)化算法

本節(jié)以全局頻譜設(shè)計(jì)時(shí)的優(yōu)化問題為例提出具體的求解算法，局部頻譜設(shè)計(jì)時(shí)的優(yōu)化問題可用同樣方法求解。

當(dāng)固定s時(shí)，忽略常數(shù)項(xiàng)后可得如下無約束優(yōu)化問題：

(35)

其閉式解為[13]：

(36)

式中：υ(·)表示矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量。

當(dāng)固定w時(shí)，問題(33)等價(jià)于如下優(yōu)化問題：

進(jìn)一步可得：

針對非凸優(yōu)化問題(38)，本文通過以下方法進(jìn)行解決。首先利用Charnes-Cooper變換[9]，問題(38)等價(jià)于如下優(yōu)化問題：

觀察可發(fā)現(xiàn)，問題(39)中的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)。但約束條件中的sHR0w(w)s=1，sHs=t以及sHS0s≥tδε并非凸集，下面將其進(jìn)行凸近似處理。

sHR0w(w)s=1和sHs=t等價(jià)于如下不等式約束：

(40)

則問題(39)可轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題：

t1,t2,t3為輔助變量，u為懲罰項(xiàng)參數(shù)，用來平衡原目標(biāo)函數(shù)和輔助懲罰項(xiàng)。當(dāng)t1,t2,t3等于0時(shí)，問題(41)的解同樣為問題(39)的解[10]。

觀察可發(fā)現(xiàn)sHR0w(w)s≤1+t1是一個(gè)凸集，對于sHR0w(w)s≥1-t1又可作如下凸近似處理。

因?yàn)镽0w(w)是一個(gè)半正定矩陣，故對于任意z(z為復(fù)向量且與s維度相同)，一定有：

(s-z)HR0w(w)(s-z)≥0

(42)

展開可得：

sHR0w(w)s+zHR0w(w)z-2Re(zHR0w(w)s)≥0

(43)

利用式(43)替換約束條件sHR0w(w)s≥1-t1可得：

2Re(zHR0w(w)s)-zHR0w(w)z≥1-t1

(44)

此時(shí)式(44)為凸集。

同理約束條件sHs≥t-t2和sHS0s≥tδε-t3可經(jīng)過凸近似處理為：

(45)

則問題(41)轉(zhuǎn)化成如下可解的凸的二次約束二次規(guī)劃問題：

優(yōu)化問題(46)可通過文獻(xiàn)[10]中FPP-SCA算法求解，在第k次迭代中，令zk=sk-1，則需要求解如下優(yōu)化問題：

本文所提算法的具體步驟如下：

輸入：參考波形s0，懲罰項(xiàng)參數(shù)u，退出條件ξ和η。

輸出：優(yōu)化解sopt，wopt。

步驟1l=1，初始化波形s1=s0，更新R0s(s)和Rcns(s)，根據(jù)式求解w1，根據(jù)式求SINR1。

步驟2l=l+1

3)根據(jù)步驟1求解wl，SINRl。

步驟3重復(fù)步驟2，直到|SINRl-SINRl-1|≤η停止。

步驟4輸出sopt=sl，wopt=wl。

至于運(yùn)算復(fù)雜度，在每次迭代過程中使用本文算法求解s時(shí)相當(dāng)于求解一個(gè)二階錐規(guī)劃(Second-Order Cone Programming，SOCP)問題，其運(yùn)算復(fù)雜度上界(最差情況下)為O((NTL)3.5)，而在文獻(xiàn)[9]中使用半正定松弛方法求解SDP問題的運(yùn)算復(fù)雜度為O((NTL)6.5)，再通過秩-分解恢復(fù)波形的運(yùn)算復(fù)雜度為O((NTL)3)。通過上述分析可以看出本文算法具有更低的運(yùn)算復(fù)雜度。

4 仿真分析

對于參考波形，由于線性調(diào)頻(Liner Frequency Modulation，LFM)信號具有良好的脈沖壓縮特性和模糊度，故本文使用正交線性調(diào)頻信號作為參考波形SLFM∈NT×L，其第(m,n)個(gè)元素的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

SLFM(m,n)=

(48)

式中：m=1,2，…，NT；n=1,2,…,L；s0=vec(SLFM)。

4.1 能量約束下本文算法和文獻(xiàn)[9]中算法性能比較

本部分比較了本文算法和文獻(xiàn)[9]中算法在解決能量約束下的全局頻譜設(shè)計(jì)問題時(shí)的性能。E1=E2=0.000 1，ω1=ω2=1，相似性約束ε=0.3。為了公平比較，避免約束條件對運(yùn)算復(fù)雜度的增加，在使用本文算法時(shí)同樣施加能量約束，但不施加峰均比約束。文獻(xiàn)[9]中的算法4通過求解SDP問題，再使用秩-分解定理恢復(fù)出優(yōu)化波形。

表1給出了在碼長L取不同值時(shí)2種算法的CPU運(yùn)行時(shí)間。從表中可以看出無論L取何值，本文算法都比對比算法具有更少的運(yùn)算時(shí)間，并且隨著L取值的增大，2種算法運(yùn)算時(shí)間的差距越來越大。當(dāng)L=250時(shí)，對比算法顯示“內(nèi)存不足”，即“N/A”，而本文算法仍然可以運(yùn)行。以上說明了本文算法比對比算法具有更低的運(yùn)算復(fù)雜度。

表1 2種算法CPU運(yùn)行時(shí)間比較 s

表2給出了L=100時(shí)2種算法的仿真數(shù)據(jù)，可見本文算法和對比算法結(jié)果幾乎相同。圖2給出了2種算法的脈沖壓縮圖，圖中2種算法圖示幾乎完全重合。

表2 L=100時(shí)2種算法性能比較

圖2L=100時(shí)2種算法脈沖壓縮圖

以上結(jié)果充分說明了本文算法在解決能量約束下的全局頻譜設(shè)計(jì)時(shí)能達(dá)到和對比算法同樣的效果。但更重要的是，本文算法具有更低的運(yùn)算復(fù)雜度以及更強(qiáng)的靈活性和適用性，能夠解決峰均比約束下的波形設(shè)計(jì)以及局部頻譜設(shè)計(jì)問題，而對比算法只適用于能量約束下的全局頻譜設(shè)計(jì)問題。

4.2 不同峰均比約束下的全局頻譜波形設(shè)計(jì)

E1=E2=0.000 1，ω1=ω2=1，相似性約束ε=0.3。設(shè)置ζ=200,1.5,1，由式(29)中定義可知，ζ=200表示能量約束，ζ=1.5表示低峰均比約束，ζ=1表示恒模約束。

圖3給出了在不同峰均比約束下的SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線，從圖中可以看出在未波形設(shè)計(jì)(即使用參考波形s0作為發(fā)射波形，對應(yīng)圖中第1次迭代)時(shí)的SINR值為6.587 6 dB，而通過波形設(shè)計(jì)后SINR都存在明顯提升，當(dāng)ζ=200時(shí)SINR為9.133 6 dB，當(dāng)ζ=1.5時(shí)SINR為9.014 8 dB，當(dāng)ζ=1時(shí)SINR為8.360 7 dB。另外可以看出在能量約束時(shí)SINR最大，隨著ζ的減小SINR也相應(yīng)越來越小，當(dāng)恒模約束時(shí)SINR值最小。這一結(jié)果符合理論預(yù)期，因?yàn)棣频臏p小意味著波形幅度的自由度越來越小，從而導(dǎo)致SINR的下降。但從圖中同時(shí)可以看出，在低峰均比約束下，相對于能量約束而言SINR的損失程度較小，因此在波形設(shè)計(jì)時(shí)設(shè)置低峰均比約束是可以接受的。

圖3 不同峰均比約束下的SINR變化曲線

圖4給出了在不同峰均比約束下的波形能量譜密度(Energy Spectral Density，ESD)，圖中同時(shí)給出了LFM信號的ESD作為參考。從圖中可以看出優(yōu)化后的波形在相應(yīng)頻帶上形成能量凹槽(如圖中陰影部分區(qū)域)，說明了所提算法能夠起到頻譜約束的作用，能夠?qū)崿F(xiàn)頻譜共存。

圖4 不同峰均比約束下的波形能量譜密度圖

圖5給出了不同峰均比約束下的波形幅度變化情況。從圖中可以看出在能量約束時(shí)波形幅度變化最大，隨著ζ的減小，波形幅度變化范圍越來越小，且不會超過峰均比約束幅度上界，當(dāng)ζ=1時(shí)波形幅度恒定，此時(shí)為恒模波形。從以上結(jié)果可以說明本文所提算法很好地起到峰均比約束的效果。

圖5 不同峰均比約束下的波形幅度變化曲線

4.3 不同相似性約束下的全局頻譜波形設(shè)計(jì)

E1=E2=0.000 1，ω1=ω2=1，峰均比約束ζ=1.5。設(shè)置相似性約束ε=2,0.3,0.1。

圖6給出了在不同相似性約束下的SINR變化情況。從圖中可以看出波形優(yōu)化后SINR都存在明顯提升，但在ε=2時(shí)SINR值最大，為9.571 7 dB，隨著ε的不斷減小，SINR值不斷下降，當(dāng)ε=0.1時(shí)，為7.376 7 dB。這一結(jié)果同樣是符合理論預(yù)期的，因?yàn)棣诺臏p小同樣意味著波形的可行集在減小，從而導(dǎo)致了優(yōu)化波形的自由度降低。

圖6 不同相似性約束下的SINR變化曲線

圖7給出了在不同相似性約束下的波形ESD。從圖中可以看出無論ε取值多少，優(yōu)化后的波形都能在相應(yīng)頻帶形成能量凹槽。但同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)ε=2時(shí)，波形的ESD在其他某些頻帶上的分布與LFM信號差異較大，而ε=0.1時(shí)則與LFM信號分布情況非常接近，這也說明了本文算法起到了相似性約束的作用。

圖7 不同相似性約束下的波形能量譜密度圖

圖8給出了在不同相似性約束下的波形脈沖壓縮情況，脈壓經(jīng)過加海明窗處理[14]，圖中同時(shí)給出了LFM信號的脈壓作為參考。從圖中可以看出隨著ε取值的不斷減小，波形脈壓的旁瓣水平在不斷下降，說明了本文算法能夠起到相似性約束的作用。

圖8 不同相似性約束下的波形脈沖壓縮圖

對于局部頻譜設(shè)計(jì)時(shí)的SINR變化曲線，ESD，波形幅度和脈壓情況，具有和全局設(shè)計(jì)時(shí)幾乎相同的結(jié)果，本文不再一一展示，主要區(qū)別或優(yōu)勢是局部頻譜設(shè)計(jì)可以精確控制特定頻帶上的允許干擾能量，而全局頻譜設(shè)計(jì)則只能保證所有特定頻帶上總的干擾能量小于設(shè)定的門限值。

4.4 全局頻譜設(shè)計(jì)和局部頻譜設(shè)計(jì)比較

圖9 全局設(shè)計(jì)和局部設(shè)計(jì)波形能量譜密度

表3 全局設(shè)計(jì)和局部設(shè)計(jì)對應(yīng)頻帶能量值

圖9給出了全局設(shè)計(jì)和局部設(shè)計(jì)下的ESD。從圖中可以看出，無論哪種設(shè)計(jì)方法第一頻帶的能量下降程度都更高，說明了第一頻帶的優(yōu)先級更高。但是對于第一頻帶而言全局設(shè)計(jì)要比局部設(shè)計(jì)下降的能量更多，而對于第二頻帶而言全局設(shè)計(jì)則比局部設(shè)計(jì)下降的能量要少。

表4給出了分別通過全局設(shè)計(jì)和局部設(shè)計(jì)后兩個(gè)頻帶上的能量值，從表中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，具體到每個(gè)頻帶上而言，全局設(shè)計(jì)后第一頻帶能量要遠(yuǎn)小于設(shè)定值E1，說明第一頻帶能量下降過多，而第二頻帶能量則又大于設(shè)定值E2，說明第二頻帶能量下降太少。然而通過局部設(shè)計(jì)后，每個(gè)頻帶上的能量都符合各自頻帶設(shè)定的門限要求。以上說明了局部設(shè)計(jì)能夠精確控制不同頻帶的能量，相比較全局設(shè)計(jì)更具有優(yōu)勢。

5 結(jié)語

本文研究了機(jī)載MIMO雷達(dá)在地雜波環(huán)境下的頻譜共存波形設(shè)計(jì)問題，旨在于通過波形設(shè)計(jì)的方法進(jìn)一步增強(qiáng)雷達(dá)對地面動目標(biāo)的檢測性能，同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)雷達(dá)與通信系統(tǒng)之間的頻譜共存。在設(shè)計(jì)階段，本文對波形進(jìn)一步施加了峰均比約束，并研究了全局頻譜設(shè)計(jì)和局部頻譜設(shè)計(jì)兩種設(shè)計(jì)方法。針對這一復(fù)雜的多約束非凸聯(lián)合優(yōu)化問題，考慮到現(xiàn)有算法的局限性，本文提出了一種新穎的循環(huán)迭代算法。仿真分析部分首先將本文算法和現(xiàn)有算法進(jìn)行了性能比較，證明了所提算法具有更低的運(yùn)算復(fù)雜度，然后具體評估了本文算法在全局頻譜設(shè)計(jì)時(shí)不同峰均比約束對SINR，ESD以及波形幅度的影響，不同相似性約束對SINR，ESD以及波形脈壓特性的影響，最后定量比較了全局設(shè)計(jì)和局部設(shè)計(jì)的各自特點(diǎn)。仿真結(jié)果證明了所提算法的有效性。未來可能的工作是研究在目標(biāo)先驗(yàn)信息不確定時(shí)的機(jī)載MIMO雷達(dá)穩(wěn)健波形設(shè)計(jì)[15-16]。