具有現(xiàn)實約束的均值-VaR投資組合績效評價

曾永泉，張 鵬

(1. 仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院人文與社會科學(xué)學(xué)院, 廣州 510225; 2. 華南師范大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院, 廣州 510006)

傳統(tǒng)的投資組合績效評價均采用方差度量風險[1]，如夏普指數(shù)、特雷諾指數(shù)和詹森指數(shù). 但隨著方差的廣泛運用，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)方差并不是一個良好的測量風險的方式，方差衡量的是隨機變量與期望值之間的上下偏差，而投資者更關(guān)心下偏差[2]. 而風險價值(VaR)作為一種下偏差風險度量方法，在風險測量和績效評價中得到了廣泛的應(yīng)用，如：VaR風險度量方法[3]；在均值-方差模型基礎(chǔ)上的均值-VaR模型[4-5]；不允許賣空情況下的均值-方差模型與均值-VaR模型[6]；具有基數(shù)約束、上下界限制和交易成本的多階段均值-VaR模型[7].

在投資組合模型的建構(gòu)方面，一些學(xué)者考慮實際投資市場的諸多摩擦因素，構(gòu)建了不同的模型并求解. 如：研究了不同借貸利率下以VaR為風險度量方法的投資組合效用最大化模型[8]；在其均值-方差投資組合選擇中考慮借款約束[9]. 交易成本同樣對投資組合影響頗大，BEST和HLOUSKOVA[10]提出了分段線性交易成本的投資組合模型. 另外，學(xué)者們研究了具有基數(shù)約束(限制最優(yōu)資產(chǎn)組合中所含資產(chǎn)的數(shù)量)的投資組合模型，使該模型更加符合實際市場上的投資情況. 如：在其均值-方差動態(tài)投資組合和市場時機選擇中考慮了基數(shù)約束這一要素[11]；在研究一系列具有基數(shù)約束的投資組合選擇問題時提出了一個新的混合整數(shù)二次約束的二次規(guī)劃算法[12]；研究了含區(qū)間系數(shù)的基數(shù)約束投資組合模型，并運用一種新的動態(tài)差分進化算法與自適應(yīng)控制參數(shù)求解轉(zhuǎn)換后的確定性模型[13].

實際上，具有基數(shù)約束的投資組合模型是一個復(fù)雜的非光滑的混合整數(shù)規(guī)劃問題，計算十分復(fù)雜，模型真實前沿面的解析解難以得到. 因此，許多學(xué)者運用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data Envelopment Analysis，DEA)法[14]. 如：運用傳統(tǒng)的DEA效率評價模型優(yōu)化投資組合選擇[15]；在基金市場上，對30只對沖基金在規(guī)模報酬不變的情況下進行了DEA效率估計排名[16]；提出了多元一致性數(shù)據(jù)包絡(luò)分析效率分析模型，在傳統(tǒng)DEA模型的基礎(chǔ)上考慮了投資組合的多樣化[17]；將改進的DEA交叉效率模型應(yīng)用于韓國股票市場投資組合選擇，得到了優(yōu)于傳統(tǒng)組合選擇方法的結(jié)論[18]；構(gòu)建了多階段的DEA效率估計模型，在股票市場上對10只風險證券進行了效率估計[19]；比較了前沿面方法和傳統(tǒng)評價體系比率在投資決策設(shè)計應(yīng)用中的效果，得到了前沿面評價方法更注重持續(xù)性的結(jié)論[20]；提出了一種多目標投資組合選擇模型，并使用DEA模型進行了交叉效率評價[21].

本文使用BCC-DEA績效評價方法，對具有交易成本、上下界約束、借款約束和基數(shù)約束的均值-VaR模型進行績效評價，通過上海證券市場的真實數(shù)據(jù)進行效率估計，構(gòu)建不同樣本數(shù)據(jù)下的DEA效率估計模型，并構(gòu)建前沿面與真實前沿面進行對比，分析DEA模型對投資組合績效評價的有效性.

1 均值-VaR投資組合優(yōu)化模型

1.1 符號描述和定義說明

定義1風險(VaR)是指在一定的置信度下，某一投資組合在未來特定時間內(nèi)最大的可能損失. 設(shè)投資組合的期望收益率為rp,則

P(rp<-VaR)≤1-c

(1)

為投資組合的VaR(VaR取正數(shù))，其中，c(1/2≤c≤1)為常數(shù).

定理1[6]當投資組合中n種資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布時，式(1)可轉(zhuǎn)換為

rp≥Φ-1(c)σp-VaR,

(2)

其中，Φ(·)是標準正態(tài)分布函數(shù)，Φ-1(c)是置信度為c的正態(tài)分布函數(shù)的下分位點.

隨機市場情況下,由式(2)可得VaR風險表達式為Φ-1(c)σp-rTx.

1.2 均值-VaR投資組合模型

假設(shè)第i種資產(chǎn)的交易成本函數(shù)C(xi)是投資比例的分段線性函數(shù)，且為凸函數(shù)(圖1)，即

(3)

圖1 分段線性凸交易成本函數(shù)

借款約束是投資組合考慮的另一個重要因素. 本文考慮了無風險資產(chǎn)借款，則投資組合x=(x1,x2,…,xn,xn+1)T的期望收益率可表達為

(4)

其中，

此時投資組合x=(x1,x2,…,xn,xn+1)T的凈收益率為

(5)

假設(shè)K≥0，且為整數(shù)，zi={0,1}，則投資組合x=(x1,x2,…,xn,xn+1)T的基數(shù)約束為

lizi≤xi≤uizi(i=1,2,…,n),z1+z2+…+zn≤K.

(6)

投資組合模型的上下限約束為：li≤xi≤ui(i=1,2,…,n).

在文獻[22]的基礎(chǔ)上，考慮交易成本、上下界約束、借款約束和基數(shù)約束等條件，提出以下3個模型.

(1)風險最小化的均值-VaR投資組合模型為：

minΦ-1(c)σp-rTx

(7)

其中，r0表示投資者預(yù)期給定收益率. 模型共有4個約束條件：投資組合的凈收益率不低于給定的期望值r0、無風險資產(chǎn)有借貸約束、第i種風險資產(chǎn)的投資比例有上下界約束和風險資產(chǎn)投資比例非負個數(shù)不能超過K. 模型的經(jīng)濟意義是指在滿足上述4個約束條件下，如何使投資組合風險(VaR)最小.

(2)收益最大化的均值-VaR投資組合模型為：

(8)

其中，VaR0表示投資者預(yù)期給定的風險. 模型共有4個約束條件：投資組合的風險不高于預(yù)期風險VaR0、無風險資產(chǎn)有借貸約束、第i種風險資產(chǎn)的投資比例有上下界約束和風險資產(chǎn)投資比例非負個數(shù)不能超過K. 模型的經(jīng)濟意義是指在滿足上述4個約束條件下，如何使投資組合收益(r)最大.

(3)效用最大化的均值-VaR投資組合模型為：

(9)

其中，θ(0≤θ≤1)表示投資者風險偏好系數(shù). 當θ=1時，投資者完全厭惡風險. 當θ=0時，投資者只關(guān)心收益，不管風險，此時，模型(9)可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

(10)

模型(10)屬于非光滑的混合整數(shù)規(guī)劃問題，可以運用遺傳算法[23]得到其最優(yōu)解，從而得到該模型目標函數(shù)最大值(即r0max)，也可得到VaR0max.

2 均值-VaR投資組合的DEA評價方法

2.1 投資組合效率的定義

為更好地評估投資組合的績效表現(xiàn)，文獻[24]提出了真實前沿面的概念，并基于真實前沿面定義了投資組合效率. 本文根據(jù)模型(10)對應(yīng)的真實前沿面來定義n只風險資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合效率(圖2). 圖中曲線MNW是n只風險資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合真實前沿面，Q是某一個投資組合.

收益導(dǎo)向的投資組合效率(PEr)是指相同風險下投資組合實際期望收益率與理想期望收益率的比值；風險導(dǎo)向的投資組合效率(PEv)是指相同期望收益率下理想風險與投資組合實際風險的比值. 投資組合Q的收益導(dǎo)向、風險導(dǎo)向的效率可以分別表示為：

圖2 投資組合效率

2.2 均值-VaR的DEA效率評價模型

由于金融市場上的諸多摩擦因素，大規(guī)模投資組合難以計算，所以，當投資組合真實前沿面為凹函數(shù)時，本文利用DEA模型對決策單元進行投資組合績效評價.

LIU等[25]運用BCC-DEA模型進行投資組合績效評價，并指出：若r=h(VaR)是投資組合的前沿面，則r′=h′m(VaR)是m個樣本的投資組合的BCC-DEA模型的前沿面，當m→+時，依概率收斂于h(VaR). 另外，若投資組合的風險函數(shù)VaR(x)(x為投資組合比例)是凸函數(shù)，收益函數(shù)r(x)是凹函數(shù)且可行域Ω是凸集，則由模型(7)得到的投資組合的真實前沿面是凹函數(shù)，可以采用基于數(shù)據(jù)的BCC-DEA模型對決策單元進行績效評價. 隨著決策單元數(shù)量的增加，其前沿面能較好地逼近真實的前沿面.

(11)

第j個投資組合的VaR值為

(12)

r0為預(yù)先給定的可能性收益率、VaR0為可能性VaR值. 可使用以下3個BCC-DEA評價投資組合的有效性.

(1)風險導(dǎo)向下均值-VaR投資組合的BCC-DEA評價模型：

minθ

(13)

(2)收益導(dǎo)向下均值-VaR投資組合的BCC-DEA評價模型：

maxθ

(14)

(3)效用最大化的均值-VaR投資組合的BCC-DEA評價模型：

(15)

其中，s+代表正偏差，s-代表負偏差.

以上3個模型都是線性規(guī)劃模型，可以運用線性規(guī)劃的旋轉(zhuǎn)算法[22]求解.

3 實證研究

本文選擇上海A股市場表現(xiàn)較好的30只股票進行分析，股票代碼分別為：S1(600000)、S2(600010)、S3(600016)、S4(600029)、S5(600030)、S6(600036)、S7(600048)、S8(600104)、S9(600109)、S10(600111)、S11(600518)、S12(600519)、S13(600637)、S14(600887)、S15(600893)、S16(601166)、S17(601186)、S18(601318)、S19(601336)、S20(601377)、S21(601390)、S22(601601)、S23(601668)、S24(601669)、S25(601688)、S26(601766)、S27(601800)、S28(601818)、S29(601985)、S30(601989). 選擇從2010年1月至2019年5月的周收益數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù).

鑒于股票市場的高波動性，金融市場上往往通過構(gòu)造股票投資組合來分散投資風險，而其構(gòu)成投資組合的股票之間的相關(guān)系數(shù)越低，分散效果越好. 由30只股票中每一只的股票收益及其與其他29只股票的相關(guān)系數(shù)(表1)可知：樣本中僅3只股票(S5、S21、S25)的相關(guān)性系數(shù)大于0.5，呈現(xiàn)中度相關(guān)性；20只股票的相關(guān)性系數(shù)介于0.3～0.5之間，具有較弱的相關(guān)性；其余7只股票的相關(guān)性系數(shù)介于0～0.3之間，具有極弱的相關(guān)性，可視為不相關(guān). 由此可知，本文所選取的股票樣本的總體相關(guān)性較弱，可以較好地達到分散風險的效果.

表1 股票收益率均值及其相關(guān)性Table 1 The expected return of stock and its correlation

3.1 計算結(jié)果

假設(shè)分段線性凸交易成本為

當VaR0在區(qū)間[0,0.09]之間變動時，投資組合的真實前沿面如圖3所示.

圖3 投資組合真實前沿面

當VaR0在區(qū)間[0,0.089]之間等距離變動時，凈收益率變動情況見表2.

表2 投資組合的凈收益率(VaR0[0,0.089])Table 2 The portfolio return when VaR0[0,0.089]

表2 投資組合的凈收益率(VaR0[0,0.089])Table 2 The portfolio return when VaR0[0,0.089]

VaR000.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.0270.030凈收益率0.000 400.000 660.000 930.001 190.001 440.001 690.001 940.002 190.002 430.002 670.002 91VaR00.0330.0360.0390.0420.0450.0480.0510.0540.0570.0600.063凈收益率0.003 150.003 390.003 630.003 860.004 090.004 320.004 540.004 760.004 980.005 180.005 38VaR00.0660.0690.0720.0750.0780.0810.0840.0870.089凈收益率0.005 570.005 750.005 920.006 070.006 210.006 330.006 430.006 510.006 55

由于交易成本、借款約束、上下界約束和基數(shù)約束等摩擦因素符合模型(9)的約束條件，所以，本文構(gòu)造樣本數(shù)據(jù)量m分別為100、200、500、1 000、2 000、4 000的隨機投資組合，并將此投資組合的樣本數(shù)據(jù)量代入收益導(dǎo)向的BCC-DEA模型(14)中，從而得到該模型的θ，并根據(jù)θ得到有效VaR.

根據(jù)表2和表3，可以得到前沿面的對比(圖4)，由圖可以看出：(1)隨著樣本數(shù)據(jù)量m的增大，DEA前沿面逐漸接近于真實前沿面. 根據(jù)DEA逼近性原理[25]，當樣本數(shù)據(jù)量足夠大時，所得到的前沿面與真實前沿面幾近重合，因此，可以近似地把樣本數(shù)據(jù)量足夠大的DEA前沿面視為真實前沿面. (2)當風險值小于0.03時，m=200,500,1 000,2 000,4 000的DEA前沿面差距不大，甚至幾乎重合，而m=100時前沿面較低；當風險值大于0.07時，m=2 000,4 000的前沿面出現(xiàn)拐點并呈現(xiàn)水平狀，而風險值大于0.075時，m=100,200,500,1 000的前沿面也出現(xiàn)拐點并呈現(xiàn)水平狀，并不能很有效地接近理論上的真實前沿面.

表3 模型(14)的不同風險和樣本數(shù)據(jù)量下的凈收益率Table 3 The net return according to different risk and sample sizes in Model(14)

圖4 投資組合7種前沿面

3.2 結(jié)果分析

針對上述計算結(jié)果所得到的結(jié)論，從樣本數(shù)據(jù)量出發(fā)，對樣本收益率均值、不同樣本數(shù)據(jù)量下的凈收益率的分布和收斂效果、相關(guān)性以及增加樣本數(shù)據(jù)量的代價方面進行討論.

(1)樣本收益率均值的分布分析. 由隨機選取的30只股票數(shù)據(jù)的實際收益率均值分布與正態(tài)收益率分布之間的差別(圖5)及統(tǒng)計所得到的偏度值(1.101 6)和峰度值(3.352 1)可以看出：至少有18只股票的收益率均值集中分布在[0.001 80,0.003 80]區(qū)間內(nèi)，占比60%以上，這使得在考慮交易成本、借款約束、上下界約束和基數(shù)約束等實際約束條件下，后期計算不同樣本數(shù)據(jù)量的凈收益時，凈收益率會集中在這個區(qū)間.

圖5 收益率均值分布

(2)DEA前沿面的收斂效果分析. 本文從3個角度驗證不同樣本數(shù)據(jù)量下的DEA前沿面的收斂效果.

其一，PEr、PEv和DEA效率值θ間的相關(guān)系數(shù)與收斂效果. 由真實前沿面得到的收益導(dǎo)向投資組合效率PEr、風險導(dǎo)向投資組合效率PEv與DEA效率值θ間的相關(guān)系數(shù)(表4)可知：隨著樣本數(shù)據(jù)量的增加，PEr、PEv與θ間的相關(guān)系數(shù)越來越大,兩者之間差值越來越小，而由圖4可知構(gòu)造的前沿面越來越逼近真實前沿面，表明m越大，其收斂效果越好.

表4 收益、風險導(dǎo)向效率PEr、PEv與DEA效率值θ間的相關(guān)系數(shù)Table 4 The correlation coefficents between PEr or PEv and θ

其二，收益率的差值與收斂效果. 由不同風險和不同樣本數(shù)據(jù)量下的凈收益率與理想期望收益率的差值(表5)可以看出：在樣本數(shù)據(jù)量相同的情況下，隨著風險水平的增加，凈收益率與理想期望收益率的差值逐漸增大；在風險水平相同的情況下，隨著樣本數(shù)據(jù)量的增加，凈收益率與理想期望收益率的差值逐漸縮小，其中，在m=2 000,4 000時，此差值很小，且在2種風險水平下差值相同，可見，DEA前沿面有逐漸接近真實前沿面的趨勢.

表5 不同風險和不同樣本數(shù)據(jù)量下的凈收益率與理想期望收益率的差值

其三，凈收益率區(qū)間與收斂效果. 由表3和圖4可知：當凈收益率rN在區(qū)間[0,0.003]區(qū)間內(nèi)取值時，不同樣本數(shù)據(jù)量下的分布區(qū)別不大，幾乎重合；在[0.004,0.006]區(qū)間內(nèi)取值時，m=200,500,1 000,2 000,4 000的凈收益率隨著樣本數(shù)據(jù)量的增加而逐漸增加，DEA前沿面逐漸接近真實前沿面；對比m=1 000與m=2 000、4 000的前沿面，隨著樣本數(shù)據(jù)量的增加，同一風險水平所對應(yīng)的凈收益值會增多，其對應(yīng)的風險更為連續(xù)，即可以在更低的風險水平下達到最大值，這使得m=2 000、4 000時前沿面出現(xiàn)拐點并呈現(xiàn)水平狀.

凈收益率rN在m=2 000,4 000時取得最大值，但僅為0.005 57，這與真實前沿面理論下的最大收益率(rN=0.006 55)差距較大，即圖4中DEA前沿面的后段與真實前沿面差距較大，并不能很有效地接近理論真實的前沿面.

(3)不同樣本數(shù)據(jù)量運行時間分析. 本文采用Windows7旗艦版系統(tǒng)，CPU型號為Inter(R) Core(TM) i7-870，2.93 Hz. 由程序的運行時間(表6)可知：隨著樣本數(shù)據(jù)量的翻倍增加，運行時間呈幾何式增加. 在m=2 000,4 000時，相同的風險水平下，其凈收益率與理想期望收益率的差值非常小，而運行時間由8 502.8 s增加到35 470.8 s，增長了約4.2倍，這種時間的代價和模擬效果的不匹配，給工作效率帶來巨大的困難. 因此，在研究諸如多種限制條件下的前沿面擬合效率問題時，可以基于合理假設(shè)適當?shù)匦拚顿Y組合對應(yīng)取值的股票投資比例分布，以減少工作量，提高工作效率.

表6 不同樣本數(shù)據(jù)量下的運行時間Table 6 The operation time for different sizes of sample data s

4 結(jié)論

考慮交易成本、借款約束、上下界約束和基數(shù)約束等實際約束條件，本文提出了均值-VaR投資組合優(yōu)化模型. 在投資組合真實前沿面為凹函數(shù)的前提下，將BCC-DEA模型作為投資組合的績效評價方法，根據(jù)逼近原理，將DEA前沿面與真實前沿面做對比. 結(jié)果顯示：(1)盡管投資組合樣本數(shù)據(jù)量不同時得到的前沿面的估計值也不同，但隨著樣本數(shù)據(jù)量的增大，DEA前沿面逐漸接近于真實前沿面. (2)當樣本數(shù)據(jù)量足夠大時，所得到的前沿面與真實前沿面幾近重合，可以近似地把樣本數(shù)據(jù)量足夠大的DEA前沿面作為真實前沿面. (3)在逼近過程中，原有的股票樣本組合的收益率均值分布呈現(xiàn)出不均勻性，使得不同樣本數(shù)據(jù)量下的DEA模型整體凈收益較大值的出現(xiàn)頻度進一步減少，整體凈收益較小的值差距不大且頻度較大，從而導(dǎo)致所得前沿面與真實前沿面差距較大，不能有效地接近真實前沿面.

另外，由收益、風險導(dǎo)向效率PEr、PEv與DEA效率值θ間的相關(guān)系數(shù)可知：(1)隨著樣本數(shù)據(jù)量的增大，兩者的相關(guān)系數(shù)越來越高，證明了本文構(gòu)造的DEA模型的有效性，樣本數(shù)據(jù)量和逼近效果的關(guān)系證明了其收斂性. (2)前沿面拐點較早地出現(xiàn)，DEA前沿面靠近真實前沿面的趨勢變慢也進一步證明了收斂效果. 實證研究表明：當樣本數(shù)據(jù)量足夠大的時候，構(gòu)造的樣本組合前沿面可以擬合達到理論最優(yōu)的真實前沿面；隨著數(shù)據(jù)的增加，程序耗時呈幾何式的增長，對工作效率影響較大.