基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的徑向復合油藏自動試井解釋方法

李道倫，劉旭亮，查文舒，楊景海，盧德唐

（1.合肥工業(yè)大學，合肥 230009；2.大慶油田測井技術(shù)服務分公司，黑龍江大慶 163453；3.中國科學技術(shù)大學，合肥 230026）

0 引言

人工智能方法因其處理高度復雜問題的突出能力，引起了石油行業(yè)研究者的特別關(guān)注[1-4]。傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已在石油工程領(lǐng)域得到廣泛應用。李道倫等[5]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱式方法來預測未知年份的測井數(shù)據(jù)，進而提出基于隱式曲線與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時間序列處理新方法[6]。Asadisaghandi等[7]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測油品壓力-體積-溫度屬性。Enab等[8]利用正向和反向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預測產(chǎn)氣剖面等。Singh等[9]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估算孔隙度。Memon等[10]采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建動態(tài)井代理儲集層模型預測井底流動壓力。Kim等[11]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)選擇頁巖氣儲集層完井方法。最近，Choubineh等[12]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來估算氣-原油的最小混相壓力。

20世紀90年代以來，傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在試井解釋中得到了應用。Athichanagorn等[13]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來識別導數(shù)圖的特征。鄧遠忠等[14]將導數(shù)曲線的峰值及徑向流水平線位置作為 3層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，來預估試井參數(shù)。Jeirani等[15]將霍納圖輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來估計油藏壓力、滲透率和表皮系數(shù)。Adibifard等[16]將壓力導數(shù)數(shù)據(jù)的插值切比雪夫多項式的系數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入來估計儲集層參數(shù)。Ghaffarian等[17]將擬壓力導數(shù)數(shù)據(jù)作為單一和耦合多層感知器網(wǎng)絡(luò)的輸入，識別凝析氣藏模型。然而，基于傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的試井解釋方法存在以下問題。首先，將壓力導數(shù)曲線的部分特征作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，導致試井自動解釋困難，例如，僅將切比雪夫多項式系數(shù)作為網(wǎng)絡(luò)輸入[16]。其次，試井曲線復雜多變，需要大量數(shù)據(jù)來訓練網(wǎng)絡(luò)。然而，傳統(tǒng)的3層或4層網(wǎng)絡(luò)往往會訓練失敗，這限制了其自動解釋的能力。

深度學習是機器學習的一個新領(lǐng)域。深度學習的本質(zhì)是構(gòu)建含有多個隱藏層的網(wǎng)絡(luò)模型，通過學習大規(guī)模的數(shù)據(jù)，獲得更具代表性的特征，從而提高預測和分類的精度。近年來，深度學習也開始被應用于石油領(lǐng)域。Tian等[18]利用遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學習永久井下壓力計（PDG）數(shù)據(jù)，用于識別油藏模型及生產(chǎn)預測。Sudakov等[19]將深度學習用于滲透率預測。ZHA等[20]利用深度學習進行三維多孔介質(zhì)重構(gòu)。張東曉等[21]利用循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究測井曲線的生成與修補。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是深度學習算法的一個重要組成部分，它和傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的區(qū)別在于：①卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)打破了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對層數(shù)的限制，可增加網(wǎng)絡(luò)層數(shù)，成為深度網(wǎng)絡(luò)；②卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用特征學習的方法，通過逐層提取特征的方式使得預測或分類問題更易實現(xiàn)。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究始于20世紀80年代，時間延遲網(wǎng)絡(luò)和LeNet-5網(wǎng)絡(luò)是最早的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[22-23]。進入21世紀后，隨著深度學習理論的引入、數(shù)據(jù)的增加以及計算設(shè)備的改進，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)迅速發(fā)展。Krizhevsky等[24]提出的 AlexNet網(wǎng)絡(luò)得到廣泛應用，之后卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也在石油領(lǐng)域得到應用[25]。

本文提出一種基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的徑向復合油藏自動試井解釋方法，將壓力變化及其導數(shù)數(shù)據(jù)輸入到網(wǎng)絡(luò)中就可解釋出地層參數(shù)，無需人工調(diào)參擬合，實現(xiàn)解釋自動化。利用大慶油田現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)驗證本文方法的有效性和準確性。

1 方法概述

1.1 徑向復合油藏模型及試井解釋參數(shù)

徑向復合油藏模型由兩個參數(shù)屬性不同的區(qū)域組成，即以井為中心的圓形內(nèi)區(qū)和無限大外區(qū)。徑向復合油藏模型可以描述井周圍的污染或改善、遠井區(qū)的徑向巖性或流體性質(zhì)的變化。徑向復合油藏模型的基本假設(shè)為：①地層水平，等厚，均質(zhì)，各向同性；②內(nèi)、外區(qū)流體均為單相微壓縮流體，流動符合達西定律；③開井前地層各處壓力相等；④考慮井儲效應和井筒污染，忽略重力。

本文使用的試井曲線為Gringarten-Bourdet復合曲線，其由Gringarten壓力曲線和Bourdet壓力導數(shù)曲線組成[26-27]?？紤]到方法普適性，本文方法使用無因次參數(shù)。因此，徑向復合油藏模型試井解釋參數(shù)為：流度比M、儲容比F、無因次復合半徑RfD及無因次組CDe2S，取對數(shù)形式，即 lg(M)，lg(F)，lg(RfD)及 lg(CDe2S)。無因次組可表征井儲和表皮效應。無因次復合半徑的定義為：

（2）式和（3）式分別定義了內(nèi)、外區(qū)的流度比和儲容比：

1.2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種深度前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要由輸入層、卷積層、池化層、全連接層和輸出層構(gòu)成。卷積層通常有若干個，池化層位于卷積層之后，全連接層通常在網(wǎng)絡(luò)末端。激活函數(shù)跟隨在卷積層和全連接層之后，為網(wǎng)絡(luò)增加非線性。卷積層中輸入與卷積核之間會進行卷積運算。卷積運算通常用*號表示，設(shè)f(x)，g(x)為實數(shù)域上的兩個可積函數(shù)，則它們的卷積結(jié)果為：

數(shù)列x(n)和h(n)的卷積結(jié)果為：

卷積層的輸入和卷積核通常是多維數(shù)組數(shù)據(jù)，卷積運算可以被看作是卷積核在輸入數(shù)據(jù)上滑動的過程：將卷積核的各個元素與其在輸入數(shù)據(jù)上覆蓋的對應位置的元素相乘再求和得到未激活的神經(jīng)元，最后滑動完所有的輸入數(shù)據(jù)。例如，給定一個二維輸入xij和二維卷積核fuv，其中 1≤i≤N1，1≤j≤N2，1≤u≤n1，1≤v≤n2。通常情況下，n1≤N1，n2≤N2。這時卷積結(jié)果為：

圖1展示了一個二維數(shù)組卷積的例子[28]。

圖1 二維數(shù)組卷積示例

與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同的是，卷積操作通過兩個重要特性提高網(wǎng)絡(luò)性能：局部連接和權(quán)重共享。傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常使用矩陣乘法來構(gòu)建輸入和輸出之間的連接，這種形式的連接是完全連接，意味著每個輸出神經(jīng)元都與每個輸入神經(jīng)元相互連接。然而，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有局部連接的特點，即每個輸出都連接一部分輸入，這大大減少了參數(shù)的數(shù)量，使網(wǎng)絡(luò)易于訓練。局部連接使神經(jīng)元只對局部進行感知，在更高層將低層局部的信息綜合起來得到全局信息，這大大增強網(wǎng)絡(luò)特征提取能力。在全連接中每個連接具有不同的權(quán)重。然而，卷積層中，一組連接可以共享相同的網(wǎng)絡(luò)權(quán)重，而不是每個連接的權(quán)重都不同。局部連接和權(quán)重共享使卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在統(tǒng)計效率和存儲需求上都大大優(yōu)于傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。本文網(wǎng)絡(luò)的輸入為100×100矩陣且有18層卷積層，從輸入到第18層卷積層一共有590 688個參數(shù)。若采用全連接方式且每個隱藏層有200個神經(jīng)元，則從輸入到第18層隱藏層會產(chǎn)生2.621 44×1045個參數(shù)，遠遠多于采用卷積操作的參數(shù)數(shù)量。

池化也叫下采樣，它提取出某一位置相鄰區(qū)域的總體特征作為該位置的輸出。池化方法在保留信息的同時減少了數(shù)據(jù)量，大大降低了特征維數(shù)和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)數(shù)量。常見的池化方法有最大池化和平均池化。最大池化取相鄰區(qū)域內(nèi)特征點的最大值，平均池化取相鄰區(qū)域內(nèi)特征點的平均值，圖2展示了最大池化的示例。本文網(wǎng)絡(luò)的輸入為 100×100矩陣，經(jīng)過第一層池化層后變?yōu)?50×50的矩陣，大大降低了特征維數(shù)，使網(wǎng)絡(luò)更易訓練。

圖2 最大池化示例（在2×2的矩形區(qū)域內(nèi)選擇最大值）

可見，與傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)更少，更容易訓練，提取特征更有效，學習能力和性能顯著提高。

1.3 基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自動試井解釋方法

基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自動試井解釋方法的具體步驟如下。

①數(shù)據(jù)收集與預處理。人工智能本身就是一種數(shù)據(jù)科學，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也不例外。本文一共取得徑向復合油藏 2×105組雙對數(shù)圖及其對應的油藏參數(shù)組合lg(M)，lg(F)，lg(RfD)及 lg(CDe2S)，其中 199 820組是由解析法生成的模擬數(shù)據(jù)，其余為現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)。生成模擬數(shù)據(jù)時，參數(shù)的取值范圍如表1所示。

表1 生成模擬數(shù)據(jù)時的參數(shù)取值范圍

每個模擬雙對數(shù)圖中的壓力及導數(shù)曲線各有 200個數(shù)據(jù)點，而現(xiàn)場實際圖往往不完整，每個曲線各有100～110個數(shù)據(jù)點。為了保持輸入維度的一致性，在每次迭代訓練時，選取100個連續(xù)點。

在實際應用中，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常用于目標識別，其輸入是圖像的像素值，這是 1個二維或三維矩陣。因此，在訓練前，需要將上一步生成的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為矩陣：對于每個雙對數(shù)圖，分別復制選取的 100個壓力數(shù)據(jù)點和 100個壓力導數(shù)數(shù)據(jù)點再連接在一起形成 1個100×100的矩陣。

②卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練和優(yōu)化。將經(jīng)過步驟①轉(zhuǎn)換后的矩陣和對應的參數(shù)組合lg(M)，lg(F)，lg(RfD)及l(fā)g(CDe2S)分別作為卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出，90%、5%和 5%的數(shù)據(jù)分別用于訓練、驗證和測試。損失函數(shù)為均方誤差。均方誤差的計算式為：

訓練數(shù)據(jù)的均方誤差越小，網(wǎng)絡(luò)的擬合效果越好。在反復實驗中對網(wǎng)絡(luò)進行優(yōu)化，優(yōu)化過程包括改變網(wǎng)絡(luò)深度、寬度、超參數(shù)等，加入正則化方法或其他優(yōu)化方法，最終得到最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)配置。本文得出的最優(yōu)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含18個卷積層，3個池化層和3個全連接層。每個卷積層和全連接層的輸出均經(jīng)過 ReLU（線性整流函數(shù)）激活。ReLU函數(shù)的輸出值為自變量與零之間的最大值，其使部分神經(jīng)元輸出為零，增加了網(wǎng)絡(luò)的稀疏性，減少了訓練時間。網(wǎng)絡(luò)采用了“dropout”方法[24]，其在正向傳播中將每個隱藏神經(jīng)元的輸出以一定的概率設(shè)為零，可以避免出現(xiàn)過擬合。初始學習率為0.000 1，為了使模型在訓練后期更加穩(wěn)定，本研究采用指數(shù)衰減的方法在每次迭代訓練時逐步降低學習率。

③利用訓練好的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)進行試井參數(shù)解釋的自動初擬合。將測得的壓力數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成雙對數(shù)圖，再重新排列成矩陣，輸入訓練好的最優(yōu)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸出為 lg(M)，lg(F)，lg(RfD)及 lg(CDe2S)，從而得到M，F(xiàn)，RfD及CDe2S，實現(xiàn)了試井參數(shù)解釋的自動初擬合。

④移動曲線，解釋出井筒和地層參數(shù)。將M，F(xiàn)，RfD及CDe2S輸入到商業(yè)軟件中可得到典型曲線圖，移動典型曲線圖，使之與實測雙對數(shù)圖重合，從實測曲線上任取一點，記下該點的壓力變化值Δp和時間值t，同時也查出該點在典型曲線上的無因次壓力變化值pD和無因次時間值tD。利用該點的 Δp，t，pD和tD以及參數(shù)M，F(xiàn)，RfD及CDe2S的值，就可以根據(jù)一系列公式計算出井筒存儲系數(shù)、表皮系數(shù)和內(nèi)、外區(qū)滲透率等井筒和儲集層參數(shù)[29]。

2 結(jié)果與討論

2.1 本文方法與基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法的差異

本文方法直接將整個壓力變化及其導數(shù)數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)的輸入，而在以往基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法中，輸入是從壓力變化及其導數(shù)數(shù)據(jù)中獲得的特征。例如，鄧遠忠等[14]使用導數(shù)圖的峰值和徑向流的水平位置作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，Adibifard等[16]使用插值切比雪夫多項式的系數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入。

2.2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)性能驗證

驗證集和測試集數(shù)據(jù)用于驗證訓練后的最優(yōu)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解釋精度。表 2給出了驗證集和測試集數(shù)據(jù)解釋值的平均絕對誤差，可以看出 4個油藏參數(shù)的平均絕對誤差都很小，說明網(wǎng)絡(luò)訓練得很好，具有很好的泛化能力。

表2 驗證集和測試集數(shù)據(jù)解釋值的平均絕對誤差

為了更清楚地展示本文方法的解釋效果，分別從驗證集和測試集中抽取了 3個樣本，用來進一步展示訓練后的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能。樣本Val1，Val2，Val3取自驗證集，樣本 Test1，Test2，Test3取自測試集。解釋結(jié)果如表3所示。

表3 選取的6個樣本的參數(shù)解釋值及其絕對誤差

從表3可以看出，對于 6個樣本，本文提出的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解釋的參數(shù)與真實參數(shù)的誤差整體上較小。然而樣本 Val2的 lg(F)，樣本 Val3的 lg(M)及l(fā)g(CDe2S)，樣本 Test2的 lg(M)，lg(F)和 lg(CDe2S)的解釋值的誤差較大，其中 lg(M)和 lg(F)解釋值誤差大主要是由數(shù)據(jù)截取誤差引起，當沒能截取全部特征時，解釋效果不好。下面以樣本Test2為例詳細解釋原因。樣本Test2的原始曲線和截取的曲線如圖3所示?？梢?，測試時截取的曲線沒有包含原始曲線后期上翹的部分，而這一部分正是表征流度比和儲容比的關(guān)鍵，這是導致該樣本流度比和儲容比解釋效果差的原因。樣本Test2的參數(shù)lg(CDe2S)絕對誤差相對較大，但其相對誤差為0.167 5，較小。圖4表明，分別由解釋值與真實值得到的兩條雙對數(shù)圖的前期曲線基本重合，而曲線前期峰值及其前后是表征 lg(CDe2S)的關(guān)鍵。這說明解釋誤差較小。

圖3 樣本Test2的原始曲線和截取曲線

圖4 樣本Test2的解釋值與真實值對比（只截圖了前半部分）

2.3 現(xiàn)場實例分析

利用大慶油田的6個現(xiàn)場實例資料，進一步驗證本文方法的有效性。表4給出了6個現(xiàn)場實例的基本參數(shù)。

表4 6個現(xiàn)場實例的基本參數(shù)

圖5—圖10給出了本文方法與解析法的計算結(jié)果對比，表 5給出了相應的解釋參數(shù)。由圖 5a和圖 6a可知，對于無噪音或有輕微噪音的實測數(shù)據(jù)，本文方法能正確解釋出地層參數(shù)，這從實測曲線與計算曲線幾乎重合可以看出。隨著噪音的增加，解釋結(jié)果仍然很好，如圖 7a和圖 8a所示。甚至當實測數(shù)據(jù)有雜亂噪音時，訓練好的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仍然能近乎完美解釋出地層與井筒參數(shù)，如圖9a所示。即使當實測數(shù)據(jù)在局部上下振蕩時，圖 10a表明解釋結(jié)果仍然很好。這證明了本文方法的有效性和魯棒性。即使訓練樣本中存在部分“壞樣本”，訓練后的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仍能正確解釋實測關(guān)井壓力數(shù)據(jù)。這說明，少量的“壞樣本”不會影響卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能，只是不能正確解釋出“壞樣本”所對應的參數(shù)。若剔除“壞樣本”，可以預見訓練后的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將有更優(yōu)異的表現(xiàn)。如何剔除“壞樣本”將是今后的研究內(nèi)容之一。

圖5 實例1本文方法與解析法計算結(jié)果對比

圖6 實例2本文方法與解析法計算結(jié)果對比

圖7 實例3本文方法與解析法計算結(jié)果對比

圖8 實例4本文方法與解析法計算結(jié)果對比

圖9 實例5本文方法與解析法計算結(jié)果對比

圖10 實例6本文方法與解析法計算結(jié)果對比

此外，通過與解析法對比發(fā)現(xiàn)，本文方法解釋結(jié)果與解析法解釋結(jié)果差距較小，兩種方法都可以得到很好的解釋結(jié)果。但是，解析法需要專業(yè)的試井人員操作完成，耗費大量的人力和時間。而本文方法可自動解釋，只需將實測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為矩陣輸入到訓練好的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸出即為所需解釋的參數(shù)，即使是不具備專業(yè)知識的人員也可操作，這大大提高了工作效率。

可以看出，本文提出的基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的試井解釋新方法能夠高精度地自動解釋出徑向復合油藏參數(shù)，顯著提高工作效率，實現(xiàn)試井解釋的自動化。

表5 本文方法與解析法的解釋參數(shù)對比

2.4 本文方法與最小二乘法的對比

選取兩個最有代表性的實例（實例1與實例6）將本文方法與最小二乘法進行對比，實例1的噪音很小，而實例6有較為雜亂的噪音。從圖11、圖12及表6中可以看出，由最小二乘法得出的結(jié)果較差，且最小二乘法涉及選取擬合參數(shù)問題，無法真正做到自動化的試井解釋。

圖11 實例1本文方法與最小二乘法計算結(jié)果對比

圖12 實例6本文方法與最小二乘法計算結(jié)果對比

表6 本文方法與最小二乘法的解釋參數(shù)對比

3 結(jié)論

提出了基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的徑向復合油藏自動試井解釋方法。將壓力變化及其導數(shù)數(shù)據(jù)作為輸入，對應的參數(shù)組合作為輸出，訓練后的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可自動解釋壓力數(shù)據(jù)，給出徑向復合油藏參數(shù)。該方法實現(xiàn)了試井參數(shù)解釋的自動初擬合，可大幅提高試井解釋效率。利用大慶油田的實測數(shù)據(jù)驗證了本文方法的有效性和魯棒性，且發(fā)現(xiàn)本文方法優(yōu)于解析法和最小二乘法。

本文方法不能簡單照搬到其他類型油藏。不同類型油藏的試井曲線特征、參數(shù)個數(shù)等都有很大差異，導致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)及相關(guān)處理方法不同。

符號注釋：

B——體積系數(shù)，m3/m3；C——井筒存儲系數(shù)，m3/MPa；CD——無因次井筒存儲系數(shù)；Ct——綜合壓縮系數(shù)，Pa-1；d1(k)，d2(k)，d3(k)，d4(k)——第k個參數(shù)組合中 lg(M)，lg(F)，lg(RfD)及 lg(CDe2S)的解釋值；fuv——二維卷積核；f(x)，g(x)——函數(shù)；F——儲容比，無因次；h(n)，x(n)——數(shù)列；H——地層厚度，m；i，j——二維輸入的行、列序號；K——滲透率，10-3μm2；M——流度比，無因次；MSE——均方誤差；n，s——數(shù)列長度；n1，n2——二維卷積核的行數(shù)、列數(shù)；N——參數(shù)組合數(shù)目；N1，N2——二維輸入的行數(shù)、列數(shù)；pD——無因次壓力變化，pD=2πKHΔp/QBμ；pD′——無因次壓力變化導數(shù)，pD′=tDdpD/dtD；Δp——壓力變化，MPa；Δp′——壓力變化導數(shù)，Δp′=ΔtdΔp/dΔt，MPa；Q——產(chǎn)量，m3/s；rw——井筒半徑，m；Rf——復合半徑，m；RfD——無因次復合半徑；S——表皮系數(shù)，無因次；t——時間，h；Δt——時間變化，h；tD——無因次時間，tD=Kt/φμCtrw2；u，v——二維卷積核的行、列序號；x，τ——函數(shù)自變量；xij——二維輸入；y1(k)，y2(k)，y3(k)，y4(k)——第k個參數(shù)組合中l(wèi)g(M)，lg(F)，lg(RfD)及 lg(CDe2S)的真實值；μ——流體黏度，mPa·s；φ——封堵層孔隙度，%。下標：1——內(nèi)區(qū)；2——外區(qū)。