一個三角函數(shù)配角公式及其應(yīng)用

江蘇省盱眙中學(xué)(211700) 董培仁

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4 第107 頁有這樣的例題:

例求函數(shù)的最大值.

處理此題最重要的一步是將函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式,即:y=sinxcos+cosxsin=sin(x+),然后再求得最大值1.

一般地,將asinx+bcosx(a,b不全為0)化為rsin(x+φ)或rcos(x-φ)的形式,在三角運算中經(jīng)常涉及,但教材中并沒有把asinx+bcosx=rsin(x+φ)(或rcos(x-φ))作為公式,通常只是作為一種方法呈現(xiàn).教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn),作為公式進行推導(dǎo)并揭示公式的意義,可以促進學(xué)生深刻理解并迅速準確地應(yīng)用.

1 三角函數(shù)配角公式的推導(dǎo)及其配角意義的探討

1.1 正弦型配角公式

基于兩角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,可作以下考慮:

設(shè)asinx+bcosx=rsin(x+φ),將式展開,則asinx+bcosx=r(sinxcosφ+cosxsinφ),所以a=rcosφ,b=rsinφ(其中r＞0),則a2+b2=(rcosφ)2+(rsinφ)2=r2(cos2φ+sin2φ)=r2,所以r=于是得到

因此有配角公式asinx+bcosx=sin(x+φ),我們稱這個公式為三角函數(shù)正弦型配角公式,其中為系數(shù),φ稱為配角,配角φ由確定.但這樣確定φ不直接、不直觀,使用起來不方便,也容易出錯.

如何使配角φ的確定變得直接、直觀(也就是看到a,b就能迅速準確地確定出φ)呢?時,則

考慮到正弦、余弦的規(guī)定:當φ的終邊經(jīng)過點(a,b)因此,三角函數(shù)配角公式asinx+bcosx=sin(x+φ)中的配角φ的終邊經(jīng)過點P(a,b)(與角φ正、余弦定義一致,如圖1),即為|OP|的值.

1.2 余弦型配角公式

若基于兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,可作以下考慮:

設(shè)asinx+bcosx=rcos(x-φ),則asinx+bcosx=r(cosxcosφ+sinxsinφ),所以a=rsinφ,b=rcosφ(其中r＞0),則a2+b2=(rsinφ)2+(rcosφ)2=r2(sin2φ+cos2φ)=r2,所以r=于是得到sinφ=

因此有配角公式asinx+bcosx=cos(x-φ),我們稱這個公式為三角函數(shù)余弦型配角公式,其中為系數(shù),φ稱為配角.配角φ由確定,但這樣確定的φ沒有明顯的意義,不能迅速準確地確定φ,必須單獨計算,使用起來不方便,也容易出錯.一般情況下,不用三角函數(shù)余弦型配角公式處理問題.

2 三角函數(shù)配角公式的應(yīng)用

應(yīng)用三角函數(shù)正弦型配角公式asinx+bcosx=sin(x+φ) 時,配角φ的終邊過(a,b),我們可以迅速準確地確定一個φ或它的各個三角函數(shù)值,為我們解題帶來方便.

例1化下列各式為一個角的一個三角函數(shù)的形式:

解(1)設(shè)φ的終邊經(jīng)過點則很容易取到一個(如圖2),∴原式=

例2求下列函數(shù)的值域:

(1)y=4 sinx+3 cosx(x ∈[0,]) 的值域;(2) 求函數(shù)的值域.

解(1) 由配角公式,可設(shè)4 sinx+3 cosx=sin(x+φ),φ的終邊經(jīng)過點P(4,3),其中一個由可得故y=4 sinx+3 cosx,即y=5 sin(x+φ) 在區(qū)間是增函數(shù),則當x=0 時,ymin=3;當x=時,ymax=

故函數(shù)y=4 sinx+3 cosx(x ∈[0,]) 的值域是

由配角公式,設(shè)ysinx-cosx=其中φ的終邊經(jīng)過點P(y,-1),則=-2y-1,即所以解得

故函數(shù)y=的值域為

例3在橢圓=1 上求一點P,使點P到直線l:3x+8y+72=0 的距離d最大.

解設(shè)P(10 cosθ,5 sinθ),則40 sinθ+30 cosθ=其中φ的終邊經(jīng)過點(40,30),則

由(*)式易知,d最大時sin(θ+φ)=1,可得θ+φ=+2kπ(k ∈Z),即θ=-φ+2kπ(k ∈Z),則cosθ=即10 cosθ=6,5 sinθ=4.

故所求的點P為(6,4).