溫中凱 張慶君 李爽 雷文平 黃穎

（1 南京航空航天大學航天學院，南京 210016）（2 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）（3 北京空間機電研究所，北京 100094）

0 引言

五棱鏡具有使主截面內(nèi)光路垂直折轉且不產(chǎn)生鏡像的光學特性[1]，在工程中應用十分廣泛，如采用五棱鏡掃描法進行波前檢測[2-4]、利用五棱鏡的折轉特性進行平行光管的焦面監(jiān)測[5-6]、利用五棱鏡檢測光學元件面形[7-10]等。在空間光電跟瞄系統(tǒng)中，常利用大口徑平行光管與五棱鏡的組合來進行各光電子系統(tǒng)的光軸平行性標校，五棱鏡的制造誤差將直接影響多光軸平行性的標校精度，因此，需要對五棱鏡進行誤差分析以修正測試結果。

目前，普遍認為五棱鏡對光線折轉影響最大的誤差源是五棱鏡的角度制造誤差，該誤差會影響五棱鏡的一維不變性，造成轉角誤差，進而影響測試結果的精度。針對當前計算五棱鏡角度制造誤差影響的方法混亂，各方法計算精度不高的情況，本文從各方法的理論基礎入手，結合工程中實際應用的五棱鏡，給出了相應的計算公式、計算范圍以及計算誤差，并推導了一種在所有情況下計算結果均與真值相等的新方法，對實際工程應用具有較強的現(xiàn)實意義。

1 光線轉角誤差的幾種常規(guī)算法

五棱鏡是常見的光束定角度轉向器之一，有兩個折射面和兩個反射面，光線經(jīng)理想五棱鏡的兩次折射與兩次反射后可折轉90°，其主截面示意如圖1 所示。

圖1 理想五棱鏡主截面示意Fig.1 Sketch of principal section for ideal pentaprism

工程應用中的五棱鏡不可能絕對理想，制造誤差主要體現(xiàn)為主截面內(nèi)的∠A、∠B、∠E和∠F與理想值不同。角度制造誤差的存在，將改變五棱鏡的光線恒轉特性，直接影響五棱鏡的工程應用結果，故有必要對其影響進行計算以修正測試數(shù)據(jù)。

1.1 理論求解方法[11-12]

五棱鏡光線追跡法是一種以矢量折反射定律作為理論基礎來求解光線轉角誤差的方法，也是公認的理論求解方法，其結果可作為真值用于評價其他方法的計算精度。

設存在角度制造誤差的五棱鏡為ABCDE—A′B′C′D′E′，其共有4個工作面，按照與光線接觸的先后順序分別設為P1～P4，各工作面的法向量分別設為N1～N4。以點A為坐標原點，P1為YOZ面，ABCDE面為XOY面建立如圖2 所示的空間直角坐標系。

圖2 五棱鏡作用光路Fig.2 Light path map of pentaprism

由圖2可知，光線被4個工作面分成了5部分，按照先后順序分別設各光線的單位方向向量為Ri(mi,ni,pi)，其中i=(1,2,3,4,5)，mi,ni,pi分別為Ri正向與X、Y、Z坐標軸正向夾角的余弦，由空間解析幾何可得各工作面的法向量分別為

式中δ90°、δB、δE和δ45°分別為圖1 所示的五棱鏡主截面內(nèi)∠A、∠B、∠E和∠F這4個角的制造誤差。

對各個工作面依次應用矢量折反射定律，可得存在角度制造誤差五棱鏡的出射光線向量求解公式為

則五棱鏡角度制造誤差所產(chǎn)生的真實光線轉角誤差θ為

1.2 工程中常用的幾種方法

雖然理論求解方法的計算結果為真值，但卻占用了較大的計算資源，故實際應用中常采用其他方法來分析五棱鏡角度制造誤差所產(chǎn)生的光線轉角誤差。目前常用的方法有二倍反射角法、第一光學平行差法、綜合開方法、展開平板光楔法、展開平板光線追跡法、幾何關系分析法、泰勒展開近似法等。

（1）二倍反射角法[13-14]

二倍反射角法認為，五棱鏡屬于二次反射棱鏡，作用相當于一個雙面鏡，其出射光線與入射光線的夾角取決于兩個反射面的夾角，即光線的轉角誤差由δ45°決定，計算公式為

此法僅需對δ45°進行單獨測量便可估計光線的轉角誤差，節(jié)省了工程量，但精度不高。

（2）第一光學平行差法[15-16]

第一光學平行差法認為主截面內(nèi)的光線轉角誤差的大小與δ90°和δ45°有關，同時也受五棱鏡折射率n的影響，具體計算公式為

該方法綜合考慮了折射率和角度制造精度的影響，精度較高，但沒有考慮光線入射角的影響。

綜合開方法認為五棱鏡的光線轉角誤差主要由δ45°與δ90°所決定，兩者各自產(chǎn)生的誤差分別為2δ45°和所產(chǎn)生的綜合誤差為

該法與二倍反射角法類似，雖計算方便，但計算精度不高。

（4）展開平板光楔法[19-21]

展開平板光楔法認為存在角度制造誤差的五棱鏡可展開成一個光楔（見圖3），光線轉角誤差由五棱鏡展開平行平板楔角和五棱鏡折射率n決定，計算公式為

該方法便于進行五棱鏡和其他光學組件的綜合光路分析，但沒有考慮光線入射角的影響。

（5）展開平板光線追跡法[22]

展開平板光線追跡法認為光線轉角誤差不僅與平板楔角α和五棱鏡折射率n有關，還與入射角I的取值有關。光線的作用過程如圖4 所示，圖中I′為出射角。由圖4 所示幾何關系可得光線轉角誤差為

圖3 五棱鏡展開示意Fig.3 Expanded schematic of pentaprism

圖4 展開平板光線追跡示意Fig.4 Ray tracing diagram of unrolled plate

該方法易于進行五棱鏡和其他光學組件的綜合光路分析，但不適合δ45°值較大的五棱鏡使用。

行方式由傳統(tǒng)模式向“四化”模式轉變，功圖計量系統(tǒng)應用代替了傳統(tǒng)人工計量、計量站計量。遠程采集控制終端（RTU）應用實現(xiàn)了數(shù)據(jù)自動傳輸和遠程控制，提升了智能化管理；視頻監(jiān)視系統(tǒng)應用實現(xiàn)了現(xiàn)場監(jiān)控及可視化管理。

（6）幾何關系分析法[23-24]

該方法通過分析五棱鏡主截面光線的折轉情況，根據(jù)圖 5 所示的幾何關系推導出光線轉角誤差為

幾何關系分析法的精度較高，但其計算公式只通過一種形式的光路推導得出，說服力不足。

（7）泰勒展開近似法[25]

根據(jù)幾何知識，并結合多項式泰勒展開，光線轉角誤差θ可近似表示為

式中n1，n2分別為五棱鏡外部環(huán)境的折射率和五棱鏡折射率。該方法精度較高，且主要應用于外部環(huán)境非真空或非空氣的場景下。

圖5 五棱鏡光路幾何關系Fig.5 Geometric relation of pentaprism optical path

2 幾何符值法

本文以空間解析幾何為基礎，代入符號規(guī)則推導了一種既可描述所有可能情況，計算結果又與真值相吻合的計算角度制造誤差影響的方法。推導過程中所有角度的符號均采用國家標準（GB/T·1224-1999）的規(guī)則，并按標準對光線與法線夾角的符號正負做出了如下規(guī)定：由光線以銳角方向轉向法線，順時針為正，逆時針為負。故可根據(jù)五棱鏡入射角I1和出射角I4′的符號正負進行組合分類，有4 種可能的情況：該4 種情況的光線示意如圖6所示。

對于組合①，即I1＞0 、I4′ ＞0時，在P1面上應用折射定律有為光線在P1面上的折射角），過點F、G分別作P1面、P2面的法線NF、NG交于點H，將符號規(guī)則代入幾何關系進行分析計算可得光線在P2面上的反射角I2′為

圖6 五棱鏡幾何光路示意Fig.6 The diagram of pentaprism geometric light path

過點J作P3面的法線NJ交NG于點K，同理分析得光線在該面上的反射角I3′為

過點L作P4面的法線NL交NJ于點M，同理分析得光線在該面上的入射角I4為

對P4面應用折射定律有nsinI4=sinI4′，延長R1與R5交于點N，則R1順時針轉到R5即為光線的折轉角β，且有

又知δ90°+δ45°+δE+δB=0，則光線轉角誤差為θ=β- 90°，即

同理，對組合②、③、④依次分析，所得光線轉角誤差計算公式形式完全相同。

3 各求解方法對比分析

工程中五棱鏡的使用往往需要計算光線通過不同位置或者持續(xù)變化狀態(tài)下五棱鏡出射光線的變化，所以有必要研究不同入射角條件下轉角誤差的變化情況。本文分析所使用的五棱鏡材料為K9，角度制造精度為20″，光波波長為632.8nm，K9 玻璃在該波長下的介質(zhì)折射率為1.515088。根據(jù)符號規(guī)則，分別設定入射角I的取值范圍為±5°、±0.5°和0°，并把這三種情況下各方法的計算誤差（各方法所得結果與真值的差值范圍）進行整理，結果如表1 所示。

表1 各方法在不同入射角條件下的計算誤差Tab.1 The calculation errors of each method under different incident angles單位：（″）

根據(jù)計算結果可得幾點認識：

1）五棱鏡的光線轉角誤差僅由δ90°、δ45°以及光線入射角決定，而與Eδ和Bδ無關。

2）二倍反射角法、綜合開方法、展開平板光楔法、展開平板光線追跡法的計算結果存在極大的超差，不建議進行使用。

3）第一光學平行差法、幾何關系分析法、泰勒展開近似法以及本文所推導的幾何符值法均有較高的計算精度。

為了進一步分析各方法的優(yōu)劣，將I的范圍定為±5°，分析上述這4 種精度較高的方法在五棱鏡角度制造精度為100″、300″、500″時的計算誤差（結果見表2）。

表2 不同制造精度條件下4 種方法的計算誤差Tab.2 The calculation errors of the four methods under different manufacturing precision conditions單位：（″）

由表2 可知，隨著五棱鏡角度制造精度的降低，第一光學平行差法、幾何關系分析法、泰勒展開近似法的計算誤差均隨之增大，其中第一光學平行差法的超差最為嚴重，另外兩種方法的超差幅度大致相同。而本文所推導的幾何符值法無論光線入射角亦或是角度制造誤差如何變化，計算誤差始終保持在（10?10）″的量級，且該誤差可認為是程序算法的舍入誤差，故可認為該方法所計算的結果恒為真值，在現(xiàn)有眾多方法中屬最優(yōu)。

運用本文所給的幾何符值法對角度制造精度為20″、100″、300″、500″的五棱鏡分別進行分析，可得0°、±0.5°、±5°入射角范圍下所產(chǎn)生的轉角誤差計算范圍（如表3 所示）。

表3 不同入射角與制造精度對應的轉角誤差計算范圍Tab.3 The calculation ranges of steering angle error corresponding to different incident angle and manufacturing accuracy單位：（″）

將±0.5°、±5°入射角范圍下的計算結果與0°入射角的計算結果進行比較，可得入射角所產(chǎn)生的附加誤差，如表4 所示。

表4 附加誤差統(tǒng)計表Tab.4 Statistical table of additional error單位：（″）

通過比較表3～4 中不同制造精度的五棱鏡在入射角為0°、±0.5°、±5°條件下的轉角誤差與附加誤差計算結果，可以看出：光線轉角誤差主要由五棱鏡制造精度決定，而與光線入射角的關系不大；當五棱鏡的角度制造精度為20″時，±5°的入射角變化僅產(chǎn)生0.1971″的附加誤差，相對誤差僅為0.28%；當五棱鏡的制造精度較低，比如當五棱鏡的角度制造精度為500″時，±5°的入射角變化會產(chǎn)生5.5272″的附加誤差，相對誤差僅為0.31%，均遠遠小于角度制造誤差所帶來的影響。

4 結束語

本文對當前工程中常用的分析五棱鏡角度制造誤差影響的方法進行了介紹，給出了各方法計算光線轉角誤差的理論基礎以及計算誤差，并結合符號規(guī)則推導了一種任意光線入射角、任意角度制造誤差下計算結果均為真值的新方法，對比分析結果顯示該方法在當前所有計算五棱鏡角度制造誤差影響的方法中屬最優(yōu)。此外，通過對計算結果進行分析發(fā)現(xiàn)：五棱鏡的光線轉角誤差僅由δ90°、δ45°以及光線入射角決定，而與Eδ和Bδ無關；光線轉角誤差的大小主要取決于五棱鏡角度制造精度，而與光線入射角的關系不大。