趙明華，肖 堯，趙 衡，徐卓君,胡 倩

(湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

0 引言

我國疆域遼闊，地質(zhì)條件復(fù)雜，巖溶就是工程中常見的不良地質(zhì)，其主要分布在我國西南地區(qū)[1]。巖溶區(qū)常見的產(chǎn)物有土洞和溶洞，空洞的存在極大的削弱了基礎(chǔ)承載力，其穩(wěn)定性分析關(guān)系到工程的安全性[2]。因此，對巖溶區(qū)土洞基礎(chǔ)穩(wěn)定性分析具有重要的工程實踐價值。

目前，國內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)對空洞的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究，分析方法主要有模型試驗、數(shù)值分析和理論計算?？紤]軸對稱模型，Baus 和Wang[3]基于室內(nèi)模型試驗，對條形基礎(chǔ)荷載作用下硬黏土中的空洞穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。隨后，Badie和Wang[4]通過模型試驗探討了土洞與基礎(chǔ)偏移位置對承載力的影響。采用離心機(jī)試驗,Kiyosumi等[5]對條形基礎(chǔ)荷載作用下多個空洞的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。模型試驗?zāi)苡行У靥接憴C(jī)理方面的問題，但造價昂貴，對于更多影響因素的探討可采用數(shù)值分析作為補(bǔ)充。Kiyosumi等[6]采用有限元法對多空洞地層上條形基礎(chǔ)的屈服荷載進(jìn)行了計算。在此基礎(chǔ)上，Lee等[7-8]對不排水條件下土洞的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，并探討了傾斜荷載的影響。Xiao等[9-10]采用有限元極限分析法對條形基礎(chǔ)荷載作用下雙層土和巖體中的多空洞穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。理論研究方面，Wang和Hsieh等[11]對、劉輝等[12]考慮軸對稱模型，采用極限分析上限法對條形基礎(chǔ)荷載作用下土洞的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。劉之葵等[13]基于彈性理論，求得條形基礎(chǔ)荷載作用下土洞周邊土體的應(yīng)力狀態(tài)，并采用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，對土洞穩(wěn)定性進(jìn)行了評價。趙明華等[14-15]、胡柏學(xué)等[16]和雷勇等[17]對巖溶區(qū)樁基承載性能進(jìn)行了研究，得到了相應(yīng)的計算公式。李倩倩等[18]和趙衡等[19]采用復(fù)變函數(shù)的方法分別得到了橢圓形、矩形空洞地層應(yīng)力場的精確解答，并對空洞的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。以上理論分析對基礎(chǔ)荷載作用下土洞的穩(wěn)定性進(jìn)行了深入的探討，但仍存在以下不足：其一，以上理論分析方法不能考慮非均布荷載對土洞穩(wěn)定性的影響；其二，現(xiàn)有分析計算方法均采用軸對稱計算模型，其不適用于非對稱條件下土洞穩(wěn)定性的評價。

鑒于此，首先根據(jù)工程實際情況簡化得到8種不同的計算模型；其次，基于Boussinesq解、Mindlin解分別對地層表面基礎(chǔ)荷載、地層內(nèi)部基礎(chǔ)荷載進(jìn)行積分，得到非均布基礎(chǔ)荷載作用下半無限空間內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；然后，基于復(fù)變函數(shù)理論，求得圓形、橢圓形土洞在自重作用下的應(yīng)力，同時得到考慮地下水影響的應(yīng)力表達(dá)式；最后，將基礎(chǔ)荷載作用下的應(yīng)力狀態(tài)與土洞在自重作用下(考慮或不考慮地下水)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行疊加，并引入Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，對土洞穩(wěn)定性進(jìn)行評價。該方法能綜合考慮基礎(chǔ)荷載的非均布及非對稱性，對巖溶區(qū)土洞基礎(chǔ)的初步設(shè)計具有較強(qiáng)應(yīng)用價值。

1 計算模型

根據(jù)工程實際合理簡化得到如圖1所示的8種不同工況條件下的計算模型，并假定：

(1)地層中土洞為深埋空洞，截面形狀簡化為圓形或橢圓形；

(2)土洞縱向無限長，視為平面應(yīng)變問題；

(3)地層中土體為理想彈性均質(zhì)材料。

圖1 假定計算模型Fig.1 Assumed calculation model

圖1中A和B為基礎(chǔ)荷載的兩個端點(diǎn)；O為圓形、橢圓形土洞幾何中點(diǎn)；J為通過O點(diǎn)的垂線與土層表面的交點(diǎn)；d、dl分別為O點(diǎn)與A點(diǎn)的直線距離、水平距離；dh為土洞中心點(diǎn)O到土層表面的垂直距離；dw為土洞中心點(diǎn)O到地下水表面的垂直距離；ξ為基礎(chǔ)的寬度；s為基礎(chǔ)的埋置深度；h為地下水表面到土層表面的距離；r為圓形土洞的半徑；a、b為橢圓形土洞的長軸、短軸；q(l)為基礎(chǔ)荷載。

2 土洞穩(wěn)定性分析

2.1 基礎(chǔ)荷載作用下地層應(yīng)力求解

由圖1可知，基礎(chǔ)荷載作用于地層表面或地層內(nèi)部，下面將分別對兩種不同基礎(chǔ)荷載作用下的地層應(yīng)力進(jìn)行求解。

(1)基礎(chǔ)荷載作用于地層表面

圖2 坐標(biāo)系L1，L2Fig.2 Coordinate systems L1 and L2

圖1(a)、(b)、(e)、(f)為基礎(chǔ)荷載作用于地層表面的情況，以J點(diǎn)為原點(diǎn)，地層表面為x軸，OJ為z軸，建立直角坐標(biāo)系L1,見圖2(a)。

在Boussinesq解的基礎(chǔ)上，對q(l)進(jìn)行積分，可得到基礎(chǔ)荷載作用下任意一點(diǎn)M(x,z)的應(yīng)力，表達(dá)式如式(1)～(3)所示：

(1)

(2)

(3)

(2)基礎(chǔ)荷載作用于地層內(nèi)部

圖1(c)、(d)、(g)、(h)為基礎(chǔ)荷載作用于地層內(nèi)部的情況，以J點(diǎn)為原點(diǎn)，地層表面為x軸，OJ為z軸，建立如圖2(b)所示的直角坐標(biāo)系L2。

在Mindlin解[20]的基礎(chǔ)上，對q(l)進(jìn)行積分，可得到基礎(chǔ)荷載作用下任意一點(diǎn)M(x,z)的應(yīng)力，表達(dá)式如式(4)～(6)所示：

(4)

(5)

(6)

(7)

2.2 土洞在自重作用下應(yīng)力求解

本研究的對象主要包括圓形土洞、橢圓形土洞，下面將分別給出圓形、橢圓形土洞在自重作用下及含地下水時應(yīng)力場的求解，具體內(nèi)容和過程如下：

(1)土洞為圓形時

圖1(a)～(d)為圓形土洞的情況，不考慮地下水時，圓形土洞受力分析如圖3(a)所示，并取直角坐標(biāo)系K1。

圖3 圓形土洞受力分析Fig.3 Force analysis on circular soil cave

圖3中，γs和γn分別為土體的重度、浮重度；q為地下水表面以上土層的荷載；β為地層側(cè)壓力系數(shù)，可由式(7)求得。

β=ν/(1-ν)。

(8)

文獻(xiàn)[21]采用復(fù)變函數(shù)的方法，對該問題進(jìn)行了求解。

取映射函數(shù)：

Ζ=ω(ζ)=rζ。

(9)

解得不考慮地下水時，圓形土洞在重力作用下的應(yīng)力表達(dá)式，如式(10)～(12)所示。

σθ=-0.5μ1μ2(1+α2)+0.5μ3[α+0.5μ4ρ+

0.5μ2α3-μ5(α3+α)]sinθ-0.5μ1μ6(1+3α4)·

cos 2θ+μ3μ6(α5-0.25α3+0.25ρ)sin 3θ， (10)

σρ=0.5μ1μ2(α2-1)-μ1μ6(2α2-0.5+1.5α4)·

cos 2θ-μ3μ6(α5-1.25α3+0.25ρ)sin 3θ-0.5μ3·

[α+μ5(α-α3)+0.5μ2α3-0.5μ7ρ]sinθ，

(11)

τρθ=μ3(0.25μ2α3+0.25μ6ρ-μ8α-0.5μ5)·

cosθ-μ1μ6(0.5-1.5α4+α2)sin 2θ+

μ3μ6(-0.25ρ-α5-0.75α3)cos 3θ，

(12)

式中，σθ，σρ分別為曲線坐標(biāo)下θ，ρ方向上的正應(yīng)力；τρθ為切應(yīng)力；μ1=γsdh；μ2=1/(1-ν)；μ3=γsr；μ4=(1+2ν)/(1-ν)；μ5=1/(2-2ν)；μ6=(1-2ν)/(1-ν)；μ7=(3-2ν)/(1-ν)；μ8=(1-2ν)/(4-4ν)；α=1/ρ。

當(dāng)ρ=1時，可得圓形土洞洞邊的應(yīng)力表達(dá)式，如式(13)～(15)所示。

σθ=-μ1μ2+0.5μ3(1+0.5μ4+0.5μ2-2μ5)·

sinθ-2μ1μ6cos 2θ+μ3μ6sin 3θ，

(13)

σρ=0，

(14)

τρθ=0。

(15)

應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的變換關(guān)系式[22]為：

σx=σρcos2θ+σθsin2θ-2τρθsinθcosθ，

(16)

σz=σρsin2θ+σθcos2θ+2τρθsinθcosθ，

(17)

τxz=(σρ-σθ)sinθcosθ+τρθ(cos2θ-sin2θ)。

(18)

將式(13)～(15)代入式(16)～(18)可得x-z平面直角坐標(biāo)系下圓形土洞在重力作用下洞邊的應(yīng)力表達(dá)式，如式(19)～(21)所示：

sin3θ-2μ1μ6sin2θcos 2θ+μ3μ6sin2θsin 3θ， (19)

2μ5)cos2θ·sinθ-2μ1μ6cos2θcos 2θ+

μ3μ6cos2θsin 3θ，

(20)

sin2θcosθ+μ6(2μ1cos2θ-μ3sin 3θ)sinθcosθ。

(21)

當(dāng)考慮地下水時，圓形土洞受力分析如圖 3(b) 所示，并取直角坐標(biāo)系K2，本研究仍然將土洞作為深埋空洞處理，根據(jù)文獻(xiàn)[21]，則必須滿足dw>5r。

(2)土洞為橢圓形時

圖1(e)～(h)為橢圓形土洞的情況，不考慮地下水時，圓形土洞受力分析如圖4(a)所示，并取坐標(biāo)系K3。

圖4 橢圓形土洞受力分析Fig.4 Force analysis on ellipse soil cave

文獻(xiàn)[18]對上述問題進(jìn)行了求解，由于應(yīng)力表達(dá)式冗長，本研究僅給出計算步驟：

① 令q=0，并將dh，γs，z替換文獻(xiàn)[18]中的d，γ0，y便可得到橢圓形土洞在自重作用下的應(yīng)力表達(dá)式。

②令ρ=1，可得在復(fù)平面內(nèi)橢圓形土洞洞邊的應(yīng)力表達(dá)式。

③將復(fù)平面內(nèi)橢圓形土洞洞邊的應(yīng)力表達(dá)式轉(zhuǎn)換為直角平面內(nèi)的應(yīng)力表達(dá)式，轉(zhuǎn)換關(guān)系如式(22)所示[23]。

(22)

式中，θ為復(fù)平面極坐標(biāo)系的角度；θ1為直角平面極坐標(biāo)系的角度。

當(dāng)考慮地下水時，橢圓形土洞受力分析如圖4(b) 所示，并取坐標(biāo)系K4，本研究仍然將土洞作為深埋空洞處理，根據(jù)文獻(xiàn)[21]，則必須滿足dw>5a。

2.3 土洞穩(wěn)定性評價

將基礎(chǔ)荷載作用下產(chǎn)生的應(yīng)力與土洞洞邊在重力作用下(考慮地下水或不考慮地下水)產(chǎn)生的應(yīng)力疊加，可得到基礎(chǔ)荷載作用下的土洞洞邊應(yīng)力表達(dá)式：

σx=ψx+φx，

(23)

σz=ψz+φz，

(24)

τxz=ψxz+φxz，

(25)

在利用式(23)～(25)對應(yīng)力進(jìn)行疊加時，統(tǒng)一按切應(yīng)力以順時針方向為正、壓應(yīng)力為負(fù)、拉應(yīng)力為正。

則可求得相應(yīng)的最大、最小主應(yīng)力為：

(26)

(27)

土體極限平衡狀態(tài)時的莫爾圓與抗剪強(qiáng)度包線的關(guān)系如圖5所示。

圖5 Mohr應(yīng)力圓與強(qiáng)度的關(guān)系Fig.5 Relationship between Mohr stress circle and strength

圖5中，c為土體的黏聚力；φ為土體的內(nèi)摩擦角；τ為切應(yīng)力；σ為正應(yīng)力。

由圖5可得土體破壞時的條件：

(28)

式(28)中規(guī)定壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)，與式(26)、式(27)中符號規(guī)定相反，因此，將式(26)、式(27)代入式(28)時，需對符號正負(fù)號進(jìn)行變換。若：

(29)

則可判斷土體破壞，土洞處于不穩(wěn)定狀態(tài)；反之，土洞處于穩(wěn)定狀態(tài)。

2.4 土洞穩(wěn)定性評價計算步驟

為了便于分析，給出了不同工況下的分析步驟，如圖6所示。

(1)對基礎(chǔ)荷載作用下的地層應(yīng)力進(jìn)行求解：基礎(chǔ)荷載作用于地層表面時，采用 Boussinesq解積分式求解；基礎(chǔ)荷載作用于地層內(nèi)部時，采用Mindlin解積分式求解。

(2)建立土洞在自重影響下應(yīng)力場的計算模型，基于復(fù)變函數(shù)的方法對考慮地下水或不考慮地下水時，圓形土洞或橢圓形土洞在自重影響下的應(yīng)力場進(jìn)行求解，并得到土洞洞邊應(yīng)力分量的表達(dá)式。

(3)將基礎(chǔ)荷載作用下的地層應(yīng)力表達(dá)式與土洞在重力作用下洞邊應(yīng)力分量的表達(dá)式進(jìn)行疊加，得到基礎(chǔ)荷載作用下的土洞洞邊應(yīng)力分量表達(dá)式。

(4)引入Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，對土洞洞邊上的點(diǎn)進(jìn)行驗算，從而判斷土洞是否穩(wěn)定。

圖6 土洞穩(wěn)定性評價計算過程Fig.6 Calculation process of soil cave stability assessment

3 算例

某工程[2]采用1.6 m×1.6 m的獨(dú)立柱基，如圖7所示?；A(chǔ)埋深為1 m，基底以下為硬塑黏土，地下水為潛水，水位埋深為地面以下1.8 m,硬塑黏土承載力標(biāo)準(zhǔn)值fk=200 kPa，黏土重度γs=18 kN/m3，c=50 kPa，φ=26°，基底附加應(yīng)力P0=180 kPa，基礎(chǔ)底面以下5.0 m 處有一洞高為0.60 m的土洞，土洞內(nèi)無充填物，硬塑黏土側(cè)壓力系數(shù)β取0.5。

圖7 工程概況(單位：m)Fig.7 Project profile(unit:m)

該工程實例與本研究圖1(d)的情況一致，此時s=1 m，h=1.8 m，dw=4.5 m，dl=-0.8 m，ξ=1.6 m，r=0.3 m，q(l)=180 kPa，γn=8 kN/m3。

由于該問題為軸對稱問題，本研究按照文獻(xiàn)[2]的做法，取a(θ=0°)、a(θ=30°)、a(θ=60°)、a(θ=90°)作為土洞穩(wěn)定性的驗算點(diǎn)。根據(jù)圖6給的計算步驟，可得應(yīng)力計算結(jié)果如表1所示。

表1 應(yīng)力計算結(jié)果Tab.1 Stress calculation result

將σ1，σ3代入式(12)，可知a，b，c，d均處于穩(wěn)定狀態(tài)，因此可以判斷該土洞在基礎(chǔ)荷載作用下穩(wěn)定，這與文獻(xiàn)[2]所得結(jié)論是一致的。

4 結(jié)論

(1) 根據(jù)土洞上方基礎(chǔ)的承載特性，綜合考慮了地下水、土體自重、溶洞形狀對土洞穩(wěn)定性的影響，提出了8種不同條件下土洞穩(wěn)定性計算模型，為基礎(chǔ)荷載作用下土洞的穩(wěn)定性分析奠定了基礎(chǔ)。

(2) 通過對Boussinesq解、Mindlin解進(jìn)行積分，得到基礎(chǔ)荷載作用在地層表面、地層內(nèi)部時地層應(yīng)力表達(dá)式，并基于復(fù)變函數(shù)方法求得土洞在自重影響下的洞邊應(yīng)力，將二者疊加得到了基礎(chǔ)荷載作用下土洞洞邊應(yīng)力狀態(tài)。

(3) 根據(jù)應(yīng)力分量求得最大、最小主應(yīng)力，引入Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，選取離基礎(chǔ)較近的土洞周圍的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行驗算，從而對土洞穩(wěn)定性進(jìn)行評價。