吳淼杰 韓旭 陶友瑞

摘要 齒輪是機械傳動中的重要基礎元件，在航空航天、軌道交通、工程機械與精密儀器等領域有廣泛應用，齒面磨損是齒輪的主要失效形式。首先，按照不同的磨損機理，分別綜述了齒面黏著磨損和齒面疲勞磨損的數(shù)值建模研究，總結了磨損模型的4個發(fā)展階段。其次，闡述了考慮系統(tǒng)動態(tài)響應、多種潤滑狀態(tài)及微觀形貌演變的齒面磨損仿真研究，簡述了國內(nèi)外學者在該領域中的研究成果與存在的問題。最后，總結了齒面磨損數(shù)值仿真領域值得深入探索的問題，并對該領域的發(fā)展方向進行了展望。

關 鍵 詞 齒輪傳動;磨損預測;數(shù)值仿真;磨損模型;齒面磨損

中圖分類號 TH132.4 ? ? 文獻標志碼 A

An overview of numerical simulation methods for tooth wear

WU Miaojie1， HAN Xu1，2， TAO Yourui2

（1. College of Mechanical and Vehicle Engineering， Hunan University， Changsha， Hunan 410082， China; 2. State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment， Hebei University of Technology， Tianjin 300130， China）

Abstract Gear is an important component in mechanical transmission， which is widely used in aerospace， rail transit， engineering machinery and precision instruments， etc.. The main failure form of gear is tooth surface wear. First of all， according to different wear mechanisms， the numerical modeling research of adhesive wear and fatigue wear of tooth surface is summarized， and the four development stages of wear model are also summarized. Secondly， the simulation research of tooth surface wear considering the dynamic response of the system， various lubrication states and micro morphology evolution is discussed， and the research results and existing problems of domestic and foreign scholars are described. Finally， the problems that are worthy of further exploration of numerical simulation of tooth wear are summarized， and its development direction is presented.

Key words gear transmission; wear prediction; numerical simulation; wear model; tooth surface wear

0 引言

齒輪具有傳動精確、效率高、結構緊湊等特點，被廣泛用于航空航天[1]、軌道交通[2]、工程機械[3]、精密儀器[4]等諸多領域，是傳統(tǒng)機械中的重要基礎元件。據(jù)統(tǒng)計，傳動機械中約80%的故障是由齒輪失效引起的，約1/3～1/2的工業(yè)能源損耗是由摩擦磨損造成的，隨著我國齒輪行業(yè)生產(chǎn)規(guī)模的不斷擴大，由齒輪磨損造成的經(jīng)濟損失問題也愈發(fā)凸顯，對齒面磨損問題開展研究具有重大的社會效益和經(jīng)濟效益。齒面磨損是一個齒面材料不斷損失的連續(xù)過程，貫穿齒輪的整個服役周期，大致分為磨合階段、穩(wěn)定磨損階段和劇烈磨損階段。雖然齒輪的磨合過程能提高傳動性能，但過度的齒面磨損會增大傳遞誤差使傳動精度降低，直接影響機械系統(tǒng)的服役壽命和工作可靠性[5]。齒面磨損會改變齒面載荷分布，影響齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性，產(chǎn)生嚴重的振動與噪聲[6]，惡化齒輪服役條件，縮短齒輪的工作壽命[7]?，F(xiàn)代機械設備向高端化與精密化發(fā)展，對齒輪提出高速重載、精密低噪、長服役周期等要求，齒輪的磨損性能是齒輪能否長期穩(wěn)定運行的關鍵，研究復雜齒面的磨損進程，揭示其磨損機理對于提高齒輪傳動性能具有重要意義。

齒面磨損數(shù)值仿真研究包括磨損模型的建立和數(shù)值仿真2部分，磨損模型能夠在一定程度上揭示齒面磨損機理，為數(shù)值仿真提供理論指導和工作基礎;數(shù)值仿真是理論模型的實際應用，能夠模擬齒面磨損進程，揭示各影響因素對齒面磨損的作用機制，二者缺一不可。本文首先分析了齒面磨損數(shù)值模型的發(fā)展階段，然后，闡述了與齒面磨損數(shù)值建模相關的代表性研究，按磨損類型分別從齒面黏著磨損和齒面疲勞磨損兩方面對建模研究進行綜述，其次，討論了齒面磨損與系統(tǒng)動態(tài)響應、潤滑狀態(tài)、表面形貌的耦合作用的研究現(xiàn)狀及關鍵問題，系統(tǒng)地評述了現(xiàn)有的齒輪齒面磨損數(shù)值仿真研究方法，最后，對齒輪齒面磨損的數(shù)值仿真研究進行總結與展望。

1 齒面磨損數(shù)值建模研究

齒輪傳動是基于齒面嚙合的連續(xù)相互作用來傳遞動力的，在其服役周期內(nèi)，齒面間的力學作用或化學作用會不可避免地引起磨損。按磨損機理，可將磨損分為四大基本類型：黏著磨損、磨粒磨損、腐蝕磨損和疲勞磨損。齒面磨損的影響因素較多，通常是多種磨損機理的復合作用，建立完全符合實際的齒面磨損模型有很大難度，目前，齒面磨損數(shù)值模型大多基于單一的磨損機理建立。多年來，學者們在齒面磨損方面進行了大量工作[8-12]，建立了多種齒面磨損數(shù)值模型。

對現(xiàn)有文獻歸納總結可知，磨損數(shù)值模型的發(fā)展大致可以分成4個階段：第1個階段的磨損模型為經(jīng)驗公式[13]，只能夠較為準確地預測特定試驗工況和一定數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的磨損行為，不具有普適性，對于磨損機理的理解還較為淺顯。第2個階段的磨損模型開始考慮物理過程和部分材料性能[8]，將磨損過程中原子之間的相互作用考慮在內(nèi)，能夠定量描述某些材料屬性對磨損行為的影響。第3階段的磨損模型從材料的斷裂、疲勞裂紋擴展等失效機制出發(fā)，根據(jù)經(jīng)典彈塑性力學、斷裂力學等理論設定破壞準則，從應力、應變的角度計算磨損的累積[14-15]，能夠宏觀描述磨損機理。第4階段的磨損模型從微觀角度出發(fā)[16-18]，考慮分子、原子尺度的相互作用，采用分子動力學來仿真小尺度粗糙峰的磨損過程，能夠在一定程度上揭示磨損機理的本質。齒輪傳動中，最常見的磨損形式為齒面黏著磨損與齒面疲勞磨損。

1.1 齒面黏著磨損數(shù)值建模研究

齒面黏著磨損是指嚙合齒面間發(fā)生固相焊合作用后，黏著點在齒面相對滑動時被剪切斷裂，金屬材料由原齒面轉移至相嚙合齒面的材料去除行為，目前關于齒面黏著磨損研究大多基于Archard提出的黏著磨損公式[8，19]。1953年，Archard建立了多區(qū)域接觸模型，考慮到磨屑形狀和潤滑狀態(tài)的差異引入磨損系數(shù)，以表征接觸時發(fā)生材料轉移的概率，認為磨損是粗糙峰碰撞導致的塊狀材料去除行為，指出并不需要假設接觸面積與磨粒尺寸的平均值為定值，形成了著名的Archard磨損公式，即

式中：[V]為磨損材料體積;[W]為法向載荷;[H]為軟表面硬度;[K]為無量綱磨損系數(shù);[s]為滑動距離。

Andersson[20]開創(chuàng)性地將Archard磨損公式引入直齒輪磨損計算中，并提出了著名的“單點觀測法”。該方法假設在一個嚙合周期內(nèi)齒面上特定點P的壓力是恒定的，首先，采用Hertz接觸理論確定P點穿過齒輪作用線時的平均壓力和接觸寬度。然后，將齒輪的嚙合過程等效為半徑連續(xù)變化的一對圓柱體接觸[21]，推導了主、從動輪在嚙合過程中的齒面滑動距離[sP，1]與[sP，2]，基于Archard磨損模型計算得到P點的磨損深度[hP，n]，即

式中：[aH]為赫茲接觸半寬;[vP，1]和[vP，2]分別為2齒輪在嚙合點處的切向速度;[hP，n]為經(jīng)過[n]次積分循環(huán)后齒面上P點的磨損深度;[hP，（n-1）]為經(jīng)過[n-1]次積分循環(huán)后P點的磨損深度;[pP，（n-1）]為P點穿過作用線時的平均壓力;[sp]為P點相對嚙合齒的滑動距離;[k]為常數(shù)。

作為齒輪黏著磨損模型研究的先行者，上述工作對于齒面磨損研究具有重要意義，但該理論并未考慮隨著齒面磨損量的增加，齒面偏差與嚙合載荷發(fā)生改變的問題。針對此不足，F(xiàn)lodin[11]基于Archard磨損公式，采用Winkler模型計算齒面接觸壓力，建立了直齒輪輕度磨損數(shù)值模型，規(guī)定每經(jīng)過N次嚙合進行一次齒面重構，從而將磨損過程對齒面接觸的影響考慮在內(nèi)。Flodin將式（3）改寫為新的磨損計算公式

式中：[n]為當前積分循環(huán)次數(shù);[Δt]為單次嚙合離散后的時間步長;[N]為可認為齒面接觸條件相同的嚙合次數(shù)。

隨后，F(xiàn)lodin等[22]將斜齒輪簡化為多個沿軸線堆疊并依次旋轉微小角度的薄片，將式（4）推廣到斜齒輪齒面磨損計算中，F(xiàn)lodin并未考慮齒面粗糙度及潤滑效應。Wu等[23]考慮低溫熱脫附磨損和高溫氧化磨損行為，建立了齒輪混合潤滑下的黏著磨損模型，將齒輪磨損研究推廣至粗糙齒面，能夠評估粗糙度及潤滑特性對齒面磨損的影響。但該模型沒有考慮磨損引起的齒廓改變，忽略了磨損對潤滑狀態(tài)和接觸應力的影響。Wang等[24]基于修正Archard磨損模型[25]，建立考慮潤滑狀態(tài)的齒面黏著磨損模型，將混合潤滑下的黏著磨損研究推廣至重載斜齒輪。

為總結提煉現(xiàn)有齒面黏著磨損模型建立相關研究的特點，將上述研究內(nèi)容按照所采用的研究方法、有無齒面更新、適用范圍和載荷類型4個方面進行提煉總結。從表1可以看出現(xiàn)有基于黏著磨損的齒面磨損建模研究多是基于Archard磨損公式，并假設齒輪副處于準靜態(tài)工況的情況下開展的。磨損仿真大多沿著齒輪副的作用線進行，難以揭示特定嚙合位置的磨損機理。嚙合接觸分析大多采用Hertz理論，即使考慮齒面粗糙度時也是如此，但Hertz理論的一個基本假設是理想光滑表面，因此，采用Hertz理論對粗糙表面進行接觸分析的合理性值得探討。雖然上述研究都精確地基于數(shù)學模型對齒面黏著磨損模型進行了建立，但仍存在考慮齒輪動力學特性不足，接觸分析方法是否合理，磨損機理認識不夠深入以及現(xiàn)有齒輪潤滑理論分析與真實粗糙齒面潤滑狀態(tài)之間的差別等方面的研究缺陷。因此，齒面黏著磨損模型的建立仍需要進一步的研究。

1.2 齒面疲勞磨損數(shù)值建模研究

相關研究表明，正常工作條件下，齒輪的磨損形式主要為疲勞磨損[6，26]。齒輪在交變接觸應力的作用下，齒面表層會產(chǎn)生塑性變形，在表層或次表層引起裂紋并不斷擴大，造成剝落、點蝕和微點蝕等[27-29]。蘇聯(lián)的克拉蓋爾斯基最先建立固體疲勞磨損理論，將其推廣至齒輪傳動、凸輪機構等多種摩擦副，基于該理論的齒輪疲勞磨損計算方法如下[30]。假設齒輪嚙合時的接觸范圍為橢圓形，接觸橢圓的長、短半軸分別為[a]和[b]，則在滑動方向的赫茲接觸半寬[B]為

Glode?等[31]提出了齒面疲勞磨損的斷裂力學模型，采用有限元方法確定齒輪嚙合時接觸區(qū)域的應力場，推導應力強度因子與裂紋長度之間的函數(shù)關系，仿真了點蝕發(fā)生的疲勞過程，但未考慮潤滑流體壓力的影響。Fajdiga等[32]考慮潤滑流體壓力及殘余應力對裂紋擴展的影響，基于虛擬裂紋伸展法建立了齒輪齒面接觸疲勞的二維計算模型，采用有限元方法仿真初始裂紋萌生至形成表面微點蝕的疲勞過程，雖然該研究考慮了彈流潤滑與切向的摩擦力，但缺乏對金屬內(nèi)部晶體結構的關注。Aslantas等[27]考慮內(nèi)部晶相對齒輪疲勞磨損的影響，針對等溫淬火球墨鑄鐵齒輪，基于有限元理論和線彈性斷裂力學建立齒輪點蝕數(shù)值模型，指出借助現(xiàn)有標準試驗數(shù)值即可對齒輪壽命進行仿真預測。上述模型多基于單一的疲勞磨損機理建立，但試驗結果表明，單一的疲勞磨損模型會過量估計微點蝕的數(shù)量，難以準確預測齒輪磨損后的表面輪廓[33]。針對這一問題，Brand?o等[34-35]結合黏著磨損機理與疲勞磨損機理建立了齒面疲勞磨損模型，考慮了微凸體和潤滑劑特性對磨損的影響，采用FZG齒輪試驗臺驗證了該模型的準確性。Liu等[36]考慮界面特性、材料參數(shù)、磨損演變等多種因素的耦合作用，建立了綜合考慮機械性能的齒輪接觸疲勞模型，用以解釋混合彈流下齒面疲勞失效模式的競爭機制。近年來，同時考慮輕微磨損與接觸疲勞失效的研究方法正形成一種新的趨勢[33-37]。

2.3 考慮微觀形貌演變的齒面磨損仿真研究

齒輪磨損問題影響因素較多，精確建模的工作量和計算量都非常巨大，因此現(xiàn)有研究都對磨損問題進行了簡化。尤其精確的微凸體建模及力學分析是非常復雜的，因此已有研究大多忽略了微凸體碰撞的動態(tài)力，假設滑動力是導致摩擦表面產(chǎn)生微裂紋的唯一因素。然而，忽略磨損中表面形貌對次表面應力的影響，可能降低磨損預測的精度[37]。一些學者開始對齒輪磨損中表面形貌的演變開展研究，結合磨損模型進行齒輪磨損預測，以提高磨損計算的準確性。

Greenwood等[53]基于微凸體的彈塑性提出了粗糙表面的接觸模型（GW模型），研究表明GW模型能較好地模擬兩粗糙表面的接觸，且不存在明顯的精度損失。該模型假設接觸表面覆蓋有類球狀微凸體，考慮微凸體的彈性和塑性兩種變形機理，推導得到典型高斯分布的粗糙表面的接觸面積[A]為

式中：[η1]為微凸體密度;[β1]為微凸體峰頂?shù)那拾霃?[σp1]為微凸體高度的標準差;[Aap]為表觀接觸面積;[F1]為積分函數(shù);[h]為粗糙峰高度與峰頂平均高度間的標準化距離。

Morales-Espejel等[54]考慮彈流潤滑接觸過程中，微觀幾何、磨損系數(shù)與接觸壓力的變化，基于微觀幾何混合潤滑模型[55]建立表面形貌演變的預測模型，研究表面疲勞和輕度磨損對微點蝕的共同作用。Guilbault等[37]從統(tǒng)計學角度出發(fā)，考慮磨損和承載下的塑性變形對粗糙峰的影響，建立磨損過程中表面形貌演變的隨機模型，并推廣至齒輪輕微磨損預測與接觸疲勞分析，采用試驗方法進行了驗證。Liu等[36]考慮界面特性、材料參數(shù)等多種因素的耦合作用，建立了綜合考慮機械性能的齒輪接觸疲勞模型，考慮初始表面粗糙度對齒面磨損展開研究。

與磨損的四大基本類型相比，關于磨損過程中表面形貌演變的數(shù)值研究較少，大多采用試驗方法。由于粗糙表面精確建模的復雜性以及精確計算的高難度，目前，關于齒輪磨損表面形貌的研究主要應用隨機過程理論和統(tǒng)計學原理。隨著對齒輪摩擦磨損問題研究的進一步深入，逐漸揭示了表面形貌對齒輪潤滑、接觸應力及齒面磨損等問題的影響作用，對表面形貌演變開展研究的重要性逐漸凸顯。

3 結論與展望

在簡要介紹了齒輪齒面磨損概況的基礎上，對齒面磨損數(shù)值建模研究及數(shù)值仿真展開了論述?，F(xiàn)有齒面磨損數(shù)值建模研究及數(shù)值仿真雖然在方法上取得了一定的研究成果，但齒面磨損參量眾多，系統(tǒng)動態(tài)特性、潤滑狀態(tài)等較為復雜，仍存在一些問題值得深入探索。結合本文的分析，齒面磨損數(shù)值建模研究及數(shù)值仿真在以下幾方面還需要展開深入研究。

1）齒輪磨損通常為多種磨損機理的復合作用，其磨損過程也很難用單一的磨損模型表征。目前的齒輪磨損模型仍然具有局限性?？紤]更加全面的磨損類型，深入挖掘齒面磨損中不同磨損機理的復合作用，建立納入多種磨損機理的齒面磨損模型，為齒面磨損數(shù)值仿真提供工作基礎。

2）齒輪系統(tǒng)是一個涉及齒輪動力學、齒輪潤滑、表面形貌與齒面磨損的多變量耦合系統(tǒng)。考慮齒輪的多種潤滑狀態(tài)和潤滑介質、齒輪副系統(tǒng)動態(tài)響應和齒面磨損之間的相互作用，量化各個參量對齒面磨損的影響作用，對指導齒輪的設計和使用階段，提高齒輪的工作壽命具有重要意義。

3）由于對磨損機理認識不夠完善，以及對潤滑劑性質退化、粗糙度變化等時變參數(shù)考慮不足，單純采用數(shù)值仿真預測齒面磨損，尤其是長周期下的齒面磨損預測可能會偏離實際。將齒輪磨損的數(shù)值仿真與試驗方法相結合，基于實際測得的齒輪副系統(tǒng)動態(tài)響應、磨損量、表面硬度、潤滑油雜質等參數(shù)，隨磨損進程調(diào)整、更新齒面磨損模型，提高齒輪壽命的預測精度。

4）齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性、潤滑狀態(tài)會隨磨損進程發(fā)生改變，同時其動態(tài)接觸載荷、加工尺寸等參數(shù)具有不確定性和隨機性，齒面磨損也是具有統(tǒng)計特征的隨機過程。建立齒輪磨損隨機過程的基本模型，進行齒輪壽命與系統(tǒng)可靠性預測，研究齒輪磨損可靠性為齒輪磨損研究提供了另一種思路。

參考文獻：

[1] ? ?ROKICKI P，KOZIK B，BUDZIK G，et al. Manufacturing of aircraft engine transmission gear with SLS （DMLS） method[J]. Aircraft Engineering and Aerospace Technology，2016，88（3）：397-403.

[2] ? ?BAKSHI S，DHILLON P，MARUVADA T. Design and optimization of planetary gearbox for a formula student vehicle[J]. SAE International Journal of Materials and Manufacturing，2014，7（3）：688-697.

[3] ? ?ZHANG L X，LIU S R，LI W L，et al. Reliability analysis on gearbox transmission system of agricultural machinery chassis based on FTA[J]. Advanced Materials Research，2013，694/695/696/697：876-882.

[4] ? ?STAICU S. Planetary gear train for robotics[C]//IEEE International Conference on Mechatronics，ICM/HIMA 2005. Taipei，DOI：10. 1109/ICMECH. 2005. 1529371：840-845.

[5] ? ?WU S，CHENG H S. A friction model of partial-EHL contacts and its application to power loss in spur gears[J]. Tribology Transactions，1991，34（3）：398-407.

[6] ? ?CHOY F K，POLYSHCHUK V，ZAKRAJSEK J J，et al. Analysis of the effects of surface pitting and wear on the vibration of a gear transmission system[J]. Tribology International，1996，29（1）：77-83.

[7] ? ?LIU G，PARKER R G. Impact of tooth friction and its bending effect on gear dynamics[J]. Journal of Sound and Vibration，2009，320（4/5）：1039-1063.

[8] ? ?ARCHARD J F. Contact and rubbing of flat surfaces[J]. Journal of Applied Physics，1953，24（8）：981-988.

[9] ? ?BOSMAN R，SCHIPPER D J. Mild wear prediction of boundary-lubricated contacts[J]. Tribology Letters，2011，42（2）：169-178.

[10] ?張俊，卞世元，魯慶，等. 準靜態(tài)工況下漸開線直齒輪齒面磨損建模與分析[J]. 機械工程學報，2017，53（5）：136-145.

[11] ?FLODIN A，ANDERSSON S. Simulation of mild wear in spur gears[J]. Wear，1997，207（1/2）：16-23.

[12] ?HUANG D Q，WANG Z H，KUBO A. Hypoid gear integrated wear model and experimental verification design and test[J]. International Journal of Mechanical Sciences，2020，166：105228.

[13] ?RHEE S K. Wear equation for polymers sliding against metal surfaces[J]. Wear，1970，16（6）：431-445.

[14] ?KAPOOR A，F(xiàn)RANKLIN F J. Tribological layers and the wear of ductile materials[J]. Wear，2000，245（1/2）：204-215.

[15] ?FRANKLIN F J，WIDIYARTA I，KAPOOR A. Computer simulation of wear and rolling contact fatigue[J]. Wear，2001，251（1/2/3/4/5/6/7/8/9/10/11/12）：949-955.

[16] ?AGHABABAEI R，WARNER D H，MOLINARI J F. Critical length scale controls adhesive wear mechanisms[J]. Nature Communications，2016，7：11816.

[17] ?AGHABABAEI R，BRINK T，MOLINARI J F. Asperity-level origins of transition from mild to severe wear[J]. Physical Review Letters，2018，120（18）：186105.

[18] ?MOLINARI J F，AGHABABAEI R，BRINK T，et al. Adhesive wear mechanisms uncovered by atomistic simulations[J]. Friction，2018，6（3）：245-259.

[19] ?FENG K，BORGHESANI P，SMITH W A，et al. Vibration-based updating of wear prediction for spur gears[J]. Wear，2019，426/427：1410-1415.

[20] ?ANDERSON S，SERIKSSON B. Prediction of the sliding wear of spur gears[C]//Proceedings of the Fourth Nordic Symposium on Tribology. Denmark： Nordtrib′90， 1990：10-13.

[21] ?ANDERSSON S. Partial EHD theory and initial wear of gears[D]. Stockholm，Sweden：Royal Institute of Technology，1975.

[22] ?FLODIN A，ANDERSSON S. Simulation of mild wear in helical gears[J]. Wear，2000，241（2）：123-128.

[23] ?WU S F，CHENG H S. Sliding wear calculation in spur gears[J]. Journal of Tribology，1993，115（3）：493-500.

[24] ?WANG H B，ZHOU C J，LEI Y Y，et al. An adhesive wear model for helical gears in line-contact mixed elastohydrodynamic lubrication[J]. Wear，2019，426：896-909.

[25] ?MASJEDI M，KHONSARI M M. An engineering approach for rapid evaluation of traction coefficient and wear in mixed EHL[J]. Tribology International，2015，92：184-190.

[26] ?XU X，LAI J，LOHMANN C，et al. A model to predict initiation and propagation of micro-pitting on tooth flanks of spur gears[J]. International Journal of Fatigue，2019，122：106-115.

[27] ?ASLANTA? K，TA?GETIREN S. A study of spur gear pitting formation and life prediction[J]. Wear，2004，257（11）：1167-1175.

[28] ?CARDOSO N F R，MARTINS R C，SEABRA J H O，et al. Micropitting performance of nitrided steel gears lubricated with mineral and ester oils[J]. Tribology International，2009，42（1）：77-87.

[29] ?WEIBRING M，GONDECKI L，TENBERGE P. Simulation of fatigue failure on tooth flanks in consideration of pitting initiation and growth[J]. Tribology International，2019，131：299-307.

[30] ?王淑仁，閆玉濤，殷偉俐，等. 齒輪嚙合摩擦疲勞磨損的計算模型[J]. 東北大學學報（自然科學版），2008，29（8）：1164-1167.

[31] ?GLODE? S，WINTER H，ST?WE H. A fracture mechanics model for the wear of gear flanks by pitting[J]. Wear，1997，208（1/2）：177-183.

[32] ?FAJDIGA G，F(xiàn)LA?KER J，GLODE? S，et al. Numerical modelling of micro-pitting of gear teeth flanks[J]. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures，2003，26（12）：1135-1143.

[33] ?BRAND?O J A，MARTINS R，SEABRA J H O，et al. Calculation of gear tooth flank surface wear during an FZG micropitting test[J]. Wear，2014，311（1/2）：31-39.

[34] ?BRAND?O J A，MARTINS R，SEABRA J H O，et al. An approach to the simulation of concurrent gear micropitting and mild wear[J]. Wear，2015，324-325：64-73.

[35] ?BRAND?O J A，SEABRA J H O，CASTRO J. Surface initiated tooth flank damage[J]. Wear，2010，268（1/2）：1-12.

[36] ?LIU H L，LIU H J，ZHU C C，et al. Study on gear contact fatigue failure competition mechanism considering tooth wear evolution[J]. Tribology International，2020，147：106277.

[37] ?GUILBAULT R，LALONDE S. A stochastic prediction of roughness evolution in dynamic contact modelling applied to gear mild wear and contact fatigue[J]. Tribology International，2019，140：105854.

[38] ?YANG Y，CAO L Y，LI H，et al. Nonlinear dynamic response of a spur gear pair based on the modeling of periodic mesh stiffness and static transmission error[J]. Applied Mathematical Modelling，2019，72：444-469.

[39] ?BAJPAI P，KAHRAMAN A，ANDERSON N E. A surface wear prediction methodology for parallel-axis gear pairs[J]. Journal of Tribology，2004，126（3）：597-605.

[40] ?LUNDVALL O，KLARBRING A. Simulation of wear by use of a nonsmooth Newton method：a spur gear application1-2*[J]. Mechanics of Structures and Machines，2001，29（2）：223-238.

[41] ?PARK D，KAHRAMAN A. A surface wear model for hypoid gear pairs[J]. Wear，2009，267（9/10）：1595-1604.

[42] ?KUANG J H，LIN A D. The effect of tooth wear on the vibration spectrum of a spur gear pair[J]. Journal of Vibration and Acoustics，2001，123（3）：311-317.

[43] ?WOJNAROWSKI J，ONISHCHENKO V. Tooth wear effects on spur gear dynamics[J]. Mechanism and Machine Theory，2003，38（2）：161-178.

[44] ?DING H L，KAHRAMAN A. Interactions between nonlinear spur gear dynamics and surface wear[J]. Journal of Sound and Vibration，2007，307（3/4/5）：662-679.

[45] ?LIN A D，KUANG J H. Dynamic interaction between contact loads and tooth wear of engaged plastic gear pairs[J]. International Journal of Mechanical Sciences，2008，50（2）：205-213.

[46] ?WANG W，WONG P L，GUO F. Application of partial elastohydrodynamic lubrication analysis in dynamic wear study for running-in[J]. Wear，2004，257（7/8）：823-832.

[47] ?JOHNSON K L，GREENWOOD J A，POON S Y. A simple theory of asperity contact in elastohydro-dynamic lubrication[J]. Wear，1972，19（1）：91-108.

[48] ?AKBARZADEH S，KHONSARI M M. Prediction of steady state adhesive wear in spur gears using the EHL load sharing concept[J]. Journal of Tribology，2009，131（2）： DOI：10. 1115/1. 3075859.

[49] ?MASJEDI M，KHONSARI M M. Film thickness and asperity load formulas for line-contact elastohydrodynamic lubrication with provision for surface roughness[J]. Journal of Tribology，2012，134（1）： DOI：10. 1115/1. 4005514.

[50] ?MASJEDI M，KHONSARI M M. Mixed elastohydrodynamic lubrication line-contact formulas with different surface patterns[J]. Journal of Engineering Tribology，2014，228（8）：849-859.

[51] ?MASJEDI M，KHONSARI M M. On the prediction of steady-state wear rate in spur gears[J]. Wear，2015，342：234-243.

[52] ?徐宏海，謝雄偉，關通. RV減速器國產(chǎn)化批量制造關鍵問題探討[J]. 機械傳動，2018，42（10）：171-174.

[53] ?GREENWOOD J A，TRIPP J H. The contact of two nominally flat rough surfaces[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，1970，185（1）：625-633.

[54] ?MORALES-ESPEJEL G E，BRIZMER V，PIRAS E. Roughness evolution in mixed lubrication condition due to mild wear[J]. Journal of Engineering Tribology，2015，229（11）：1330-1346.

[55] ?MORALES-ESPEJEL G E，WEMEKAMP A，F(xiàn)?LIX-QUI?ONEZ A. Micro-geometry effects on the sliding friction transition in elastohydrodynamic lubrication[J]. Journal of Engineering Tribology，2010，224（7）：621-637.

[責任編輯 ? ?楊 ? ?屹]