孫宇

【摘 要】 在無(wú)錫近幾年的中考題和模擬題中，以旋轉(zhuǎn)變換為背景的題目層出不窮，而旋轉(zhuǎn)類(lèi)相似問(wèn)題更是經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，是學(xué)生獲得高分的一只“攔路虎”。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者進(jìn)行了相應(yīng)的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，這一類(lèi)題型有一定的基本解答模型，其必然會(huì)涉及等腰三角形的相似和“SAS”類(lèi)型的相似判定。本篇文章對(duì)這一類(lèi)方法進(jìn)行了深入的探究。

【關(guān)鍵詞】 中考;旋轉(zhuǎn)類(lèi)相似;等腰三角形;“SAS”

一、旋轉(zhuǎn)類(lèi)相似問(wèn)題的理解

由于旋轉(zhuǎn)是一種全等變換，其旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角都是相等的。因此，將對(duì)應(yīng)點(diǎn)相連接，可以得到對(duì)應(yīng)的一組等腰三角形，而該組等腰三角形的頂角也是相等的，均等于旋轉(zhuǎn)角，所以這組等腰三角形也是相似的。由于這樣的一些特性，旋轉(zhuǎn)類(lèi)相似通常需要用“SAS”來(lái)進(jìn)行證明，并且其出題背景也必然會(huì)涉及兩類(lèi)旋轉(zhuǎn)：第一類(lèi)，等邊三角形、等腰直角三角形、正方形，這一類(lèi)的旋轉(zhuǎn)類(lèi)全等一般不會(huì)說(shuō)明是通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的，而是需要通過(guò)自己作輔助線，得到對(duì)應(yīng)線段的等比關(guān)系而求得，和旋轉(zhuǎn)類(lèi)全等類(lèi)似;另一類(lèi)就是將圖形旋轉(zhuǎn)后，需要通過(guò)等腰三角形的相似來(lái)進(jìn)行求解，這一類(lèi)通常會(huì)給出旋轉(zhuǎn)角（即等腰三角形頂角，一般為120°等特殊角度）。

二、重點(diǎn)題型解析

例1：已知正方形ABCD和正方形BEFG，連接EC并延長(zhǎng)交DF于點(diǎn)M。（注：題設(shè)中的圖，無(wú)虛線部分）。

（1）如圖1，當(dāng)正方形ABCD的頂點(diǎn)C落在正方形BEFG的邊BG上時(shí)，求∠EMF的度數(shù);

（2）若把正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，試探究∠EMF的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析理解：這一題來(lái)自2018年無(wú)錫模擬試題，是一道很典型的以正方形為背景的旋轉(zhuǎn)類(lèi)相似問(wèn)題。第一問(wèn)和第二問(wèn)可以利用相同的旋轉(zhuǎn)類(lèi)相似三角形來(lái)求解。由于第一問(wèn)圖形位置更加特殊，我們可以通過(guò)另一種方法解答，這也是一類(lèi)求角度問(wèn)題的一種方法：注意到題設(shè)中要求的角為∠EMF。由于∠EMF的頂點(diǎn)M并不在特殊的位置，而僅僅是在線段DF上，因此我們想到通過(guò)平移（作平行線）將M點(diǎn)轉(zhuǎn)移，使其到特殊的位置（線段端點(diǎn)或者中點(diǎn)等）。有了這樣的思路，我們作出如圖1中虛線部分的輔助線：過(guò)點(diǎn)D作DH∥EM（將點(diǎn)M轉(zhuǎn)化到線段端點(diǎn)D處），交BE于點(diǎn)H，再連接FH。由此可以得到四邊形CDHE是平行四邊形，從而易得△DAH≌△HEF，則△DHF是一個(gè)等腰直角三角形，則∠EMF=∠HDF=45°。這一種將角的頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化的方法，在2017年無(wú)錫中考的填空題最后一題也出現(xiàn)過(guò)，這也是一種很重要的解答方法。

三、綜合分析

由上述兩道經(jīng)典例題的分析求解過(guò)程，我們可以發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)類(lèi)相似問(wèn)題，其題設(shè)背景必然會(huì)有提示的條件（前文已經(jīng)詳述），證明方法必然會(huì)用到“SAS”類(lèi)型的判定定理，在解答過(guò)程中，一定要始終明確，旋轉(zhuǎn)變換是一種全等變換，其對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角是相等的，對(duì)應(yīng)線段形成的夾角是其旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)中心為圖形的頂點(diǎn)），也是相等的——即“旋轉(zhuǎn)不變性”。 另外，由例2第二問(wèn)，我們還可以分析得到，對(duì)頂相似必然是成對(duì)出現(xiàn)。在解答過(guò)程中，要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行激活與運(yùn)用，及時(shí)總結(jié)與反思，理解題目中的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，才能真正做到一通而百通。

【參考文獻(xiàn)】

[1]包麗鷗.解法對(duì)比重在求“深”求“透”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2018（6）：37.