馮瑞華, 仉志余

(1.中北大學理學院,山西太原030051;2.太原工業(yè)學院理學系,山西太原030008)

§1 引 言

1988年德國學者Stenfan Hilger在其博士論文中首次提出了測度鏈分析理論,既適合連續(xù)系統(tǒng)也適應于離散系統(tǒng),把微分方程和差分方程理論和方法統(tǒng)一了起來.但起初關注的學者并不多,后來隨著時標上微積分知識的積累,人們發(fā)現(xiàn)時標上動力方程在理論物理,核動力學,物理化學,電子工程和經(jīng)濟學領域有著廣泛的應用前景,例如可以用來描述電路中電流的改變率,經(jīng)濟學中的蜘蛛網(wǎng)模型等.于是近年來涌現(xiàn)出了大量的研究成果,研究范圍也不斷拓寬,如時標上動力方程的振動性、漸近性的判定定理等,見文獻[1-17]及其引文.

本文研究時標T上三階非線性時滯動力方程

的振動性,并假設以下條件始終成立.

(H1)γ>0是兩個正奇數(shù)之比的常數(shù).

(H2)正值函數(shù)a(t)∈Crd(T,(0,∞))滿足

(H3)時滯函數(shù)τ:T→T單調增,且τ(t)≤t,limτ(t)=∞.

關于時標(或時間尺度)T及其上的微積分基本概念,性質,運算法則和記號可參見文獻[8,9]等,這里不再重述.方程(1)的解是指定義在時間尺度T上滿足方程(1)的非平凡實值函數(shù)x(t),t∈T.因為這里研究方程的振動性,所以假設時間尺度T是無界的.方程(1)的解x(t)稱為振動的,如果既不最終為正,也不最終為負;否則,稱為非振動的.方程(1)稱為振動的,如果它的所有解都是振動的.

近年來對于三階動力方程的振動性和漸進性的研究日趨活躍,并涌現(xiàn)出了不少具有啟發(fā)意義的成果,例如:

當a(t)=1,b(t,x(t))=b(t)時方程(1)可以化為三階非線性動力方程

或者

2007年Erbe等[1]研究了方程(4)的Hille和Nehari型振動準則,2017年魏會賢等[12]研究了方程(4)的變形方程(5)的漸進性態(tài).

當a(t)=1,b(t,x(t))=b(t)時方程(1)可以化為三階非線性動力方程

或者拓展為中立型的

2011年李同興等[4]研究了當f(t,x(τ(t))=p(t)xγ(τ(t))時方程(6)的振動性,給出了兩個有效的振動定理.2017年王一拙等[14]研究了方程(7)的振動性.

當γ=1,τ(t)=t,b(t,x(t))=b(t)時方程(1)可以化為三階非線性動力方程

或者

2005年Erbe等[2]建立了方程(8)的振動準則.2012年李同興等[15]對方程的特形方程(9)的振動性給出了更精妙的結果.

當b(t,x(t))=b(t)時方程(1)可以化為三階非線性動力方程

或者拓展為中立型的

其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)).李同興,Hassan和高麗等[3,5-8]分別研究了方程(10)在不同條件下的振動性,Candan和石云龍等[13,16]分別建立了中立型方程(11)的振動準則.

本文將運用不同于上述文獻的Riccati變換和不等式技巧,得到方程(1)幾個新的Leighton型,Philos型和Kamenev型振動定理,從而推廣和豐富已有文獻中的結果.

§2 基本引理

為了證明主要結論,需要用到下面的Keller鏈鎖規(guī)則公式[9]:

其中x(t)是?可微的,γ>0,xσ=x?σ.

下面給出幾個引理,它們將對主要結果的證明起到至關重要的作用.

引理2.1設x(t)是方程(1)的一個最終正解,則存在t1∈[t0,∞)T,使得當t∈[t1,∞)T時,有且僅有下列兩種情形之一:

引理2.2設x(t)是方程(1)的一個最終正解并滿足引理2.1中的情形(i),又設a?(t)6 0和

成立,則存在t1∈[t0,∞)T,使得當t∈[t1,∞)T時,有嚴格單調減.

證設x(t)是方程(1)的一個最終正解并滿足引理2.1中的情形(i).由于(a(t)x?(t))?=a?(t)x?(t)+a(σ(t))x??(t)>0,并且有a?(t)≤0和x?(t)>0,t∈[t1,∞)T,因此可得x??(t)>0,t∈[t1,∞)T.令X(t)=x(t)?tx?(t),則有

可知X(t)在[t1,∞)上是嚴格單調減的.可以斷言,存在t2∈[t1,∞)T,當t∈[t2,∞)T時有X(t)>0.否則若X(t)<0,可推得

其中φ(t,t1)由(3)式定義.

證設x(t)是(1)的一個最終正解且滿足引理2.1中的情形(i),則b(t,x(t))((a(t)x?(t))?)γ是單調減的.于是對(a(t)x?(t))?>0從t1到t>t1積分,可得

§3 主要定理及其證明

注1容易看出當b(t,x(t))=b(t),a(t)=1時,方程(1)將變?yōu)榉匠?6).因此本文定理3.1完全包含了文獻[4]中的定理2.1.文獻[6]研究了γ≥1,b(t,x)=b(t)時方程(10)的振動性,本文的γ>0,因此,本文定理3.1也拓展了文獻[6]定理4.1的應用范圍.

注2由定理3.1可知選擇不同的δ(t)函數(shù),可以得到不同的振動條件,例如當取δ(t)=1時,可得著名的Leighton型振動定理,當δ(t)=t時,也可得到相似的重要振動定理,限于篇幅,這里從略了.因此,本文豐富和統(tǒng)一了所列文獻及其引文中包括三階微分方程和差分方程的振動性結果.

下面的定理是關于方程(1)的Philos型振動準則.

證假設方程(1)有一個非振動解x(t),不失一般性,可設存在足夠大的t1∈[t0,∞)T,使得當t∈[t1,∞)T時,有x(t)>0,x(τ(t))>0.則對于所有t∈[t1,∞)T,由引理2.1可知x(t)滿足情形(i)或情形(ii).

如果情形(i)成立,則類似于定理3.2的證明可得(29)式成立,即

注3本文定理3.2和定理3.3推廣了文獻[4,6]的研究,即同時將函數(shù)b(t)拓展到b(t,x),將函數(shù)H(t,s)的定義域

擴展到

和將γ≥1擴展到γ>0的情形.易見本文定理3.3完全包含了文[4]的定理2.2和文[6]的定理4.3并將其條件中的積分上限σ(t)精確為t,且本文定理3.2拓展了文[6]定理4.2關于γ的應用范圍.

下面的定理是關于方程(1)的Kamenev型振動準則.

證假設方程(1)有一個非振動解x(t),不失一般性,可設存在t1∈T,使得當t∈[t1,∞)T時,有x(t)>0,x(τ(t))>0.由引理2.1,可知x(t)滿足情形(i)或情形(ii).

若為情形(i)成立,則類似于定理3.1的證明可得(25)式成立,即有

§4 應用舉例

考慮三階非線性時滯微分方程

的振動性.

對照方程(1),這里