基于GM-PHD的目標(biāo)空間分布感知算法

柳 毅， 張淑芳， 索繼東

(大連海事大學(xué)， 遼寧大連 116026)

0 引言

對(duì)邊掃描邊跟蹤的認(rèn)知雷達(dá)，目標(biāo)的空間分布特性是實(shí)現(xiàn)對(duì)雷達(dá)信號(hào)控制的重要依據(jù)。僅是通過感知探測(cè)階段的目標(biāo)檢測(cè)與跟蹤實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的數(shù)量、位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等空間分布特性進(jìn)行感知[1]，由于受到目標(biāo)檢測(cè)性能和目標(biāo)跟蹤性能的影響，特別是在高虛警和密集目標(biāo)環(huán)境下，會(huì)導(dǎo)致目標(biāo)空間分布感知結(jié)果不可靠且時(shí)間過長(zhǎng)。

近年來，高斯混合概率假設(shè)密度(GM-PHD)濾波算法成為多目標(biāo)跟蹤(MTT)研究的研究熱點(diǎn)之一，該算法是線性高斯條件下的PHD濾波器解決方案，不僅避免了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)，并可同時(shí)完成對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)和數(shù)目的估計(jì)[2-6]。但標(biāo)準(zhǔn)GM-PHD濾波器并不直接遞推航跡，而是遞推高斯項(xiàng)，由于無法確定目標(biāo)的航跡所屬，而無法形成航跡。為此，文獻(xiàn)[7]提出為高斯項(xiàng)分配標(biāo)簽的方法，解決了航跡形成的問題。文獻(xiàn)[8]提出的樹形結(jié)構(gòu)高斯項(xiàng)管理方法，實(shí)現(xiàn)了航跡管理，同時(shí)采用簡(jiǎn)單有效的計(jì)分規(guī)則抑制了虛假航跡的產(chǎn)生。然而該濾波器在沒有新生目標(biāo)強(qiáng)度信息輸入的情況下，其沒有檢測(cè)新生目標(biāo)的能力。實(shí)際上新生目標(biāo)強(qiáng)度是未知的，如何從一系列包含雜波的量測(cè)中獲取新生目標(biāo)強(qiáng)度是GM-PHD濾波器需解決的問題。同時(shí)新生航跡初始狀態(tài)是遠(yuǎn)離穩(wěn)定狀態(tài)的，如何保證新生航跡在過渡到穩(wěn)定狀態(tài)之前不被過濾掉，是另一個(gè)需要考慮的問題。文獻(xiàn)[9]提出，為使新生目標(biāo)不被修剪過程過濾掉，采用的方法是在剪裁高斯分量是，保留至少一個(gè)對(duì)應(yīng)于每個(gè)測(cè)量值的高斯分量。但這種方法并不保證目標(biāo)的正確關(guān)聯(lián)，錯(cuò)誤的關(guān)聯(lián)會(huì)削弱目標(biāo)強(qiáng)度，容易漏檢新生目標(biāo)。并且保留過多的高斯項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增加。文獻(xiàn)[10]提出了一種改進(jìn)的ET-GM-PHD算法，通過引入一種新的估計(jì)測(cè)量似然值的策略來解決漏檢這一缺陷并采用高斯分量標(biāo)記技術(shù)獲取目標(biāo)軌跡。文獻(xiàn)[11]的方法是將測(cè)量分為三類，分別對(duì)應(yīng)虛警、新生目標(biāo)和存活目標(biāo)。利用位置相關(guān)性區(qū)分這三類測(cè)量，獲取新生目標(biāo)強(qiáng)度。這種方案減少了雜波的干擾，計(jì)算效率較高，但是僅適用于跟蹤低速目標(biāo)。對(duì)于新生目標(biāo)由初始狀態(tài)過渡到穩(wěn)定狀態(tài)的周期長(zhǎng)，在這期間新生目標(biāo)強(qiáng)度低，易漏檢。針對(duì)新生目標(biāo)強(qiáng)度未知的情況，本文在上述方法的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的分段航跡管理GM-PHD多目標(biāo)跟蹤算法(簡(jiǎn)寫為IGM-PHD-MTT)，實(shí)現(xiàn)新生目標(biāo)的檢測(cè)，和有效的保護(hù)新生航跡，并通過改進(jìn)修剪合并算法，在不損失新生目標(biāo)的前提下，有效減少運(yùn)算量。實(shí)現(xiàn)包括新生目標(biāo)在內(nèi)的雷達(dá)檢測(cè)水域的目標(biāo)數(shù)量、目標(biāo)位置和運(yùn)動(dòng)參數(shù)的可靠估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文算法在未知新生目標(biāo)強(qiáng)度的多目標(biāo)環(huán)境下有很好的跟蹤效果。分段航跡管理和改進(jìn)的修剪合并算法的應(yīng)用使濾波器能夠適應(yīng)速度較快的多目標(biāo)場(chǎng)景，對(duì)虛假航跡也有很好的抑制作用。

1 GM-PHD多目標(biāo)跟蹤算法

1.1 隨機(jī)集模型

設(shè)多目標(biāo)狀態(tài)和傳感器量測(cè)分別被建模為隨機(jī)有限集Xk和Zk。

(1)

(2)

xk,j=Fk-1xk-1,j+Bk-1ωk-1,j，j=1,…,Nk

(3)

zk,j=Hk-1xk+vk，j=1,…,Mk

(4)

式中，xk,j表示第j個(gè)目標(biāo)在k時(shí)刻的狀態(tài)，F(xiàn)k-1，Bk-1和Hk-1分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、過程噪聲轉(zhuǎn)移矩陣和觀測(cè)矩陣，ωk-1和vk分別是狀態(tài)噪聲和量測(cè)噪聲，它們是均值為0，協(xié)方差矩陣分別為Qk-1和Rk-1的高斯白噪聲。

1.2 GM-PHD濾波算法

文獻(xiàn)[12]指出若滿足下面的假設(shè)條件：

1) 目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型和觀測(cè)模型都是線性的，即

fk|k-1(x|ζ)=N(x;Fk-1ζ,Qk-1)

(5)

g(z|x)=N(z;Hkx,Rk)

(6)

式中，N(·;m,P)表示均值向量為m、協(xié)方差矩陣為P的高斯密度函數(shù)，F(xiàn)k-1,Qk-1分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣，Hk,Rk分別為觀測(cè)矩陣和觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣。

2) 目標(biāo)的存活概率PS,k(x)和傳感器的檢測(cè)概率PD,k(x)都獨(dú)立于目標(biāo)的狀態(tài)，即PS,k(x)=PS,k，PD,k(x)=PD,k。

3)k-1時(shí)刻存活目標(biāo)和k時(shí)刻新生目標(biāo)RFS的強(qiáng)度函數(shù)為高斯混合函數(shù)，形式為

(7)

(8)

在以上假設(shè)條件下，即將PHD濾波算法簡(jiǎn)化為GM-PHD算法：

1) 預(yù)測(cè)方程

k時(shí)刻目標(biāo)的預(yù)測(cè)強(qiáng)度，即預(yù)測(cè)PHD強(qiáng)度也是高斯混合形式:

vk|k-1(x)=vS,k|k-1(x)+γk(x)

(9)

式中，γk(x)為由式(8)表示的新生目標(biāo)強(qiáng)度；vS,k|k-1(x)為存活目標(biāo)預(yù)測(cè)強(qiáng)度，可表示為

(10)

(11)

(12)

2) 更新方程

在預(yù)測(cè)強(qiáng)度函數(shù)vk|k-1(x)為高斯混合函數(shù)的前提下，k時(shí)刻的后驗(yàn)強(qiáng)度vk(x|Zk-1)表示為

vk(x|Zk)=(1-PD,k)vk|k-1(x)+

(13)

式中，

(14)

(15)

(16)

mk(z)=mk|k-1+Kk(z-Hkmk|k-1)

(17)

Pk=[I-KkHk]Pk|k-1

(18)

(19)

其中，λc和c(z)分別表示虛警的期望數(shù)和單個(gè)虛警點(diǎn)的概率分布,Kk和I分別為量測(cè)的新息增益矩陣和單位矩陣。

2 改進(jìn)的GM-PHD濾波算法

在GM-PHD濾波的處理過程中，后驗(yàn)PHD的高斯分量的數(shù)目是呈指數(shù)遞增的，遞增過程中會(huì)包含大量無效高斯項(xiàng)，為消除這些無效項(xiàng)，GM-PHD處理過程中引入了修剪和融合處理過程。標(biāo)準(zhǔn)GM-PHD濾波算法包括預(yù)測(cè)、更新、修剪、融合四個(gè)步驟[13]，其中修剪、融合能去除大量無效高斯項(xiàng)，避免航跡交換，可極大地減少計(jì)算量。然而，在原始的GM-PHD濾波器需要新生目標(biāo)強(qiáng)度和傳感器的量測(cè)作為輸入。

2.1 新生目標(biāo)檢測(cè)

按照量測(cè)的來源，可以將k時(shí)刻量測(cè)分為三類，即Zk=Zc,k∪Zs,k∪Zb,k，其中，Zc,k，Zs,k和Zb,k分別為k時(shí)刻的虛警、存活和新生目標(biāo)量測(cè)集，且相互排斥，即某個(gè)時(shí)刻量測(cè)集合僅為三種量測(cè)的其中之一，不可能同時(shí)為其中的兩種或兩種以上。本文中不考慮衍生目標(biāo)情況。

可利用量測(cè)值和預(yù)測(cè)值的位置相關(guān)性，確定Zc,k，Zs,k和Zb,k。

存活目標(biāo)量測(cè)集：

(20)

新生目標(biāo)量測(cè)集：

Zb,k={z|‖z-z(c,b),k+1‖

z∈Z(c,b),k,z(c,b),k+1∈Z(c,b),k+1}

(21)

式中，Z(c,b),k=Zc,k∪Zb,k，d1和d2分別為生存目標(biāo)和新生目標(biāo)的距離門限。

利用式(20)能夠分離量測(cè)集Zk中由存活目標(biāo)產(chǎn)生的量測(cè)Zs,k和由虛警及新生目標(biāo)產(chǎn)生的量測(cè)Z(c,b),k。根據(jù)式(21)，將新生目標(biāo)延遲一個(gè)量測(cè)周期，利用虛警的不相關(guān)性，利用k-1時(shí)刻的量測(cè)，可將虛警量測(cè)從Z(c,b),k中去除，剩余量測(cè)Zb,k即為新生目標(biāo)的量測(cè)。

2.2 改進(jìn)GM-PHD濾波器遞推過程

基于式(20)和式(21)的定義，本文提出的改進(jìn)GM-PHD濾波器計(jì)算過程如圖1所示。圖中，νb,k-1，νs,k-1分別代表k-1時(shí)刻新生和存活目標(biāo)的高斯項(xiàng)，Jb，k-1和Js，k-1分別對(duì)應(yīng)新生航跡和存活目標(biāo)的高斯項(xiàng)的數(shù)目，其余符號(hào)以此類推。

圖1 改進(jìn)GM-PHD濾波器遞推流程

(22)

2.3 分段航跡管理

本節(jié)討論式(20)和式(21)中的距離門限d1和d2轉(zhuǎn)換成高斯項(xiàng)權(quán)重修剪門限Th1和Th2間的關(guān)系。同時(shí)將文獻(xiàn)[12]中的航跡管理規(guī)則進(jìn)行擴(kuò)展使其適用于本文的分段航跡管理。

1) 分段修剪門限

(23)

在復(fù)雜場(chǎng)景下，新生目標(biāo)強(qiáng)度修剪門限應(yīng)該修正為

(24)

其中，ζ≥1與場(chǎng)景復(fù)雜度(目標(biāo)密集程度)有關(guān)?？紤]逐漸增加的目標(biāo)數(shù)目，即在k-1時(shí)刻加入存活目標(biāo)，增加新生目標(biāo)，在k時(shí)刻量測(cè)中增加虛警、存活目標(biāo)、新生目標(biāo)量測(cè)，式(23)中，分子部分不變，分母部分求和項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)隨目標(biāo)和量測(cè)個(gè)數(shù)的增加而增大，同時(shí)目標(biāo)與虛警間偶爾出現(xiàn)的分離度小等情況都會(huì)導(dǎo)致分母求和項(xiàng)的增大，增大的程度即場(chǎng)景復(fù)雜度，用ζ≥1表示。

建立相似的場(chǎng)景，可以得到存活目標(biāo)修剪門限為

(25)

具有針對(duì)性的修剪門限的加入，在一定程度上解決了標(biāo)準(zhǔn)GM-PHD濾波器中為了顧及新生目標(biāo)使門限設(shè)置過低，而帶來大量無效高斯項(xiàng)的問題，這也就是前面所提到的，合理的門限設(shè)置能減少高斯項(xiàng)數(shù)目的原因。

2) 分段航跡管理規(guī)則

文獻(xiàn)[8]的研究表明,計(jì)分航跡管理規(guī)則能夠簡(jiǎn)單有效地抑制虛假航跡，保持航跡的連續(xù)性。本小節(jié)把這種航跡管理規(guī)則擴(kuò)展到分階段航跡管理中。管理規(guī)則如表1所示。

表1 分段航跡計(jì)分管理規(guī)則

表中新生航跡保護(hù)規(guī)則的提出是為了解決2.3節(jié)的1)中最后提出的高斯項(xiàng)權(quán)重修正要求，事實(shí)證明這種修正極大地保護(hù)了新生航跡。nb,min決定新生航跡狀態(tài)調(diào)整時(shí)間，目標(biāo)速度越大，狀態(tài)調(diào)整越緩慢，該值應(yīng)當(dāng)越小。nb,max決定新生航跡成為存活航跡需要的確認(rèn)時(shí)間，該值越大，虛假航跡產(chǎn)生幾率越小，新生航跡成為存活航跡所需時(shí)間越長(zhǎng)。nb,min決定存活航跡在目標(biāo)丟失時(shí)的信息保留時(shí)間，該值越大，航跡保持連續(xù)的能力越強(qiáng)。

2.4 改進(jìn)GM-PHD濾波器計(jì)算過程

文獻(xiàn)[7-8]中的標(biāo)簽法和樹形結(jié)構(gòu)航跡管理方法是本文航跡形成的基礎(chǔ)。由于標(biāo)簽法描述復(fù)雜，本小節(jié)著重改進(jìn)部分的描述，并用高斯項(xiàng)加以說明。由偽代碼表示的GM-PHD濾波器算法流程可參考文獻(xiàn)[12-15]。

1) 現(xiàn)給定k-1時(shí)刻

2) 預(yù)測(cè)：根據(jù)式(9)和式(10)，預(yù)測(cè)后驗(yàn)預(yù)測(cè)強(qiáng)度

νk|k-1=νb,k|k-1+νs,k|k-1

(26)

式中,

(27)

(28)

這里，Jb,k|k-1=Jb,k-1，Js,k|k-1=Js,k-1。

3) 更新：根據(jù)式(13)和式(15)，更新后驗(yàn)強(qiáng)度

(29)

式中，

(30)

(31)

(32)

(33)

高斯項(xiàng)權(quán)重的修正可參照文獻(xiàn)[13]、文獻(xiàn)[15]。

(34)

(35)

(36)

(37)

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

單目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

單目標(biāo)的量測(cè)方程為

狀態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣為

m1=[-900,16,560,-10]T

m2=[-900,16,520,-10]T

m3=[520,-10,900,-16]T

m4=[-540,10,-900,-16]T

m5=[-620,-2,900,-14]T

m6=[-620,6,900,-16]T

m7=[-620,14,900,-10]T

m8=[620,2,-900,14]T

m9=[620,-6,-900,16]T

m10=[620,-14,-900,10]T。

目標(biāo)出現(xiàn)時(shí)間為[0,0,5,5,10,15,20,10,15,20]；

目標(biāo)消失時(shí)間為[102,102,107,107,80,95,110,80,95,110]。

真實(shí)航跡如圖2所示。航跡5、6、7以及航跡8、9、10起點(diǎn)相同，但出現(xiàn)時(shí)間不同，事實(shí)上由于沒有考慮分裂目標(biāo)，本文算法(圖中稱為“改進(jìn)GM-PHD濾波算法”)無法處理衍生目標(biāo)。航跡1、2同向且相互靠近，航跡3、4反向。

圖2 目標(biāo)狀態(tài)航跡

改進(jìn)GM-PHD濾波器航跡輸出航跡如圖3所示，輸出航跡很干凈，沒有虛假航跡。在新生目標(biāo)強(qiáng)度未知并且目標(biāo)速度較大的條件下，完成了新生航跡的檢測(cè)和延續(xù)。新生航跡檢測(cè)成功率極高，在很少測(cè)量周期內(nèi)轉(zhuǎn)換成為存活航跡。存活航跡在目標(biāo)消失的幾個(gè)測(cè)量周期中持續(xù)外推，說明目標(biāo)漏警時(shí)成功保留了航跡信息。

圖3 改進(jìn)GM-PHD濾波器生成的航跡

航跡管理GM-PHD濾波器輸出航跡如圖4所示，由于航跡管理規(guī)則的應(yīng)用，同樣沒有虛假航跡，但是在目標(biāo)速度較大的條件下，使用10-5大小的修剪門限無法保留新生目標(biāo)信息，導(dǎo)致大量的新生航跡漏檢，即使是使用更小的修剪門限，由于缺少新生目標(biāo)強(qiáng)度修正規(guī)則的保護(hù)，仍然不能夠達(dá)到很高的新生航跡檢測(cè)率。事實(shí)上，如果目標(biāo)速度較小，航跡管理GM-PHD濾波器能很好地保留新生目標(biāo)，形成完整航跡，這是因?yàn)樗俣容^小時(shí)，新生目標(biāo)強(qiáng)度大于修剪門限，并且隨著目標(biāo)狀態(tài)的調(diào)整，強(qiáng)度逐漸增大。

圖5和圖6分別是100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)下目標(biāo)個(gè)數(shù)后驗(yàn)期望的均值和均方差，改進(jìn)的GM-PHD濾波器在目標(biāo)出現(xiàn)的少數(shù)幾個(gè)測(cè)量周期內(nèi)就能得到較準(zhǔn)確的目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)。這是由于新生目標(biāo)在航跡起始階段得到保護(hù)，使其有足夠的時(shí)間過渡到穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)PHD的近似“損失最小”條件，當(dāng)測(cè)量與預(yù)測(cè)誤差較小，也就是航跡狀態(tài)穩(wěn)定時(shí)，能得到較準(zhǔn)確的目標(biāo)數(shù)目估計(jì)。而航跡管理GM-PHD濾波器在速度較大的條件下，缺少保護(hù)規(guī)則，不能保留新生目標(biāo)信息，目標(biāo)數(shù)目估計(jì)誤差大。改進(jìn)GM-PHD濾波器所有航跡在第25個(gè)測(cè)量周期后達(dá)到穩(wěn)定，但是存在0.5的均方誤差，這是虛警測(cè)量引起的，當(dāng)虛警測(cè)量與存活目標(biāo)沒有很好分離時(shí)，會(huì)帶來誤差，同樣是不滿足近似“損失最小”條件帶來的誤差。

圖5 兩種GM-PHD濾波器平均目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)

圖6 兩種GM-PHD目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)均方誤差

4 結(jié)束語

航跡管理無論是在傳統(tǒng)的測(cè)量-關(guān)聯(lián)多目標(biāo)跟蹤中還是在PHD多目標(biāo)跟蹤中都有十分重要的作用，直接關(guān)系到跟蹤的效果。將航跡管理策略應(yīng)用于GM-PHD濾波器能夠提高GM-PHD濾波器的性能，本文提出的未知新生目標(biāo)強(qiáng)度下分階段航跡管理GM-PHD濾波器依靠簡(jiǎn)單的航跡管理策略有效地解決了新生目標(biāo)估計(jì)的問題。為雷達(dá)目標(biāo)空間分布的感知提供了一種有效的方法。但該方法是建立在點(diǎn)目標(biāo)的假設(shè)條件下的，由于雷達(dá)分辨精度的提高，目標(biāo)會(huì)占據(jù)傳感器的多個(gè)分辨單元，這種情況下的多目標(biāo)跟蹤問題就拓展為多擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤問題。利用目標(biāo)錄取技術(shù)中的重心錄取方法，錄取目標(biāo)的中心位置作為目標(biāo)的量測(cè)值，可將擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)目標(biāo)的跟蹤問題。本文所提出的方法，將為進(jìn)一步研究有效提高未知新生目標(biāo)強(qiáng)度情況下的擴(kuò)展目標(biāo)的GM-PHD濾波算法的新生目標(biāo)的跟蹤質(zhì)量提供參考。