蔡成欣 陳韶賡 王學(xué)梅 梁俊燕 王兆宏

1) (河南工業(yè)大學(xué)糧食信息處理與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,鄭州 450001)

2) (河南工業(yè)大學(xué)河南省糧食光電探測(cè)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,鄭州 450001)

3) (河南工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，鄭州 450001)

4) (西安交通大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,物理電子與器件教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

五模超材料是一類可以解除剪切模量的人工固體微結(jié)構(gòu),具有類似流體的性質(zhì),在聲波調(diào)控中有著潛在的應(yīng)用.聲學(xué)變換作為聲波調(diào)控的一種重要手段,在超材料聲學(xué)器件的設(shè)計(jì)中被廣泛使用.聲學(xué)變換的引入會(huì)壓縮均勻各項(xiàng)同性五模超材料.因此,需要研究各向異性對(duì)三維非對(duì)稱雙錐五模超材料帶隙及品質(zhì)因數(shù)的影響.本文利用有限元方法,對(duì)各項(xiàng)異性三維非對(duì)稱雙錐五模超材料的能帶結(jié)構(gòu)及品質(zhì)因數(shù)進(jìn)行了研究.研究結(jié)果表明,三維非對(duì)稱雙錐五模超材料單模區(qū)域的相對(duì)帶寬隨著各向異性的增大而減小,第一帶隙的相對(duì)帶寬增大到123%,品質(zhì)因數(shù)增大到6.9倍.本研究可為聲學(xué)變換在三維非對(duì)稱雙錐五模超材料中的應(yīng)用提供指導(dǎo).

1 引 言

五模超材料是Milton與Cherkaey[1]提出的一類具有固體形態(tài)和“流體”特性的人工微結(jié)構(gòu)極值材料.通過(guò)解除壓縮波和剪切波的耦合,使其周期性結(jié)構(gòu)很難被壓縮,但卻很容易發(fā)生剪切形變[2].由這樣的結(jié)構(gòu)單元周期排列構(gòu)成的聲學(xué)超材料,可以實(shí)現(xiàn)類似“流體”的性質(zhì).五模超材料可調(diào)的模量各向異性、較小的填充率、寬頻等特點(diǎn)賦予五模超材料優(yōu)越的水下聲波調(diào)控能力[3,4].

2006 年,Milton等[5]通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)彈性動(dòng)力學(xué)方程在曲線變換下的變化規(guī)律,提出了五模超材料用于彈性波隱身的可行性.2008 年,Norris[6]系統(tǒng)分析了慣性聲隱身與五模超材料聲隱身衣,提出了變換聲學(xué)理論在五模超材料中應(yīng)用的可行性.2010 年,Scandrett等[7,8]和 Boisvert等[9]利用分層化的五模超材料提出了聲隱身衣的設(shè)計(jì)方法.理想的五模超材料是由窄直徑很小的雙錐單元連接構(gòu)成的面心立方結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性較差.為了能夠得到穩(wěn)定性相對(duì)較好的三維五模超材料,Kadic等[2]和Schittny等[10]加入實(shí)心小球來(lái)替代點(diǎn)連接,并利用侵入式激光直寫(xiě)光刻技術(shù)與3D打印技術(shù)制作出了微米及毫米量級(jí)的三維實(shí)物結(jié)構(gòu).此后,研究人員開(kāi)始對(duì)五模超材料的聲學(xué)與力學(xué)特性進(jìn)行研究[11?15],設(shè)計(jì)出聲學(xué)超表面[16]、聲學(xué)波導(dǎo)[17]與聲學(xué)隱身衣[18,19]等多種二維五模超材料聲波調(diào)控器件.

基于變換聲學(xué)理論,五模超材料聲學(xué)隱身衣能夠避免慣性聲學(xué)隱身衣殼層內(nèi)部質(zhì)量奇異點(diǎn)的問(wèn)題,這為五模聲學(xué)隱身衣的設(shè)計(jì)和制作提供了基礎(chǔ)[6].由于在二維情況下,聲波方程可以與麥克斯韋方程組一一對(duì)應(yīng),因此對(duì)五模超材料的研究多集中在二維結(jié)構(gòu)器件的設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn).2015年,張向東等[20]采用分層近似的方法,對(duì)圓柱形分層五模超材料聲學(xué)隱身衣的散射聲壓場(chǎng)進(jìn)行了理論分析,并通過(guò)數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.2016年,陸智淼等[21]對(duì)基于五模超材料的聲學(xué)變換方程進(jìn)行了研究,分析了影響五模超材料聲學(xué)隱身衣性能的因素及規(guī)律,結(jié)果表明合適的坐標(biāo)變換方程能夠有效地改善隱身效果.同年,陳毅等基于準(zhǔn)對(duì)稱映射梯度算法獲得了任意形狀的二維五模聲學(xué)隱身衣.此外,Chen等[19]還提出基于五模超材料的隱身地斗篷.

由于三維五模超材料結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,目前對(duì)三維五模超材料的研究還比較缺乏.Chen和Chan[22,23]利用直流電導(dǎo)方程在坐標(biāo)變換下的不變性,將聲波方程和直流電導(dǎo)方程建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,首次導(dǎo)出一般的三維變換聲學(xué)方程,給出了聲學(xué)坐標(biāo)變換前后三維空間等效參數(shù)需要滿足的對(duì)應(yīng)關(guān)系,為三維五模超材料聲學(xué)隱身衣的設(shè)計(jì)提供了可行的研究方法和理論基礎(chǔ).在設(shè)計(jì)三維五模超材料隱身衣時(shí),除了需要對(duì)外部聲波進(jìn)行調(diào)控之外,還需要考慮對(duì)隱身衣內(nèi)部聲波的抑制[13].聲學(xué)坐標(biāo)變換下,五模超材料的周期性結(jié)構(gòu)會(huì)被不同程度地壓縮,引起雙錐單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化,并對(duì)其能帶結(jié)構(gòu)、品質(zhì)因數(shù)和填充率產(chǎn)生作用,進(jìn)而影響五模超材料對(duì)其內(nèi)部聲波的控制[24,25].因此,本文基于有限元方法研究各向異性對(duì)三維非對(duì)稱雙錐五模超材料能帶特性及品質(zhì)因數(shù)的影響,為變換聲學(xué)在三維五模超材料聲學(xué)器件的設(shè)計(jì)及應(yīng)用提供參考.

2 三維非對(duì)稱雙錐五模超材料的各向異性及能帶結(jié)構(gòu)

2.1 三維各向異性結(jié)構(gòu)模型

三維各向同性非對(duì)稱雙錐五模超材料晶胞結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示,由十六個(gè)非對(duì)稱雙錐相交構(gòu)成面心立方晶格.非對(duì)稱雙錐的寬直徑為D,窄直徑分別為d1和d2,高度為H,晶格常數(shù)為a.構(gòu)造三維各向異性五模超材料有很多方式,其中最直接的方法就是: 選取一個(gè)原胞的窄直徑交點(diǎn)P為參考點(diǎn),分別沿四個(gè)不同方向移動(dòng)交點(diǎn)P來(lái)構(gòu)造三維各向異性五模超材料,對(duì)應(yīng)的各向異性晶胞結(jié)構(gòu)如圖1(b)—圖1(e)所示,分別命名為模型1(X軸)、模型2(Y軸)、模型3(Z軸)、模型4(體對(duì)角線).當(dāng)點(diǎn)P(0.25a,0.25a,0.25a)如圖1(a)所示時(shí),三維五模超材料為各向同性的,其各向異性程度最低;當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)時(shí),距離點(diǎn) (0.25a,0.25a,0.25a)的位置越遠(yuǎn),其各向異性程度就越高.

圖1 (a)各向同性五模超材料晶胞與(b)?(e)各向異性五模超材料晶胞結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1.The unit cell structure of isotropy (a) and (b)?(e) anisotropic pentamode materials.

2.2 能帶結(jié)構(gòu)及品質(zhì)因數(shù)

各向異性的引入會(huì)對(duì)組成三維非對(duì)稱雙錐五模超材料原胞的基元結(jié)構(gòu)參數(shù)H產(chǎn)生影響,使得原胞內(nèi)原本相同的四個(gè)基元變得不同,從而影響原胞內(nèi)部的本征振動(dòng)形態(tài).因此,各向異性會(huì)影響三維非對(duì)稱雙錐五模超材料的帶隙特性、單模區(qū)域、壓縮模量及剪切模量.為了系統(tǒng)地研究各向異性對(duì)三維非對(duì)稱雙錐五模超材料的能帶結(jié)構(gòu)及五模特性的影響,利用有限元仿真軟件Comsol Multiphysics,在布洛赫邊界條件下對(duì)各向異性原胞進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.原胞結(jié)構(gòu)參數(shù)為a=37.3 mm,H=16.15 mm,D=3 mm,d1=0.6 mm,d2=0.3 mm.組成材料的質(zhì)量密度為1190 kg/m3、泊松比為0.4、楊氏模量 3 GPa.

圖2為P點(diǎn)沿空間對(duì)角線方向偏移0.25倍對(duì)角線長(zhǎng)度時(shí)所對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)圖,其中橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)整個(gè)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)邊界與頻率.第一帶隙(黑色區(qū)域)的下邊界(fl)與上邊界(fu)頻率分別為 9.017 與 10.466 kHz,對(duì)應(yīng)的相對(duì)帶寬為0.149,頻率落在帶隙范圍內(nèi)的壓縮波和剪切波的傳播均被抑制.單模區(qū)域(灰色區(qū)域)的下邊界與上邊界頻率分別為 0.457與2.333 kHz,相對(duì)帶寬為1.345.在單模區(qū)域頻率范圍內(nèi),壓縮波與剪切波將被解耦合,即只有壓縮波可以傳播,剪切波將被抑制.

圖2 P點(diǎn)沿空間對(duì)角線方向偏移0.25倍對(duì)角線長(zhǎng)度時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)Fig.2.The band structure of pentamode material with

理想的三維五模超材料是難壓縮、易形變的固體人工微結(jié)構(gòu),其體積彈性模量B與剪切模量G具有較大比值.為了描述單模區(qū)域?qū)?yīng)壓縮波與剪切波的解耦合能力,將體積彈性模量B與剪切模量G的比值定義為品質(zhì)因數(shù)(figure of merit).品質(zhì)因數(shù)越大,五模超材料解除壓縮波與剪切波耦合的能力就越好.對(duì)于各向異性三維非對(duì)稱雙錐五模超材料,彈性模量B與剪切模量G的值可由以下式子得到[26]:

3 數(shù)值仿真結(jié)果及討論

基于有限元方法,對(duì)于四種類型的三維各向異性非對(duì)稱雙錐五模超材料的原胞進(jìn)行能帶結(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算,并對(duì)其第一帶隙、單模區(qū)域、品質(zhì)因數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行了系統(tǒng)研究,結(jié)果如圖3—圖7所示.

對(duì)于模型1,當(dāng)P點(diǎn)沿X軸方向移動(dòng)時(shí),其第一帶隙與單模區(qū)域隨移動(dòng)距離的變化如圖3所示.當(dāng)OxP/a=0.25 時(shí),五模超材料的原胞為各向同性的三維結(jié)構(gòu),這時(shí)P點(diǎn)的各向異性程度最小;當(dāng)OxP/a=0.05 或 0.45時(shí),各向異性程度最大.隨著各向異性程度的增加,第一帶隙的下界頻率從 8.845 kHz 上升到 11.753 kHz,對(duì)應(yīng)的上界頻率從 9.538 kHz 上升到 14.846 kHz,其相對(duì)帶寬從0.148增加到 0.233,大約增加了 57.4%.單模區(qū)域的下界頻率在0.457與0.601 kHz之間變化,對(duì)應(yīng)的上界頻率在1.938與2.333 kHz之間變化,其相對(duì)帶寬從1.344減小到1.053,大約減小了21.6%.

對(duì)于模型2,當(dāng)P點(diǎn)沿Y軸方向移動(dòng)時(shí),各向異性五模超材料的第一帶隙與單模區(qū)域隨移動(dòng)距離的變化如圖4所示.隨著各向異性程度的增加,第一帶隙的下界頻率在8.017—11.27 kHz之間變化,對(duì)應(yīng)的上界頻率在 8.421—14.852 kHz之間變化,其相對(duì)帶寬從0.147增加到0.328,大約增加了123%.單模區(qū)域的下界頻率從0.457 kHz上升到 0.632 kHz,對(duì)應(yīng)的上界頻率從 2.333 kHz 減小到1.448 kHz,其相對(duì)帶寬從1.344減小到0.881,大約減小了34.4%.單模區(qū)域相對(duì)帶寬在各向異性程度最大處明顯下降的主要原因是由于第一帶隙相對(duì)帶寬增大,單模區(qū)域的頻率范圍受到壓縮.

圖3 模型 1 的第一帶隙與單模區(qū)域的 (a)上下界頻率;(b) 相對(duì)帶寬Fig.3.(a) The upper and lower edges and (b) relative bandwidth of the first phononic band gaps and single mode area of model 1.

圖4 模型 2 的第一帶隙與單模區(qū)域的 (a)上下界頻率;(b) 相對(duì)帶寬Fig.4.(a) The upper and lower edges and (b) relative bandwidth of the first phononic band gaps and single mode area of model 2.

圖5 模型 3 的第一帶隙與單模區(qū)域的 (a)上下界頻率;(b)相對(duì)帶寬Fig.5.(a) The upper and lower edges and (b) relative bandwidth of the first phononic band gaps and single mode area of model 3.

圖6 模型 4 的第一帶隙與單模區(qū)域的 (a)上下界頻率;(b) 相對(duì)帶寬Fig.6.(a) The upper and lower edges and (b) relative bandwidth of the first phononic band gaps and single mode area of model 4.

圖7 各向異性對(duì)非對(duì)稱雙錐五模超材料品質(zhì)因數(shù)的影響Fig.7.The influence of anisotropy on the figure of merit of asymmetric double-cone pentamode materials.

對(duì)于模型3,當(dāng)P點(diǎn)沿Z軸方向移動(dòng)時(shí),各向異性五模超材料的第一帶隙與單模區(qū)域隨移動(dòng)距離的變化如圖5所示.隨著各向異性程度的增加,第一帶隙的下界頻率從8.839 kHz上升到11.764 kHz,對(duì)應(yīng)的上界頻率從9.527 kHz上升到14.847 kHz,其相對(duì)帶寬從0.148增加到0.236,大約增加了59.4%.單模區(qū)域的下界頻率在0.438—0.562 kHz之間變化,對(duì)應(yīng)的上界頻率在 1.941—2.333 kHz之間變化,其相對(duì)帶寬從1.344減小到1.101,大約減小了18.1%.

對(duì)于模型4,當(dāng)P點(diǎn)沿對(duì)角線方向移動(dòng)時(shí),各向異性五模超材料的第一帶隙與單模區(qū)域隨移動(dòng)距離的變化如圖6所示.隨著各向異性程度的增加,第一帶隙的下界頻率在 4.701—10.034 kHz之間變化,對(duì)應(yīng)的上界頻率在 4.992—17.794 kHz之間變化,其相對(duì)帶寬從0.147增加到0.256,約增加了74.1%.單模區(qū)域的下界頻率在 0.322—0.923 kHz之間變化,對(duì)應(yīng)的上界頻率在 1.217—2.333 kHz之間變化,其相對(duì)帶寬從1.344減小到0.449,大約減小了 66.6%.在處,第一帶隙的拓寬對(duì)單模區(qū)域的上界產(chǎn)生了較強(qiáng)的影響,使單模區(qū)域的上界頻率下降,同時(shí)其下界頻率上升,從而單模區(qū)域相對(duì)帶寬在此處下降比較明顯.

“流體”特性是非對(duì)稱雙錐五模超材料的主要特性之一,而品質(zhì)因數(shù)是衡量這種性質(zhì)的重要參數(shù).各向異性對(duì)五模超材料品質(zhì)因數(shù)的影響如圖7所示,由于三維非對(duì)稱雙錐五模超材料的各向異性變化是沿著四個(gè)不同的方向,因此對(duì)原胞內(nèi)四個(gè)雙錐基元高度的影響是不同的,即不同方向上的各向異性對(duì)三維非對(duì)稱雙錐五模超材料能帶結(jié)構(gòu)的影響也不相同.當(dāng)P點(diǎn)沿X軸與Y軸方向變化時(shí),其品質(zhì)因數(shù)最大值約為251;當(dāng)P點(diǎn)沿Z軸變化時(shí),其品質(zhì)因數(shù)最大值約為1730;當(dāng)P點(diǎn)沿對(duì)角線方向變化時(shí),其品質(zhì)因數(shù)最大值約為327.相對(duì)于各向同性三維非對(duì)稱雙錐五模超材料,各向異性三維非對(duì)稱雙錐五模超材料的品質(zhì)因數(shù)可以增加近6.9倍.

4 結(jié) 論

通過(guò)調(diào)節(jié)基元窄直徑連接點(diǎn)P的位置,構(gòu)建了四種各向異性三維非對(duì)稱雙錐五模超材料模型.由于不同方向上的各向異性變化對(duì)非對(duì)稱雙錐結(jié)構(gòu)基元參數(shù)的影響不盡相同,其能帶結(jié)構(gòu)與品質(zhì)因數(shù)也會(huì)受到不同程度的影響,本文給出了各向異性程度與三維非對(duì)稱雙錐五模超材料帶隙特性、單模區(qū)域與品質(zhì)因數(shù)的關(guān)系.與各向同性三維非對(duì)稱雙錐五模超材料相比,各向異性三維非對(duì)稱雙錐五模超材料第一帶隙的相對(duì)帶寬可被有效地拓寬,品質(zhì)因數(shù)可增大6.9倍.研究結(jié)果可為基于三維非對(duì)稱雙錐五模超材料的聲學(xué)器件設(shè)計(jì)提供參考.由于各向異性的引入,使得三維非對(duì)稱雙錐五模超材料的結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜,樣件加工的需求進(jìn)一步提高,整體穩(wěn)定性也有所降低,因此對(duì)具有較高穩(wěn)定性且易加工的新型三維五模超材料原胞結(jié)構(gòu)還需進(jìn)一步研究探索.