曹路路
(廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué) 510000)
(1)如圖1,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)如圖2,連接AC,點(diǎn)P為△ACD內(nèi)一點(diǎn),連接AP、BP,BP與AC交于點(diǎn)G,且∠APB=60°,點(diǎn)E在線段AP上,點(diǎn)F在線段BP上,且BF=AE,連接AF、EF,若∠AFE=30°,求AF2+EF2的值;
(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)PE=AE時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
改編后(2019年廣州市南沙區(qū)初三一模第25題)如圖4,已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,直線y=-x+6與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn),四邊形ABCD為平行四邊形,且AC=BC,點(diǎn)P為△ACD內(nèi)一點(diǎn),連接AP、BP且∠APB=90°.
(1)求證:∠PAC=∠PBC;
(2)如圖5,點(diǎn)E在線段BP上,點(diǎn)F在線段AP上,且AF=BE,∠AEF=45°,求EF2+2AE2的值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)PE=BE時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
第(2)問 連接CE、CF、CA,結(jié)合已知條件和第(1)問的結(jié)論,易證△CEB?△CFA,從而可得等腰Rt△CEF和Rt△AEC,所以EF2+2AE2=2CE2+2AE2=2AC2=144.
第(3)問 標(biāo)準(zhǔn)解答:設(shè)AF=BE=PE=m,PF=n.在Rt△PEF中,EF2=m2+n2,
在Rt△PEA中,AE2=(m+n)2+m2.
∴(m2+n2)+2((m+n)2+m2)=144,
整理得2(m+n)2+3m2+n2=144①.
另在Rt△PBA中,PA2+PB2=AB2,整理得(m+n)2+4m2=144②.
由①②得:(m+n)2+n2-m2=0,∴n=0,即點(diǎn)P、F重合時(shí)恰有PE=BE.
過P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q,則△PAQ∽△BAP
上述第(3)解答中最關(guān)鍵的是證明一個(gè)特殊情況,即當(dāng)PE=BE時(shí),點(diǎn)P與F重合.
下面針對此處給出另外三種證明方法:
證法一連接OE并延長至點(diǎn)G,使得OE=OG,作FH⊥GE,連接AH,由OE是△ABP的中位線,可得OE⊥BP;根據(jù)△AOG?△BOE,可得BE=AG=AF,∠G=∠BEO=90°,從而可得正方形AGHF,所以∠AHF=∠AEF=45°,從而AHEF四點(diǎn)共圓,又因?yàn)锳GHF四點(diǎn)共圓,因此AGHEF五點(diǎn)共圓,顯然只有當(dāng)H與E重合時(shí)才能成立,從而F與P重合.
評析該證法從兩個(gè)中點(diǎn)(點(diǎn)E和O)入手,巧妙運(yùn)用三角形中位線和倍長中線法,然后運(yùn)用四點(diǎn)共圓結(jié)合已知條件進(jìn)行證明,對初中常見的輔助線作法進(jìn)行了復(fù)習(xí)和鞏固,也加強(qiáng)了對圓的學(xué)習(xí),不失為一種好方法.
證法二作FG⊥EF,GH⊥PH,易得等腰Rt△GFE,所以FE=FG,從而△GHF?△FPE,所以FH=PE=EB=FA,從而可得從而F與P重合.
評析該方法從45°角入手構(gòu)造特殊的直角三角形,繼而構(gòu)造出最為常見的“一線三垂直”模型,從而達(dá)到要證明的目的,非常的巧妙.
證法三分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線EF的垂線,垂足分別為G和H,連接PG.根據(jù)∠GAF=∠PEF=∠BEH,AF=BE,可得Rt△AGF?Rt△EHB(AAS),所以EH=AG.又因?yàn)椤鰽GE為等腰直角三角形,所以AG=GE=EH.從而可得△GEP?△HEB(SAS),所以∠PGE=∠H=90°=∠AGF,所以A、G、P三點(diǎn)共線,從而可證F與P重合.
評析該方法從AF=BE入手,構(gòu)造全等三角形,然后得出一個(gè)看似“奇怪”的結(jié)論:EG=EH,然后再次使用全等證明出F與P重合這一結(jié)論.
通過以上方法的講解,我們會發(fā)現(xiàn)相比較標(biāo)準(zhǔn)解法使用勾股定理和代數(shù)運(yùn)算來講,另外三種解法都是采用了幾何方法,并且切入點(diǎn)都是最常見的輔助線作法,這對鍛煉學(xué)生的幾何邏輯思維非常有用.
另外針對第(3)問求解,可用以下方法避免證明F與P重合: