袁亭玉 李曉麗

[摘要]本文主要介紹跨越邊界研究理論在目前數學建模的教與學中的應用。首先論述了跨越邊界的涵義以及中學實施數學建模存在的許多困難，其次指出跨越邊界理論為中學數學建模教學帶來的一些創(chuàng)新之處;最后針對教師和學生在參與數學建模時自身知識不足的問題，結合跨界研究的理論給出中學數學建模實施的可行性建議。

[關鍵詞]跨越邊界理論;中學數學建模教與學;建模實施困難

傳統的數學教學重視培養(yǎng)學生的解題能力，但卻忽視了數學本身的實際應用性，使得學生認為數學脫離現實，學習數學只為應對考試等想法。我們知道數學建模具有可以發(fā)展學生應用數學能力的特性，因而很多學者都倡導在中學實施數學建模。2017年高中數學新課標將數學建模列為六大核心素養(yǎng)之一，可見發(fā)展中學生數學建模能力的重要性。

然而目前數學建模并未得到很好的實施，造成這一現象的原因是多方面的。其中我們應該知道數學建模是一個開放性的過程，建模問題本身涉及多學科多領域知識。因而它具有促進多學科共同工作的內在特質，并且對于教授建模的教師和進行建模的學生來說也是一個巨大的挑戰(zhàn)本文基于建模的這一特質，介紹跨越邊界理論在數學建模中的應用，希望能為將要進行數學建模的教師提供一點幫助。

1 跨越邊界理論

Star和Griesemer認為：“對于合作或成功開展工作而言，達成共識不是必須的”。因為不同的實踐團體擁有不同的知識基礎，對于問題的有效解決而言，多樣性的觀點是重要的，因而多學科多領域合作成為必然。但不同研究界對同一現象有不同表征，這種差異是由不同學科教學模型的目標所決定的，這就使得在進行合作解決問題時來自不同研究界的實踐團體可能會存在交流溝通的障礙。所以我們需要在他們各自所掌握的知識與元知識之間架起一座橋梁，從而實現不同團體間的交流溝通，這個過程就是一個跨越研究邊界的過程。

跨越研究邊界從而實現多領域多學科合作解決問題的前提是要進行邊界識別。所謂邊界識別首先要區(qū)分這些邊界是隱含的還是明確的，然后找到對應的邊界對象。邊界對象可以看作是不同研究領域之間的一種翻譯手段。盡管有些知識在不同的研究界中有不同的含義，但是通過邊界對象的翻譯功能，不同領域的研究人員就可以相互交流想法，從而合作推進科學知識，促進問題解決。

邊界識別是一個復雜的過程，需要專業(yè)的研究人員正確進行識別，然后才能引導多學科，多領域研究團體合作，但這并不是本文的關注重點。我們所關注的是如何將跨界理論應用到數學建模的教學中，為建模真正得到實施提出一點建議。

2 數學建模實施現狀及影響因素

數學建模能力是中學生應該具備的能力之一。普通高中數學課程標準（2017年版）中已經把建模列為六個核心素養(yǎng)之一并提出了以下要求：通過高中數學課程的學習，學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發(fā)現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯：學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗;認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學精神?？梢姅祵W建模對培養(yǎng)中學生解決問題能力的重要性。但是。目前數學建模在我國中學并沒有得到很好的實施。影響數學建模真正進入中學數學課堂的因素主要有以下幾點：

第一，課程標準雖然提到要培養(yǎng)學生的建模能力，但并沒有給建模安排具體的課時，更沒有提供有關建模的教材和教參。因而學校也沒有單獨設置建模課程。

第二，尋找建?；顒淤Y源的困難。能適合中學生水平且能結合課本教學內容的建模問題不多，開發(fā)這樣的問題也不十分容易，使得有心嘗試者有“巧婦難為無米之炊”之感。

第三，時間和課程內容的限制。建模過程是相對復雜的，解決建模問題所需要耗費的時間也相對較長。中學數學課程內容多，學時少，完成教學計劃已經很緊張，還要應對中考、高考，沒有太多時間來解決建模問題。因而如何能夠合理安排建模教與學的時間是一個問題。

第四，教師與學生知識不足。數學建模的問題常常是未經數學抽象和轉化的“原坯”型問題，在建模步驟中不僅要求相應的數學知識，還要涉及許多非數學領域的知識和方法，這不僅對學生，而且對教師都會造成知識和方法上的障礙。部分教師雖然已經意識到建模對培養(yǎng)學生應用數學能力的重要性。但他們由于自身知識不足。沒有足夠的建模經驗與建模能力。從而也會影響建模的實施。

3 跨界研究為中學數學建模教與學帶來的創(chuàng)新

數學建模進入課堂需要跨界理論的支持。目前。很多國家和地區(qū)已經提倡將數學建模納入課程，并且在我們國家數學建模進人中學數學課堂也逐漸成為一種趨勢。但基于建模問題的自身特質，中學生所學到的知識有限，在解決建模問題時往往需要腳手架的支撐，教師需要事先提供給學生多領域的知識作為成功解決問題的輔助。這一點不僅在學生身上有體現。對教師來說同樣如此。因此將跨越邊界理論應用到數學建模就顯得尤為重要，其創(chuàng)新之處主要體現在以下幾方面：

3.1 跨越學科邊界

多學科互動是跨界理論應用的一種形式。在某種意義上，它能夠促進建模和探究的過程。因此可以應用到中學生進行數學建模的過程中。下面的例子也可以很好地說明這一點。

電影《美人魚》中有這樣一段情節(jié)：一群人開槍射擊水下的美人魚，為了能夠射中美人魚，需要知道從開槍位置到美人魚的距離。因此，潛水員拿著手電筒跳下水觀測水下情況。由生活常識以及電影情節(jié)可以得到，潛水員的手大約長15cm，眼睛到手的距離大約為50cm，美人魚的長度約為225cm。根據電影中的角度可以抽象出如圖1所示的模型：

從而根據速度來判斷子彈能不能對美人魚造成傷害。

這個例子實際上就是一個對實際問題進行數學建模的過程。基于多學科互動理論。在課堂教學以及教師的實踐中，數學教師可以和物理老師合作，把一個豐富的應用問題轉化為一個有吸引力的活動，使學生在學習和應用有助于揭示實際情況的基本結構的具體策略、概念和技能時，體驗建模過程的一些要素。

3.2 跨越課堂內外邊界

Sala、Font、Gimenez和Barquero做了這樣一項研究：針對12-14歲的學生設計一個教學序列，給學生安排關于羅馬劇院背景的建模任務。在學生進行建模的過程中老師帶領學生一同參觀在巴達洛納發(fā)現的羅馬劇院的遺址，并且博物館的考古學家向學生介紹了最初的歷史情況，并提供有關遺址的一些歷史文獻，因而學生可以通過領域專家接觸到一些領域知識。通過該研究表明通過數學和歷史的不斷辯證可以促進建模過程的發(fā)展。因而。在進行數學建模時教師可以帶領學生走出傳統的課堂，讓學生親身體會，激活課堂中學到的內容，用數學建模的方法來探索城市生活中的各種有趣問題，使枯燥乏味的數學知識有豐富的附著點和切實的生長點，讓數學學習具有更加深刻的意義。

我們把這種學習方式叫做數學城市漫步，這一概念是由Buchholt提出的，其含義是跨越課堂內外邊界的數學徒步旅行，這是一種基于城市生活的數學建模。比如說，如何估計所在城市中診所或電影院的數量？如何運用數學方法計算通過隧道的最大交通流量？預測信號燈綠燈持續(xù)時間是否足夠讓你通過十字路口？這些都是城市生活中常見而有趣的建模問題。解決這些問題需要涉及到非常廣泛的知識，并能夠讓學生體會到數學在城市生活中所起的重要作用。

同時這也是一種可以促進教學的方法。實施這一方法要注意教師應該仔細選擇任務以匹配學生的認知技能。這些任務應該包含特定于數學主題的基本思想。進行數學城市漫步有以下兩方面的優(yōu)點：一方面，可以為學生提供應用已知數學知識的機會以及可以激勵學生參與實際應用的實踐;另一方面，教師還可以診斷學生對知識的應用情況。

3.3 跨越文化邊界

民族建模是以民族數學為載體，通過對在不同文化群體成員的日常生活中發(fā)現、使用、實踐和呈現的數學思想和過程進行研究，并運用這種思想方法把實際問題進行數學化的過程。這里有一個簡單的例子：在巴西有一種三角墻屋頂，屋頂由中心的屋脊以及兩邊的兩個由瓦片制成的斜面組成。基本構造如圖2所示：

屋頂承包商在建造屋頂時必須計算三角墻的高度H，根據當地屋頂建造的要求。屋頂斜面的坡度比例至少為30%。因而當地工頭會使用屋頂的長度L以及坡度來計算三角墻的高度。比如：L=Sm，則工頭會選用a=4m來進行計算，然后用。乘以屋頂的坡度就得到墻的高度，也就是ax30%=H。

通過這個實例可以看出每個文化團體都有獨特的價值觀和標準。具體來說，不同文化群體的成員，有獨特的數學思維方式和思想方法。對于建模來說，這是非常有價值的。但是在當地和整體化背景的相互作用下，不同文化群體的成員對現實世界的表征也有較大差別。更形象地說。數學語言可能不再是一種通用的語言，而是成為一種方言。不同文化群體會使用獨特的文化來反映數學問題。所以，只有通過跨界研究，使用邊界對象作為一種不同表征之間的翻譯手段，使得民族建?？梢詰糜诮虒W，成為一種教學工具，考驗與豐富學生的數學知識，鍛煉與培養(yǎng)學生的數學能力或者綜合能力。

3.4 教師專業(yè)發(fā)展團體

建模教學是一個具有挑戰(zhàn)性的工作。有些教師可能會缺乏信心，認為自己沒有足夠的能力開展建模教學，那么應用我們的跨界理論可以有效避免這一點。

Mousoulides、Nicolaidou和Evagorou做了這樣一項調查：為了研究跨界理論對教師設計和實施基于探究的建模問題的知識和技能的影響。他們設計了一個三層專業(yè)學習團體，這個團體由學生、教師和家長、研究人員和教師教育者組成。我們把這種跨越團體界限形成的學習團體叫做教師專業(yè)發(fā)展團體。研究結果表明，通過參與這個學習團體，教師提高了建模教學的知識并改進了他們的建模教學方法。從關注日常實施困難的細節(jié)轉變?yōu)樾蕾p引模（模型引出）活動在培養(yǎng)學生數學結構方面的實質性貢獻，從而逐漸提高了他們在教授基于建模的復雜任務方面的自信心，并在設計建?；顒訒r變得更有動力。除此之外，它還增加了專業(yè)學習團體中所有不同群體之間的交流與合作。

4 結論與建議

數學建模進人中學數學課堂仍然面臨著很多的挑戰(zhàn)這些問題涉及到多個方面的因素。雖然跨界理論并不能完全解決這些復雜的問題。但通過應用跨界理論于數學建模中?？梢詫崿F多學科多領域研究人員合作。這不僅有助于學生提高知識量，認識到建模的意義，對解決建模問題確實能夠起到一定作用。另一方面，通過跨越研究邊界的方式。使得教師與其他研究界的學者形成學習團體共同合作，可以增加教師進行建模指導的信心，從而促進建模的實施，這也是促使數學建模進人中學課堂的第一步。