含信用等級(jí)遷移的公司債券基于雙資產(chǎn)的結(jié)構(gòu)化定價(jià)

梁 進(jìn)，包俊利

（同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200092）

近幾年來(lái)，信用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)資產(chǎn)投資的威脅日益增大。2007年的次貸危機(jī)和歐債危機(jī)都由信用風(fēng)險(xiǎn)引發(fā)，對(duì)整個(gè)全球市場(chǎng)造成了巨大的沖擊，以致投資者和發(fā)行商在對(duì)金融產(chǎn)品定價(jià)時(shí)越來(lái)越重視信用風(fēng)險(xiǎn)可能帶來(lái)的損失。由于金融產(chǎn)品發(fā)行者和投資者信息的不對(duì)稱，投資者自身很難把握投資的金融產(chǎn)品所含的信用風(fēng)險(xiǎn)大小，目前由信用評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)評(píng)定的信用等級(jí)就成了信用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的主流方法。它們針對(duì)受評(píng)對(duì)象實(shí)時(shí)的經(jīng)營(yíng)狀況，投資資本等數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)研分析，給予受評(píng)對(duì)象信用風(fēng)險(xiǎn)的總體評(píng)價(jià)。所以考慮到信用等級(jí)對(duì)金融產(chǎn)品價(jià)格的影響力，在金融產(chǎn)品定價(jià)之中加入可能發(fā)生的信用等級(jí)遷移將更加符合金融市場(chǎng)的需求。

目前對(duì)含信用風(fēng)險(xiǎn)的金融產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)已經(jīng)有了大量的研究工作。定價(jià)的主流方法有兩種：一是由 Jarrow 等［1］首先提出的約化法（reduced form approach），二是由 Merton［2］首先提出的結(jié)構(gòu)化法（structure approach）。在約化法中，違約作為外生隨機(jī)變量，違約事件隨機(jī)發(fā)生，一般用違約率或違約強(qiáng)度來(lái)刻畫(huà)未定權(quán)益違約過(guò)程。Turnbull等［3］和Duffie等［4］都通過(guò)約化法對(duì)金融產(chǎn)品違約問(wèn)題做了進(jìn)一步推廣。在結(jié)構(gòu)化法中，Merton最初假設(shè)公司資產(chǎn)遵循Brown運(yùn)動(dòng)，若在到期日公司無(wú)法償還債務(wù)，則判定違約。隨后Black等［5］將Merton的模型進(jìn)一步完善到違約事件可在任何時(shí)刻發(fā)生。Jarrow等［6］考慮到信用變換對(duì)金融產(chǎn)品價(jià)格的影響，構(gòu)造了信用轉(zhuǎn)移概率矩陣，來(lái)刻畫(huà)在任意時(shí)刻違約的概率。隨后Arvanitis等［7］對(duì)模型作了進(jìn)一步的推廣和完善。但信用風(fēng)險(xiǎn)變換仍被視作外生變量，梁進(jìn)等［8］首次考慮到公司資產(chǎn)狀況是影響公司信用變換的關(guān)鍵因素，所以在金融產(chǎn)品結(jié)構(gòu)化法定價(jià)中用公司資產(chǎn)的變換過(guò)程來(lái)刻畫(huà)信用等級(jí)遷移，并對(duì)新模型做了相應(yīng)的理論證明和數(shù)值模擬。隨后梁進(jìn)等［9-13］解決了信用等級(jí)遷移邊界是自由邊界的情形以及將信用等級(jí)遷移問(wèn)題推廣到利率互換衍生品定價(jià)模型。

由于公司資產(chǎn)種類的多樣性，不同公司資產(chǎn)收益和波動(dòng)率不同。僅用總資產(chǎn)的變動(dòng)過(guò)程往往不能充分刻畫(huà)信用等級(jí)遷移。所以本文將梁進(jìn)等的方法推廣到基于流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)影響下的定價(jià)問(wèn)題。考慮部分公司當(dāng)流動(dòng)資產(chǎn)不足時(shí)，違約風(fēng)險(xiǎn)可能就會(huì)急劇增大，違約風(fēng)險(xiǎn)受流動(dòng)資產(chǎn)影響顯著。同時(shí)也有公司的違約風(fēng)險(xiǎn)對(duì)流動(dòng)資產(chǎn)的靈敏度不高。為綜合考慮，分別用關(guān)于流動(dòng)資產(chǎn)的信用等級(jí)遷移邊界和關(guān)于雙資產(chǎn)的信用等級(jí)遷移邊界來(lái)刻畫(huà)信用等級(jí)風(fēng)險(xiǎn)，使得信用風(fēng)險(xiǎn)的變換過(guò)程得到進(jìn)一步的擴(kuò)展。

基于此，本文將對(duì)含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的公司債券基于雙資產(chǎn)的結(jié)構(gòu)化定價(jià)進(jìn)行研究。在Merton的公司債券結(jié)構(gòu)化定價(jià)方法的基礎(chǔ)上，建立含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的公司債券基于流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的模型假設(shè)，分別用流動(dòng)資產(chǎn)信用等級(jí)遷移邊界和雙資產(chǎn)信用等級(jí)遷移邊界來(lái)刻畫(huà)信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)。分析公司債券的未來(lái)預(yù)期收益，用Feynman-Kac公式［14］給出在遷移邊界處耦合的偏微分方程組，再在信用等級(jí)遷移邊界處添加一階導(dǎo)數(shù)條件或線性組合條件，從而得到定價(jià)模型。進(jìn)一步求得模型的解析解和數(shù)值解，數(shù)值分析兩種模型中債券價(jià)格關(guān)于時(shí)間和雙資產(chǎn)的變化情況。至此，本文提供了含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的公司債券基于雙資產(chǎn)影響下的結(jié)構(gòu)化定價(jià)模型、求解方法以及數(shù)值結(jié)果。

1 基于雙資產(chǎn)的含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的債券定價(jià)模型

公司債券是由公司發(fā)行的約定在一定期限內(nèi)還本付息的有價(jià)證券。公司債券的還款主要來(lái)源于公司的經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，在Merton的公司債券結(jié)構(gòu)化定價(jià)方法中若在到期日公司無(wú)法償還債券，則判定債券違約，此時(shí)用公司剩余資產(chǎn)價(jià)值償還債券。若公司在經(jīng)營(yíng)過(guò)程中資產(chǎn)減少，則公司在到期日無(wú)法還本付息的風(fēng)險(xiǎn)增大；而若公司在經(jīng)營(yíng)過(guò)程中資產(chǎn)增加，則公司在到期日無(wú)法還本付息的風(fēng)險(xiǎn)減小。即公司資產(chǎn)是評(píng)判公司債券是否違約的重要指標(biāo)。在Merton結(jié)構(gòu)化模型的基礎(chǔ)上，為評(píng)估公司的違約風(fēng)險(xiǎn)，設(shè)定信用等級(jí)遷移邊界，當(dāng)公司資產(chǎn)低于信用等級(jí)遷移邊界時(shí)為低信用等級(jí)，當(dāng)公司資產(chǎn)高于信用等級(jí)遷移邊界時(shí)為高信用等級(jí)。隨著公司經(jīng)營(yíng)和資產(chǎn)變動(dòng)，公司的信用等級(jí)也可能發(fā)生遷移，由此建立含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的債券定價(jià)模型。

本文考慮到公司資產(chǎn)種類的多樣性，不同類別的公司資產(chǎn)收益和波動(dòng)率不同，僅用總資產(chǎn)的變動(dòng)過(guò)程往往不能充分刻畫(huà)信用等級(jí)遷移。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多資產(chǎn)的公司結(jié)構(gòu)已經(jīng)有了一定的研究［15-16］，假設(shè)各類風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)服從各自的幾何布朗運(yùn)動(dòng)從而建立起模型。本文僅從流動(dòng)性角度，將公司資產(chǎn)分為流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)，并借鑒學(xué)者們對(duì)公司資產(chǎn)的假設(shè)，從而建立基于雙資產(chǎn)的含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的債券定價(jià)模型。即假設(shè)公司資產(chǎn)分為流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)，兩者滿足不同的幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程。同時(shí)，考慮到存在公司流動(dòng)資產(chǎn)不足時(shí)，違約風(fēng)險(xiǎn)可能就會(huì)急劇增大，違約風(fēng)險(xiǎn)受流動(dòng)資產(chǎn)影響顯著。但也存在公司固定資產(chǎn)兌現(xiàn)能力強(qiáng)，違約風(fēng)險(xiǎn)對(duì)流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的變動(dòng)都會(huì)有顯著影響的情形。所以，設(shè)置兩類信用等級(jí)遷移邊界（流動(dòng)資產(chǎn)信用等級(jí)遷移邊界以及雙資產(chǎn)信用等級(jí)遷移邊界）來(lái)刻畫(huà)信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)。

分析含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的公司債券未來(lái)預(yù)期收益的所有貼現(xiàn)情況，一種是到期日公司債券的償還或是公司違約后償還的剩余價(jià)值，另一種是公司債券在到期日前發(fā)生信用等級(jí)遷移后的債券價(jià)值。利用Fecnman-Kac公式求得債券價(jià)值的偏微分方程。為保證偏微分方程解的唯一性，在信用等級(jí)遷移邊界處引入一階導(dǎo)數(shù)條件或線性組合條件，從而建立起含信用遷移風(fēng)險(xiǎn)的公司債券基于流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的定價(jià)模型。

1.1 流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型假設(shè)

假設(shè)1基本假定：假設(shè)市場(chǎng)完備，不存在套利機(jī)會(huì)，設(shè)定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)r。

假設(shè)2公司債券：假設(shè)公司債務(wù)只由單一的零息債券構(gòu)成。債券面值為F，到期日為T，債券在t時(shí)刻價(jià)值記為Φt。

假設(shè)3公司資產(chǎn)：公司總資產(chǎn)分為流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)，兩者在t時(shí)刻價(jià)值分別記為St和Vt。固定資產(chǎn)變現(xiàn)系數(shù)記為α（0＜α＜1），表示固定資產(chǎn)兌換成流動(dòng)資產(chǎn)的能力。

假設(shè)4債券違約：若在到期日公司總資產(chǎn)價(jià)值St+αVt低于F，判定公司違約，此時(shí)清算公司資產(chǎn)，并用于償還公司債券，不考慮手續(xù)費(fèi)及其他額外費(fèi)用。

假設(shè)5信用等級(jí)：假設(shè)公司只分為兩個(gè)信用等級(jí)，高信用等級(jí)和低信用等級(jí)。在流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型中，公司流動(dòng)資產(chǎn)不足時(shí)，違約風(fēng)險(xiǎn)會(huì)急劇增大，所以假設(shè)公司信用等級(jí)遷移只與流動(dòng)資產(chǎn)相關(guān)。設(shè)定信用等級(jí)遷移邊界為K，當(dāng)流動(dòng)資產(chǎn)價(jià)值St低于K時(shí)，公司為低信用等級(jí)；當(dāng)流動(dòng)資產(chǎn)價(jià)值高于K時(shí)，公司為高信用等級(jí)。

假設(shè)6 公司資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程：流動(dòng)資產(chǎn)價(jià)值St遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng)

式中：σ1、σ2分別為公司處在低、高信用等級(jí)下流動(dòng)資產(chǎn)的波動(dòng)率，由于高信用等級(jí)下公司運(yùn)營(yíng)穩(wěn)定，所以資產(chǎn)波動(dòng)較小，即有σ1＞σ2；W(S)t為由完備帶流概率空間 (Ω，?，{?t}t≥0，P)生成的標(biāo)準(zhǔn) Brown運(yùn)動(dòng)。

固定資產(chǎn)價(jià)值Vt遵循如下幾何Brown運(yùn)動(dòng)：

式中：σ3為固定資產(chǎn)的波動(dòng)率；W(V)t也為定義在完備帶域流概率空間(Ω，?，{?t}t≥0，P)上的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，滿足Cov(W(S)t，W(V)t)=ρ以及||ρ≤1。

隨著公司的經(jīng)營(yíng)，公司資產(chǎn)狀況不斷發(fā)生變化，信用等級(jí)也可能發(fā)生遷移。記公司首次發(fā)生信用等級(jí)遷移的時(shí)刻如下式：

式中：τ1、τ2分別對(duì)應(yīng)公司從低、高信用等級(jí)轉(zhuǎn)移到高、低信用等級(jí)的初始時(shí)刻。

1.2 流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型的公司債券現(xiàn)金流

考慮一份含信用等級(jí)遷移的零息公司債券。根據(jù)無(wú)套利原理，債券的價(jià)值等于債券未來(lái)所有預(yù)期收益的貼現(xiàn)之和。當(dāng)公司處于低信用等級(jí)時(shí)，公司債券在未來(lái)有兩種可能收益：第一種在到期日前未發(fā)生信用等級(jí)遷移，到期日T獲得收益min{ST+αVT，F(xiàn)}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級(jí)遷移，變?yōu)楦咝庞玫燃?jí)的公司債券。

當(dāng)公司處于高信用等級(jí)時(shí)，公司債券在未來(lái)也有兩種可能收益：第一種到期日前未發(fā)生信用等級(jí)遷移，在到期日T獲得收益min{S+αV，F(xiàn)}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級(jí)遷移，變?yōu)榈托庞玫燃?jí)的公司債券。公司處于低、高信用等級(jí)下的債券價(jià)值記為Φ1、Φ2。由此可推導(dǎo)出公司分別處在低、高信用等級(jí)下的公司債券的現(xiàn)金流表達(dá)式，如下式：

公司處于低信用等級(jí)狀態(tài)下，即當(dāng)St≤K時(shí)，

公司處于高信用等級(jí)狀態(tài)下，即當(dāng)St＞K時(shí)，

式中：Ω1=(0，K]×R+×(0，T]，表示低信用等級(jí)區(qū)域；Ω2=(K，+∞)×R+×(0，T]，表示高信用等級(jí)區(qū)域。

1.3 流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型的偏微分方程組

在現(xiàn)金流公式（4）、（5）充分光滑的情況下，根據(jù)Feynman-Kac公式可轉(zhuǎn)換成如下耦合的偏微分方程組：

其中，i=1，2。證明過(guò)程可參照文獻(xiàn)［14］。在信用等級(jí)遷移的邊界K上，由無(wú)套利假設(shè)可得如下連續(xù)條件：

但僅有連續(xù)條件會(huì)致使解存在但不唯一。為求得定解，在信用等級(jí)邊界處推導(dǎo)出一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件或添加線性組合條件，從而給出如下兩種定價(jià)模型。分別記為流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型和流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界線性組合模型。

1.3.1 流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型

利用Δ-對(duì)沖推導(dǎo)出在信用等級(jí)遷移邊界處導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。通過(guò)持有Δ1份額的流動(dòng)資產(chǎn)，Δ2份額的固定資產(chǎn)以及賣出一份公司債券來(lái)構(gòu)建一份無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合Πt。由于信用等級(jí)遷移并不會(huì)使得投資組合價(jià)值發(fā)生突變，以及流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界遷移不考慮固定資產(chǎn)變換的影響可推得

推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)［8］。在二維偏微分方程組式（6）中添加上述連續(xù)條件式（7）和一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件式（8），得到如下流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型：

1.3.2 流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界線性組合模型

設(shè)W1(S，V，t)、W2(S，V，t)為不考慮信用等級(jí)遷移，公司分別處在低、高信用等級(jí)下的公司債券價(jià)值。分析W1(S，V，t)、W2(S，V，t)預(yù)期的收益，可推出如下的現(xiàn)金流：

推導(dǎo)出解析解如下：

其中

在信用等級(jí)邊界處應(yīng)同時(shí)考慮低、高信用等級(jí)對(duì)債券價(jià)值的影響，則考慮在信用等級(jí)邊界處滿足如下線性組合條件：

在二維偏微分方程組式（6）中添加上述連續(xù)條件式（7）和線性組合條件式（13），得到如下流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界線性組合模型：

1.4 雙資產(chǎn)信用邊界模型假設(shè)

假設(shè)1到假設(shè)4同流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型相同，不再贅述。

假設(shè)5 信用等級(jí)：假設(shè)公司信用只分為兩個(gè)信用等級(jí)，高信用等級(jí)和低信用等級(jí)。在雙資產(chǎn)信用邊界模型中，當(dāng)公司總資產(chǎn)不足時(shí)，違約風(fēng)險(xiǎn)才會(huì)急劇增大，所以假設(shè)公司信用等級(jí)遷移與流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)都相關(guān)。設(shè)定信用等級(jí)遷移邊界為K，當(dāng)公司總資產(chǎn)價(jià)值低于K時(shí)，公司為低信用等級(jí)；當(dāng)公司總資產(chǎn)價(jià)值St+αVt高于K時(shí)，公司為高信用等級(jí)。

假設(shè)6 公司資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程：流動(dòng)資產(chǎn)價(jià)值St遵循如下幾何Brown運(yùn)動(dòng)：

式中：σ3、σ4是公司分別處在低、高信用等級(jí)下固定資產(chǎn)的波動(dòng)率。

記公司首次發(fā)生信用等級(jí)遷移的時(shí)刻如下：

式中：τ3、τ4分別對(duì)應(yīng)公司從低、高信用等級(jí)轉(zhuǎn)移到高、低信用等級(jí)的初始時(shí)刻。

1.5 雙資產(chǎn)信用邊界模型的現(xiàn)金流

考慮一份含信用等級(jí)遷移的零息公司債券。根據(jù)無(wú)套利原理，債券的價(jià)值等于債券所有預(yù)期收益的貼現(xiàn)之和。當(dāng)公司處于低信用等級(jí)時(shí)，公司債券在未來(lái)有兩種可能收益：第一種在到期日前未發(fā)生信用等級(jí)遷移，到期日T獲得收益min{ST+αVT，F(xiàn)}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級(jí)遷移，變?yōu)楦咝庞玫燃?jí)的公司債券。

當(dāng)公司處于高信用等級(jí)時(shí)，公司債券在未來(lái)也有兩種可能收益：第一種到期日前未發(fā)生信用等級(jí)遷移，在到期日獲得收益min{ST+αVT，F(xiàn)}；第二種在到期日前發(fā)生信用等級(jí)遷移，變?yōu)榈托庞玫燃?jí)的公司債券。公司處于低、高信用等級(jí)下的債券價(jià)值記為Φ3、Φ4。由此可推導(dǎo)出如下公司分別處在低、高信用等級(jí)下的公司債券的現(xiàn)金流表達(dá)式，即式（18）和式（19）。

其中

1.6 雙資產(chǎn)信用邊界模型的偏微分方程組

在現(xiàn)金流公式（18）、（19）充分光滑的情況下，根據(jù)Feynman-Kac公式可轉(zhuǎn)換成如下耦合的偏微分方程組：

其中，i=3，4；j=1，2。由無(wú)套利得連續(xù)條件

其中

在信用等級(jí)邊界處推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)相關(guān)條件，從而給出如下定價(jià)模型，記為雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型。

利用Δ-對(duì)沖推導(dǎo)出在信用等級(jí)遷移邊界處導(dǎo)數(shù)相關(guān)條件。通過(guò)持有Δ1份額的流動(dòng)資產(chǎn)，Δ2份額的固定資產(chǎn)以及賣出一份公司債券來(lái)構(gòu)建一份無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合Πt，即Πt=Δ1St+Δ2Vt-Φt，且滿足dΠt=rΠtdt，其中

信用等級(jí)遷移并不會(huì)使得投資組合價(jià)值發(fā)生突變，即Πt在信用等級(jí)遷移邊界處連續(xù)。所以在邊界處Ω5有

推得

在二維偏微分方程組（20）中添加上述連續(xù)條件（21）和一階導(dǎo)數(shù)相關(guān)條件（22），推得如下雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型：

2 模型求解

2.1 流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型的數(shù)值解

運(yùn)用有限差分法求解流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型的數(shù)值解。先對(duì)方程組做自變量變換x=lnS，y=lnV，τ=T-t（仍記為t），得

再選取方程組的部分區(qū)域進(jìn)行剖分，建立網(wǎng)格xm=mΔh，yn=nΔh，ts=sΔt，定義函數(shù)。然后將微商轉(zhuǎn)換為差商，推導(dǎo)出差分格式，化簡(jiǎn)成如下遞推關(guān)系式：

最后沿時(shí)間方向依次算出各網(wǎng)點(diǎn)的數(shù)值解。模型結(jié)合文獻(xiàn)［17］，選取合乎市場(chǎng)的參數(shù)做數(shù)值分析。F=1，K=1.5，T=3，σ1=0.2，σ2=0.4，σ3=0.1，r=0.04。

圖1顯示了當(dāng)流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)取定后，公司債券價(jià)值Φ關(guān)于時(shí)間t的曲線圖。曲線單調(diào)上升，說(shuō)明了離到期日越近，債券價(jià)值越高。流動(dòng)資產(chǎn)越大，債券價(jià)值也越高。

圖2顯示了當(dāng)時(shí)間和固定資產(chǎn)取定后，公司債券價(jià)值Φ關(guān)于流動(dòng)資產(chǎn)S的曲線圖。曲線單調(diào)上升，說(shuō)明了流動(dòng)資產(chǎn)越高，債券違約概率越小，債券價(jià)值也就越大，并趨近于債券面值的貼現(xiàn)。公司資產(chǎn)固定，資產(chǎn)時(shí)間越大，即離到期日越近，債券價(jià)值越高。

圖3顯示了當(dāng)時(shí)間和流動(dòng)資產(chǎn)取定后，公司債券價(jià)值Φ關(guān)于固定資產(chǎn)V的曲線圖。曲線單調(diào)上升，說(shuō)明了固定資產(chǎn)越高，債券價(jià)值也就越大，并趨近于債券面值的貼現(xiàn)值。

圖1 公司債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間的曲線圖Fig.1 Values of corporate bond on time

圖2 公司債券價(jià)值關(guān)于流動(dòng)資產(chǎn)的曲線圖Fig.2 Values of corporate bond on current assets

圖3 公司債券價(jià)值關(guān)于固定資產(chǎn)的曲線圖Fig.3 Values of corporate bond on fixed assets

2.2 流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界線性組合模型的解析解

推導(dǎo)低信用等級(jí)下公司債券的解析解，高信用等級(jí)下公司債券的解析解同理可得。先做自變量變換，令，τ=T-t（仍記為t）。記Ω6=(-∞，0)×R×(0，T]，得

其中

構(gòu)造輔助函數(shù)q(x，y，t)滿足

可解得

令U(x，y，t)=Φ1(x，y，t)-q(x，y，t)，則U（x，y，t）滿足如下方程式：

為了消除一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，選取合適的b1、b2、b3做函數(shù)變換

得

其中

為了消去交叉項(xiàng)，做自變量變換

代入方程（28），得

考慮Green函數(shù)

關(guān)于m做奇延拓如下式：

方程式（30）的解如下式：

所以方程式（29）的解如下式：

推得

由此

回到原自變量，得

2.3 雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型的數(shù)值解

同流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型相同，運(yùn)用有限差分法求解雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型的數(shù)值解。模型結(jié)合文獻(xiàn)［17］，選取合乎市場(chǎng)的參數(shù)做數(shù)值分析。F=1，K=1.5，T=3，σ1=0.2，σ2=0.4，σ3=0.1，σ4=0.2，α=0.7，r=0.04。

圖4顯示了在低信用等級(jí)下雙資產(chǎn)信用邊界模型Φ1和流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型Φ2的公司債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間的曲線圖。曲線單調(diào)上升，說(shuō)明離到期日越近，債券價(jià)值越高。取相同參數(shù)的前提下，雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型的債券價(jià)值低于流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型。

圖5顯示了在高信用等級(jí)下雙資產(chǎn)信用邊界模型Φ2和流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型Φ4的公司債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間的曲線圖。相較于低信用等級(jí)，兩模型的差異較小。

圖6顯示了雙資產(chǎn)信用邊界模型Φi(i=1，2)和流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型Φj(j=3，4)的公司債券價(jià)值關(guān)于流動(dòng)資產(chǎn)S的曲線圖。取相同參數(shù)的前提下，雙資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)相關(guān)模型的債券價(jià)值低于流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界導(dǎo)數(shù)連續(xù)模型。

圖4 低信用等級(jí)下雙模型的公司債券價(jià)值關(guān)于時(shí)間的曲線圖Fig.4 Values of corporate bond on time in low credit rating

圖5 高信用等級(jí)下雙模型的公司債券價(jià)值關(guān)于流動(dòng)資產(chǎn)的曲線圖Fig.5 Values of corporate bond on current assets in high credit rating

圖6 雙模型的公司債券價(jià)值關(guān)于流動(dòng)資產(chǎn)的曲線圖Fig.6 Values of corporate bond on current assets in two models

圖7顯示了雙資產(chǎn)信用邊界模型Φi(i=1，2)和流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型Φj(j=3，4)的公司債券價(jià)值關(guān)于流動(dòng)資產(chǎn)V的曲線圖。取相同參數(shù)的前提下，在信用等級(jí)邊界處兩模型的差異較大。

3 結(jié)語(yǔ)

本文在Merton的公司債券結(jié)構(gòu)化定價(jià)方法的基礎(chǔ)上，研究了含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的公司債券基于流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的定價(jià)問(wèn)題?？紤]到公司資產(chǎn)種類的多樣性，不同公司資產(chǎn)收益和波動(dòng)率不同，建立起含信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)的公司債券基于流動(dòng)資產(chǎn)和固定資產(chǎn)的模型假設(shè)，考慮到當(dāng)公司流動(dòng)資產(chǎn)不足時(shí)，違約風(fēng)險(xiǎn)可能就會(huì)急劇增大，違約風(fēng)險(xiǎn)受流動(dòng)資產(chǎn)影響顯著，信用等級(jí)遷移風(fēng)險(xiǎn)分別用流動(dòng)資產(chǎn)信用邊界模型和雙資產(chǎn)信用邊界模型刻畫(huà)。并分析了債券預(yù)期的可能收益情況，從而得到債券現(xiàn)金流及相應(yīng)的耦合偏微分方程組。在信用等級(jí)邊界處添加由Δ-對(duì)沖推得的一階導(dǎo)數(shù)條件或線性組合條件，建立起定價(jià)模型。推得定價(jià)模型的解析解和數(shù)值解，最后對(duì)債券價(jià)值關(guān)于各變量的變化情況進(jìn)行了數(shù)值分析，數(shù)值圖形表明變化情況與結(jié)論一致，對(duì)信用風(fēng)險(xiǎn)的變換過(guò)程做了進(jìn)一步的擴(kuò)展。

圖7 雙模型的公司債券價(jià)值關(guān)于流動(dòng)資產(chǎn)的曲線圖Fig.7 Values of corporate bond on current assets in two models