幾種提高IGS精密星歷方法的比較

湯偉堯

摘 要：對GPS衛(wèi)星精密星歷的Lagrange插值，chebyshv擬合以及離散正交法進(jìn)行了比較分析。結(jié)果表明，擬合算法最佳精度階數(shù)為9階，插值算法在8階時(shí)計(jì)算精度最高，而三種方法的擬合精度排序?yàn)椋篶hebyshv擬合>Lagrange插值>離散正交法，盡管chebyshv擬合所得衛(wèi)星坐標(biāo)精度最高且不存在法方程病態(tài)，但其系數(shù)都是在[-1 ，1]的范圍內(nèi)仍存在缺陷，而離散正交算法對未知數(shù)定義域沒有要求，更加靈活。

關(guān)鍵詞：IGS精密星歷;Lagrange插值法;chebyshv擬合法;離散正交算法

中圖分類號：P228.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2020）06-0225-03

0引言

IGS發(fā)布的精密星歷文件（后綴為.sp3）所包含的內(nèi)容為GPS衛(wèi)星的位置，其時(shí)間間隔為15分鐘，精度為亞分米級，而在很多科研應(yīng)用中，需要得到GPS衛(wèi)星在任意時(shí)刻的位置，這就需要有很好的插值或者擬合方法[1]。目前，利用IGS精密星歷求任意時(shí)刻衛(wèi)星位置的插值方法主要有Lagerange插值、Neville插值等;常用的擬合方法包括chebyshv擬合、Legendre擬合等[2-3]。

本文對比分析了lagrange插值和chebyshv擬合在不同階次時(shí)的精度高低。在以往的擬合中，往往出現(xiàn)法方程病態(tài)，為抑制這種情況，可選擇定義域在[-1，1]的chebyshv擬合，但這種擬合方法會出現(xiàn)法方程很大的情況，導(dǎo)致在方程求逆時(shí)不方便[4]。在此基礎(chǔ)上，本文提出基于正交多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞推算法，該算法的優(yōu)點(diǎn)在于未知數(shù)定義域可任意值，沒有局限。

1各類算法模型

Lagrange插值算法和Chebyshv擬合算法以及離散正交多項(xiàng)式的具體的數(shù)學(xué)模型如下：

2插值與擬合與遞推算法實(shí)例分析

本文選取了IGS發(fā)布的的精密星歷，2006年2月1日在時(shí)間段0時(shí)0分0秒至2時(shí)15分0秒內(nèi)，PRN01的衛(wèi)星坐標(biāo)（表1）作為擬合點(diǎn)，然后對比分析3種方法的精度，結(jié)果分別置于下列表中。

為了能夠分析反映上面4種方法的精度，通過MATLAB作圖分別比較插值方法和擬合方法，以及他們與原始真值的比較，得到如下結(jié)果。

通過圖1可以看出，勒讓德多項(xiàng)式擬合與切比雪夫多項(xiàng)式擬合，在9階時(shí)，完全一致（x方向）。在一段時(shí)間勒讓德多項(xiàng)式擬合的精度高于切比雪夫擬合方法，并且最大誤差不超過1cm。

通過圖2可以看出離散正交多項(xiàng)式與實(shí)際值的最大差值為1.224763691425324e-04（m）（x方向）。離散正交多項(xiàng)式對法方程系數(shù)沒有要求，適合于各種數(shù)據(jù)插值，但其精度稍低于切比雪夫多項(xiàng)式。

通過圖3可以看出離散正交多項(xiàng)式與切比雪夫多項(xiàng)式擬合最大相差1.445800065994263e-03（m）（x方向），對比兩種方法發(fā)現(xiàn)，切比雪夫多項(xiàng)式插值精度與它的階數(shù)以及節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取有很大關(guān)系。

通過圖4可以看出切比雪夫多項(xiàng)式與實(shí)際值在擬合點(diǎn)數(shù)值一致。但是不同的階數(shù)和不同的節(jié)點(diǎn)切比雪夫多項(xiàng)式插值精度明顯有差異，當(dāng)選取某一階數(shù)時(shí)，只有把節(jié)點(diǎn)選取合理，切比雪夫多項(xiàng)式得到的結(jié)果才能精度較高。而且分析可知，當(dāng)階數(shù)達(dá)到一定高度時(shí)，切比雪夫擬合精度保持平緩趨勢，精度沒有較大波動。

3總結(jié)

本文對比了切比雪夫多項(xiàng)式、拉格朗日插值和離散正交多項(xiàng)式對精密星歷的擬合精度，結(jié)果得出，切比雪夫內(nèi)插雖然能夠避免在計(jì)算過程中法方程病態(tài)的情況，但是由于其系數(shù)都是在[-1，1]的范圍內(nèi)，所以導(dǎo)致計(jì)算過程會比較復(fù)雜，比較耗時(shí);離散正交多項(xiàng)式對法方程系數(shù)沒有要求，適合于各種數(shù)據(jù)插值，但其精度稍低于切比雪夫多項(xiàng)式。拉格朗日屬于內(nèi)插方法，所以其在已知值上的精度最高，但是內(nèi)插值的精度也較切比雪夫稍差。綜上，三種精密星歷內(nèi)插方法都可以達(dá)到要求水平，但它們的精度也存在差異，而這三種方法的擬合精度排序?yàn)椋呵斜妊┓?拉格朗日>離散正交。

參考文獻(xiàn)

[1] 李明峰，江國焰，張凱，等.IGS精密星歷內(nèi)插法與擬合法精度的比較[J].大地測量與地球動力學(xué)，2008，28（2）：77-81.

[2] 歐美極.北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的Chebyshev多項(xiàng)式擬合算法[J].中國科技信息，2015（Z4）：83-84.

[3] 吳波，黨亞民，楊強(qiáng)，等.廣播星歷下多系統(tǒng)衛(wèi)星位置、速度計(jì)算及精度分析[J].測繪通報(bào)，2016（1）：64-67+75.

[4] 任迎華.IGS精密星歷內(nèi)插GPS衛(wèi)星位置研究[J].礦山測量，2010（3）：54-56+4.

[5] 劉翔，時(shí)振偉.IGS精密星歷內(nèi)插及外推方法比較分析[J].全球定位系統(tǒng)，2013，38（2）：70-73+81.

[6] 張朋飛，謝劭峰，劉立龍.IGS精密星歷內(nèi)插方法的比較[J].地理空間信息，2013，11（5）：94-96+13.

[7] 陳兆林，張書畢，佟瑞菊.用拉格朗日多項(xiàng)式內(nèi)插計(jì)算GPS衛(wèi)星位置[J].全球定位系統(tǒng)，2007（2）：33-35.

[8] 陳兆林，朱彥武，張書畢.一種GPS精密星歷的多項(xiàng)式插值方法[J].工程勘察，2008（4）：61-63.

[9] 萬亞豪，張書畢，侯東陽.GPS精密星歷插值法與擬合法的精度分析[J].全球定位系統(tǒng)，2011，36（2）：40-44.

[10] 李東，王靜，常增亮，等.GPS精密星歷的切比雪夫多項(xiàng)式擬合法[J].齊魯工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，30（4）：60-62.