李林美

逆向思維也稱求異思維，它是對(duì)司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過來思考的一種思維方式，數(shù)學(xué)上常指從結(jié)論往回推，倒過來的思考。當(dāng)一個(gè)人的思維向一個(gè)方向進(jìn)行，或者形成一個(gè)固定的順向模式時(shí)，要轉(zhuǎn)變思維的方向就需要通過相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。

一、活動(dòng)的構(gòu)想與設(shè)計(jì)

低年級(jí)學(xué)生需要借助具體、有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)來學(xué)習(xí)逆向思維。以下結(jié)合學(xué)生愛玩的天性和實(shí)際教學(xué)需要，設(shè)計(jì)了 “玩彈珠”一課的教學(xué)。

（一）動(dòng)手動(dòng)腦相結(jié)合，專注逆向思維

彈珠是小朋友的玩具之一。用小朋友喜歡的玩具作為學(xué)習(xí)材料，更能激發(fā)學(xué)生的探究熱情。學(xué)生在經(jīng)歷了“猜想、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納”等一系列活動(dòng)的過程中思考問題，發(fā)現(xiàn)問題，找到解決問題的方法，在探究學(xué)習(xí)中運(yùn)用逆向思考，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力。

（二）活動(dòng)中學(xué)習(xí)逆向思維

“玩彈珠”采用的學(xué)具是彈珠和帶有坡度的深淺不一的彈珠洞。學(xué)生通過實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)彈珠滾入彈珠洞前后的排列情況。

整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)考慮從兩個(gè)方面來發(fā)展學(xué)生的思維能力：一方面是順向思考，計(jì)算彈珠洞的每個(gè)洞最上面一顆彈珠的編號(hào)之和。另一方面是逆向思考，根據(jù)每個(gè)洞最上面一顆彈珠的編號(hào)之和來排列彈珠的位置，經(jīng)歷從順向思維到逆向思維的過程，并著重學(xué)習(xí)已知編號(hào)之和來排列彈珠位置的方法，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力。

（三）活動(dòng)目標(biāo)

1.經(jīng)歷滾一滾彈珠的操作活動(dòng)，知道彈珠是按順序滾入彈珠洞的，依次填滿高低不同的幾個(gè)彈珠洞，每個(gè)彈珠洞從下往上被填滿。能在滾珠子的活動(dòng)中觀察到每個(gè)彈珠洞最上面彈珠的編號(hào)，正確求和。

2.借助學(xué)習(xí)材料， 嘗試根據(jù)彈珠滾動(dòng)后的結(jié)果（每個(gè)彈珠洞最上面彈珠的編號(hào)之和）來設(shè)計(jì)出彈珠滾動(dòng)前的位置。引導(dǎo)學(xué)生從正向思考到逆向思考，發(fā)展逆向思維。

3.學(xué)生動(dòng)手與動(dòng)腦相結(jié)合，形成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，充分感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂趣。

（四）活動(dòng)流程

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）微課欣賞，了解彈珠的玩法

1.欣賞及交流彈珠的玩法。

師：彈珠有很多種玩法，我們來了解一下。

（師生共同欣賞彈珠的玩法）

師：你們是怎么玩彈珠的？

（生交流玩法）

2.出示課題。

師：這節(jié)課我們一起來玩彈珠。

（二）估一估，滾一滾，探索“滾彈珠”活動(dòng)

1.比眼力——能藏幾顆珠子。

師：這是彈珠洞，每個(gè)小朋友手里都有彈珠，當(dāng)彈珠滾入彈珠洞，每個(gè)彈珠洞（從左到右）最多能裝幾顆彈珠呢？你是怎么想的？

生：我估計(jì)左起第一個(gè)彈珠洞能裝1顆，第二個(gè)能裝4顆，第三個(gè)能裝2顆。

生：我認(rèn)為左起第二個(gè)彈珠洞只能裝3顆，因?yàn)檫@個(gè)洞口不平的，要以低的那個(gè)口子為準(zhǔn)，如果4顆就滾到下面去了。

師：到底能裝幾顆呢？我們來滾一滾。

一生示范，其余學(xué)生觀察，看看自己的猜測(cè)是否正確。

生： 第一個(gè)彈珠洞能裝1顆，第二個(gè)能裝3顆，第三個(gè)能裝2顆。

師：這里還有幾個(gè)不同的彈珠洞，請(qǐng)同學(xué)們估計(jì)它們各能裝幾顆，用手勢(shì)表示。

（課件展示各個(gè)彈珠洞能裝的數(shù)量）

2.感受彈珠依次滾入彈珠洞的過程。

師：（見下圖）這些編號(hào)彈珠落洞后分別滾入哪里？

先獨(dú)立猜想，再和同桌交流你的想法，最后動(dòng)手操作驗(yàn)證。

師：你能具體說說彈珠滾入彈珠洞的情況嗎？

生：左邊的彈珠洞先滾入彈珠，第一個(gè)彈珠洞裝滿后彈珠滾到第二個(gè)、第三個(gè)彈珠洞。

3.理解彈珠滾動(dòng)前后次序及滾動(dòng)后所在位置。

師：你能說說彈珠滾動(dòng)前的排列和滾入彈珠洞后的排列嗎？

生：滾動(dòng)的時(shí)候彈珠按從右到左的次序進(jìn)行（最左邊彈珠洞中先滾入右邊的第一顆彈珠），滾動(dòng)后的彈珠在每個(gè)洞中是從下到上排列的，即彈珠最先滾入洞口最高的彈珠洞，彈珠洞中彈珠排列的順序是下面2號(hào)，上面1號(hào)……

師：請(qǐng)完整地說一說彈珠滾動(dòng)的次序及滾入彈珠洞后各個(gè)彈珠的相應(yīng)編號(hào)。

生：滾入最左邊彈珠洞的彈珠次序是：從下往上2號(hào)、1號(hào)，滾入中間彈珠洞的彈珠次序是：從下往上6號(hào)、3號(hào)、5號(hào)，滾入最右邊彈珠洞的彈珠是4號(hào)。

師：現(xiàn)在我們把滾入彈珠洞的彈珠還原到滾入前的排列位置，再次觀察彈珠前后的位置。（倒推彈珠的初始位置，學(xué)生初步感受逆向思考和操作）

師生總結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)彈珠滾入哪個(gè)洞和彈珠滾動(dòng)前的排列次序有關(guān)，還和彈珠洞深淺（能容納彈彈珠的個(gè)數(shù)）有關(guān)。

（三）提出問題，探究和解決問題

1.提出問題（根據(jù)彈珠洞最上面編號(hào)求和）。

師：如果進(jìn)洞后每個(gè)彈珠洞的最上面彈珠編號(hào)之和就是你的得分，算一算，你得了幾分？（出示下表）

[ 最上面彈珠編號(hào) 得分 最左邊彈珠洞 中間彈珠洞 最右邊彈珠洞 ]

2.探究和解決問題（根據(jù)編號(hào)之和最大或最小設(shè)置彈珠位置）。

（1）如果我想分?jǐn)?shù)最高，那么這些彈珠最初該怎么排列？

（小組討論，排一排位置，滾一滾，填一填上表）

師：經(jīng)過比較，第三組的得分最高，說說你們的設(shè)計(jì)思路。（從順向求彈珠的編號(hào)和到逆向思考要使編號(hào)之和最大，應(yīng)怎樣排列彈珠的初始位置，通過逆向思考來解決問題）

生：我們想把編號(hào)最大的彈珠滾在每個(gè)彈珠洞的最上面，然后就想6號(hào)、5號(hào)、4號(hào)彈珠放在哪些位置上，就會(huì)在它們滾入彈珠洞后出現(xiàn)在每個(gè)彈珠洞的最上面。

生：根據(jù)滾入的順序，應(yīng)該把它們放在從右往左的第2個(gè)、第5個(gè)和第6個(gè)位置上。

師：你這樣設(shè)計(jì)的理由是什么？（通過語言的描述，外化逆向推斷的過程，同時(shí)與操作活動(dòng)相結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生深入體會(huì)逆向思維）

生：在剛才滾彈珠的過程中，我知道彈珠入洞后是從下往上填滿彈珠洞的，滾動(dòng)后我知道從右往左的第2個(gè)、第5個(gè)和第6個(gè)位置上的彈珠會(huì)出現(xiàn)在三個(gè)彈珠洞的最上方。

師：那4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)彈珠放在這三個(gè)位置上有指定的位置嗎？比如4號(hào)是不是一定要放在從右到左的第二個(gè)位置上。

生：我們發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)位置上可以任意擺放4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)彈珠，不會(huì)影響結(jié)果，因?yàn)榈梅侄际菍⑦@三個(gè)數(shù)加起來。

生：交換加數(shù)的位置，得數(shù)相同。

（2）如果要得分最少，你覺得應(yīng)該怎樣排列彈珠的位置？

（生獨(dú)立思考后師指名交流）

生：從右往左數(shù)的第2個(gè)、第5個(gè)和第6個(gè)位置上，放1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)這三個(gè)編號(hào)的彈珠。

師：你是怎么想的？

生：找到每個(gè)彈珠洞最上面彈珠在落洞前的次序，并將編號(hào)之和最小的三個(gè)數(shù)擺放在這三個(gè)關(guān)鍵位置上。

（四）深化問題，拓展練習(xí)

1.深化問題情境。

師：同樣是編號(hào)為1～6號(hào)的6顆彈珠，3號(hào)已經(jīng)排在從右到左的第6個(gè)位置上，剩下的5顆怎樣排列，滾入彈珠洞后三個(gè)洞最上面彈珠之和剛好是13分？

（生獨(dú)立嘗試解決問題，小組操作驗(yàn)證）

師：要解決這個(gè)問題該從哪里入手？

生：觀察彈珠洞分別能滾入彈珠的顆數(shù)，分別是1顆、3顆和2顆。那么最上面的三顆彈珠是從右往左排的第1個(gè)、第4個(gè)和第6個(gè)。

生：先找出和是13的三個(gè)數(shù)可能是哪三個(gè)，然后把這三個(gè)數(shù)擺放在從右往左數(shù)的第1個(gè)、第4個(gè)和第6個(gè)位置上。

生：現(xiàn)在第6個(gè)位置已經(jīng)知道了是3號(hào)，那么剩下第1個(gè)和第4個(gè)位置上的兩顆彈珠之和為10。我們計(jì)算13=3+（）+（），兩顆彈珠的編號(hào)分別是4號(hào)和6號(hào)。

師：你們想得對(duì)嗎？和同桌驗(yàn)證一下。（已知和求加數(shù)的可能性的組合，是逆向計(jì)算與位置排列推斷的結(jié)合，對(duì)學(xué)生運(yùn)用逆向思維解決問題提出了進(jìn)一步的要求，在解決問題的過程中促使學(xué)生逆向思維的發(fā)展）

總結(jié)：根據(jù)總分設(shè)計(jì)彈珠位置分三步走，找到彈珠排列的幾個(gè)關(guān)鍵位置;嘗試找到總和符合要求的那幾顆彈珠;排列后驗(yàn)證。

2.拓展練習(xí)。

師：如果這6顆彈珠（編號(hào)為1～6）的排列位置都不知道，要求入洞后最上面彈珠之和剛好是11分。那你知道要怎樣排列嗎？比一比，誰的方法多。

（同桌討論，完成下表的填寫。之后反饋學(xué)生的設(shè)計(jì)方法，交流想法）

[ 最左邊彈珠洞最上面的編號(hào) 中間彈珠洞最上面的編號(hào) 最右邊彈珠洞最上面的編號(hào) 總分 方法1 11 方法2 方法3 ]

（五）總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，形成結(jié)論

師：根據(jù)彈珠編號(hào)和來設(shè)計(jì)彈珠排列位置，你有什么好的經(jīng)驗(yàn)和大家分享？

生：先要把能組成總分的那幾個(gè)編號(hào)的彈珠找出來，再把這些數(shù)的彈珠排列在關(guān)鍵的位置上。

生：編號(hào)和的列舉要有序，把所有情況都考慮周到。

師生總結(jié)：在解決問題時(shí)，我們可以順向思考，也可以倒過來想一想。從結(jié)果出發(fā)來解決問題，許多問題就能迎刃而解。

三、教學(xué)反思

（一）玩中學(xué)，感受逆向思維

“玩”是孩子們的天性，有了動(dòng)作，兒童的思維就會(huì)更流暢。讓學(xué)生在操作活動(dòng)中親歷發(fā)現(xiàn)和研究的過程，能培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為其后續(xù)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

活動(dòng)設(shè)計(jì)力求學(xué)習(xí)活動(dòng)的變化和有趣。學(xué)生把彈珠滾入三個(gè)不同的彈珠洞，再把滾入彈珠洞的彈珠還原到滾入前的排列位置，并觀察彈珠前后的所在位置，初步感受逆向思維。

（二）活動(dòng)充分結(jié)合逆向思維

活動(dòng)先是求三個(gè)彈珠洞最上面3個(gè)編號(hào)的和，接著根據(jù)和的最大或最小來排列彈珠的位置。根據(jù)和排列彈珠的位置，需要從結(jié)論往回推，倒過來思考6個(gè)數(shù)中和最大是6+5+4，和最小是1+2+3，并根據(jù)和的不同要求把這些編號(hào)的球擺在相應(yīng)的位置上，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)用順向思維解決問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫\(yùn)用逆向思維來解決問題。

在拓展練習(xí)環(huán)節(jié)，教師圍繞用“1～6”編號(hào)的6顆彈珠進(jìn)行排列，設(shè)計(jì)了已知彈珠洞最上面的彈珠編號(hào)和是13，其中3號(hào)排在從右往左數(shù)的第6個(gè)位置上，剩下的5顆彈珠如何進(jìn)行排列的活動(dòng)?；顒?dòng)中學(xué)生首先猜測(cè)、驗(yàn)證三個(gè)彈珠洞最上面的彈珠是擺放在從右往左數(shù)的哪幾個(gè)位置上的彈珠;接著發(fā)現(xiàn)和是13的三個(gè)數(shù)的組合情況，即13=3+（）+（），在1～6的數(shù)中，只有3+4+6這種情況。整個(gè)教學(xué)過程給予學(xué)生充足的活動(dòng)時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生觀察和發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)的不僅僅是一個(gè)題型，而是一種思維方法。

（三）活動(dòng)設(shè)計(jì)有層次

第一層次：用6顆已經(jīng)編號(hào)的彈珠，通過滾一滾，觀察各個(gè)彈珠滾入三個(gè)從左到右的彈珠洞，接著還原彈珠的初始排列順序，初步感受逆向思維。

第二層次：根據(jù)得分最高或最低來排列彈珠位置。由結(jié)果出發(fā)，經(jīng)歷分析、排列、驗(yàn)證、歸納等過程，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。活動(dòng)中學(xué)生獲得了成功的體驗(yàn)。

第三層次：讓學(xué)生根據(jù)結(jié)果（已知編號(hào)和）來設(shè)計(jì)彈珠的擺放位置。這一環(huán)節(jié)中，彈珠滾入三個(gè)彈珠洞的前后排列位置，結(jié)合數(shù)（和）的幾種組成情況，排列結(jié)果有多種，問題難度提高，促使學(xué)生在解決問題的同時(shí)歸納出解決問題的方法，體會(huì)逆向思維在問題解決中的價(jià)值。

（浙江省杭州市建新小學(xué)? ?310005）