靳 龍

（湖北汽車(chē)工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北 十堰 442002）

菲涅耳圓孔衍射實(shí)驗(yàn)不僅操作簡(jiǎn)單、現(xiàn)象直觀(guān)，而且易于通過(guò)圖解法來(lái)闡明，被廣泛應(yīng)用在高中物理、大學(xué)物理以及光學(xué)的教學(xué)素材中[1]。相較于夫瑯禾費(fèi)衍射，菲涅耳衍射屬于近場(chǎng)衍射，故一般應(yīng)在距離衍射屏比較近的菲涅耳區(qū)觀(guān)察出射光波的這類(lèi)衍射現(xiàn)象，而對(duì)入射光的位置和類(lèi)型則沒(méi)有限制[2-5]。隨著激光器的發(fā)展和普及，在演示這類(lèi)現(xiàn)象時(shí)，通常以高斯光束替代傳統(tǒng)的自然光波作為入射光源；而在理論教學(xué)中，卻以普通的球面光波或平面光波作為入射光源，利用菲涅耳半波帶法和振幅矢量法進(jìn)行相關(guān)理論教學(xué)。光源的差異是否會(huì)對(duì)接收屏上的菲涅耳衍射光強(qiáng)分布產(chǎn)生影響，進(jìn)而導(dǎo)致理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)的不自洽，是專(zhuān)業(yè)教師在教學(xué)環(huán)節(jié)中需要探索的問(wèn)題。

另外，在利用菲涅耳-基爾霍夫積分公式定量計(jì)算圓孔菲涅耳衍射時(shí)，會(huì)遇到非常繁瑣的積分運(yùn)算，通常只能利用數(shù)值積分近似計(jì)算，但垂直圓孔中心軸線(xiàn)上的衍射光強(qiáng)分布，卻有解析解。故本文利用菲涅耳-基爾霍夫積分公式，研究了高斯光束和平面光波兩種光源照射下，接收平面對(duì)應(yīng)軸線(xiàn)上的菲涅耳衍射光強(qiáng)分布，探究了這兩類(lèi)衍射光波相對(duì)光強(qiáng)分布隨傳輸距離和圓孔半徑的變化規(guī)律，進(jìn)一步分析了高斯光束束腰半徑對(duì)衍射光強(qiáng)分布的影響。研究結(jié)果證實(shí)了理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中使用不同種類(lèi)光源進(jìn)行菲涅耳衍射觀(guān)測(cè)是可行的，同時(shí)相關(guān)結(jié)論和研究方法可以作為專(zhuān)業(yè)教師的教學(xué)參考。

1 兩類(lèi)光源下的菲涅耳圓孔衍射理論建模

當(dāng)光波通過(guò)圓形孔徑光闌，將在菲涅耳區(qū)發(fā)生次波疊加，對(duì)應(yīng)接收屏上任一點(diǎn)的電場(chǎng)復(fù)振幅可通過(guò)菲涅耳-基爾霍夫積分公式描述[6]為

式中：E2（x，y，z）為出射光波電場(chǎng)強(qiáng)度；E1（x0，y0，0）為入射光波電場(chǎng)強(qiáng)度；∑為積分區(qū)域。因?yàn)榍蠼鈪^(qū)域在軸線(xiàn)上，故x=y=0，這樣可以簡(jiǎn)化積分求解過(guò)程，所得結(jié)論又不失一般性。同時(shí)，考慮到是圓孔衍射，故需將直角坐標(biāo)系變換為柱坐標(biāo)系，這樣，式（1）可以改寫(xiě)為

式中：R為圓孔半徑。對(duì)于入射平面光波，其電場(chǎng)強(qiáng)度在忽略相位因子后可簡(jiǎn)單表示為

將式（3）代入式（2），便可求得觀(guān)察屏中心處的菲涅耳電場(chǎng)強(qiáng)度分布為

如光源為高斯光束，則其電場(chǎng)強(qiáng)度分布[7]為

式中：ω0為高斯光束的束腰半徑。利用式（5）和式（2），同理可以求出對(duì)應(yīng)位置高斯光束的電場(chǎng)強(qiáng)度分布為

可以看出，當(dāng)入射激光的束腰半徑ω0→∞，高斯光束的菲涅耳衍射電場(chǎng)強(qiáng)度分布便與傳統(tǒng)平面光波無(wú)異。一般情況下，觀(guān)測(cè)屏軸線(xiàn)上相應(yīng)光波的菲涅耳光強(qiáng)分布可由式（4）或式（6）及其復(fù)共軛求得，具體公式為

式中：c為真空中的光速；μ0為真空磁導(dǎo)率；n0為自由空間折射率。三者均為常量。

2 兩類(lèi)光源下的菲涅耳圓孔衍射實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

2.1 平面光波菲涅耳圓孔衍射光強(qiáng)分布特性

平面光波經(jīng)過(guò)圓孔后，研究衍射光強(qiáng)隨傳輸距離z的變化規(guī)律。圖1 給出了軸線(xiàn)上不同位置處的歸一化相對(duì)光強(qiáng)分布曲線(xiàn)，其中，入射光波長(zhǎng)λ=632．8 nm，圓孔半徑R=0．5 mm。從圖1 可以看出，當(dāng)時(shí)，菲涅耳衍射效應(yīng)顯著，且隨著傳輸距離z 的增加，軸線(xiàn)上的光強(qiáng)發(fā)生著明暗交替的變化；而當(dāng)后，光強(qiáng)將單調(diào)減小，表明衍射區(qū)域已逐漸進(jìn)入遠(yuǎn)場(chǎng)夫瑯禾費(fèi)區(qū)。圖2 給出了在z=0．395 m 處，相對(duì)光強(qiáng)隨圓孔半徑R的變化曲線(xiàn)。從圖2 可以看出，隨著圓孔半徑的增加，相對(duì)光強(qiáng)逐漸增加，然后在時(shí)達(dá)到極大值，進(jìn)而又繼續(xù)減小。以上結(jié)論都與利用菲涅耳半波帶法定性研究的結(jié)果一致[8]，但利用菲涅耳-基爾霍夫積分公式求出了圓孔軸線(xiàn)上菲涅耳衍射光強(qiáng)的解析解，從而定量分析了軸線(xiàn)上相對(duì)光強(qiáng)的變化情況。

2.2 高斯光束菲涅耳圓孔衍射光強(qiáng)分布特性

研究高斯光束在軸線(xiàn)上的相對(duì)光強(qiáng)隨傳輸距離z和圓孔半徑R的變化規(guī)律，結(jié)果見(jiàn)圖3 和圖4，其中ω0=0．1 mm。從圖3 可以看出，在菲涅耳衍射區(qū)域，高斯光束在軸線(xiàn)上的相對(duì)光強(qiáng)分布隨傳輸距離的變化規(guī)律與傳統(tǒng)平面光波分布規(guī)律基本一致，只是受束腰半徑的影響，光強(qiáng)各極大值均有所減弱。分析圖4 可知，當(dāng)光波由理想平面光波變?yōu)榧す馐鴷r(shí)，衍射光波隨R的增加仍產(chǎn)生光強(qiáng)的強(qiáng)弱轉(zhuǎn)換，只是此時(shí)光強(qiáng)的極大值出現(xiàn)在處，這表明在同一位置z處，要使得高斯光束和平面光波的明暗變化規(guī)律一致，高斯光束所使用的衍射圓孔半徑應(yīng)稍微小于平面光波所使用的圓孔半徑。

圖1 平面光波相對(duì)光強(qiáng)隨傳輸距離的變化曲線(xiàn)

圖2 平面光波相對(duì)光強(qiáng)隨圓孔半徑的變化曲線(xiàn)

圖3 ω0=0.1 mm 時(shí)高斯光束相對(duì)光強(qiáng)隨傳輸距離的變化曲線(xiàn)

圖4 ω0=0.1 mm 時(shí)高斯光束相對(duì)光強(qiáng)隨圓孔半徑的變化曲線(xiàn)

當(dāng)高斯光束的束腰半徑變化時(shí)，光波在軸線(xiàn)上的衍射光強(qiáng)分布也會(huì)隨之發(fā)生變化。第68 頁(yè)圖5為ω0=0．5 mm 時(shí)高斯光束相對(duì)光強(qiáng)隨傳輸距離的變化曲線(xiàn)；圖6 為ω0=0．05 mm 時(shí)高斯光束相對(duì)光強(qiáng)隨傳輸距離的變化曲線(xiàn)。從圖5 可知當(dāng)ω0=0．5 mm時(shí)，對(duì)應(yīng)光波衍射光強(qiáng)分布和圖1 差別很??；而從圖6 可知，當(dāng)ω0=0．05 mm 時(shí)，在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)，光強(qiáng)雖然隨傳輸距離有明暗交替變化，但與圖5 相比，光強(qiáng)極大值迅速減弱，而極小值卻相應(yīng)增加，表明隨著束腰半徑的減小，高斯光束的菲涅耳衍射特性逐漸減弱。因此，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，應(yīng)盡量使用較大束腰半徑的激光光源進(jìn)行菲涅耳圓孔衍射實(shí)驗(yàn)，這樣所觀(guān)測(cè)到的菲涅耳圓孔衍射圖樣會(huì)和理論教學(xué)所得的結(jié)論高度吻合。

圖5 ω0=0.5 mm 時(shí)高斯光束相對(duì)光強(qiáng)隨傳輸距離的變化曲線(xiàn)

3 結(jié)束語(yǔ)

圖6 ω0=0.05 mm時(shí)高斯光束相對(duì)光強(qiáng)隨傳輸距離的變化曲線(xiàn)

利用菲涅耳-基爾霍夫積分公式，定量研究了高斯光束和平面光波通過(guò)圓形孔徑光闌時(shí)，其軸線(xiàn)上菲涅耳衍射光強(qiáng)的分布規(guī)律。通過(guò)對(duì)比兩類(lèi)光波衍射的相對(duì)光強(qiáng)分布隨傳輸距離和圓孔半徑的變化曲線(xiàn)可以看出，高斯光束的菲涅耳圓孔衍射光強(qiáng)分布特性和傳統(tǒng)平面光波的菲涅耳圓孔衍射光強(qiáng)分布特性以及演變規(guī)律基本相同，并且隨著高斯光束束腰半徑的增加，激光光源的菲涅耳圓孔衍射特性越來(lái)越接近傳統(tǒng)平面光波的菲涅耳圓孔衍射特性。因此，在普通物理教學(xué)中，使用這兩類(lèi)光波分別進(jìn)行菲涅耳圓孔衍射理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)是合適的，并且該研究方法數(shù)學(xué)積分簡(jiǎn)單、物理圖像清晰，適宜作為普通物理教師的教學(xué)參考。