邵云龍 吳建民 孔森

摘 ?要： 在工業(yè)生產(chǎn)之中Stewart平臺(tái)被廣泛應(yīng)用。由于上平臺(tái)得位姿不易得到測(cè)量，又需要監(jiān)控機(jī)構(gòu)的運(yùn)行位置。因此對(duì)Stewart平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析是十分必要的。本文利用牛頓-泰勒法建立Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型，求解出位置逆解、速度逆解。并利用模擬退火算法與初值無(wú)關(guān)并且具有概率突跳性和Newton-Raphson迭代法精度高的特點(diǎn)，提出了模擬退火算法和Newton-Raphson迭代法相結(jié)合的Stewart平臺(tái)位置正解方法。通過(guò)MATLAB編制了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的程序。利用SolidWorks進(jìn)行建模，并且在Adams上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真驗(yàn)真了算法的準(zhǔn)確性， 為下一步的研究提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： Stewart平臺(tái);模擬退火算法;Newton-Raphson;SolidWorks;Adams

中圖分類(lèi)號(hào)： TP273 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ?DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.06.051

本文著錄格式：邵云龍，吳建民，孔森，等. 基于模擬退火算法的Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析[J]. 軟件，2020，41（06）：247252+256

【Abstract】： The Stewart platform is widely used in industrial production due to its advantages such as high rigidity， stable structure， and other advantages. However， since the posture of the upper platform is difficult to measure during the operation， it is necessary to monitor the operating position of the mechanism to ensure the safe operation of the mechanism. Therefore， it is necessary to analyze the forward kinematics of the Stewart platform. In this paper， the Newton-Taylor method is used to establish a positive kinematics solution model of the Stewart platform， and the inverse position and velocity solutions are solved. The simulated annealing algorithm is independent of the initial value and has the characteristics of probability jump and high accuracy of the Newton-Raphson iteration method. A Stewart platform forward solution method combining the simulated annealing algorithm and the Newton-Raphson iteration method is proposed. Programs for positive and negative kinematics were compiled by MATLAB. Modeling with SolidWorks and motion simulation on Adams verified the accuracy of the algorithm， providing a theoretical basis for further research.

【Key words】： Stewart platform; Simulated annealing algorithm; Newton-Raphson; SolidWorks; Adams

0 ?引言

Stewart平臺(tái)是自動(dòng)化領(lǐng)域最具標(biāo)志性的并聯(lián)機(jī)械裝置，在工業(yè)上得到了廣泛應(yīng)用，如艦載穩(wěn)定平臺(tái)、海浪運(yùn)動(dòng)模擬器、人形機(jī)器人腰部結(jié)構(gòu)等等。近年來(lái)，由于運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題在研究過(guò)程中處于基礎(chǔ)性地位，越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)外學(xué)者投身于對(duì)其的研究[1]。對(duì)于Stewart平臺(tái)，上平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)。為了使上平臺(tái)可以更加精確的完成預(yù)先設(shè)定的運(yùn)動(dòng)軌跡，其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解研究變得愈發(fā)重要起來(lái)。Manuel Cardona將牛頓-拉夫森數(shù)值迭代算法應(yīng)用于Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解的過(guò)程中，能夠快速得到運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的其中一解[2]。張宗之，秦俊奇，陳海龍，劉平松等人采用BP神經(jīng)算法，解決了數(shù)值解法當(dāng)中出現(xiàn)的計(jì)算速度較慢，迭代初值選取不當(dāng)將會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)較大偏差的不利情況[3]。楊恒，薛開(kāi)將變搜索原點(diǎn)的牛頓迭代法應(yīng)用于Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解的過(guò)程中[4]。李晶針對(duì)當(dāng)前Stewart平臺(tái)正解法存在的問(wèn)題，提出了遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正解算法[5]。胡啟國(guó)，駱艷麗，王宇謙等人提出一種應(yīng)用于Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解的過(guò)程中的基于多目標(biāo)遺傳算法（NSGA-Ⅱ）和最小二乘理論結(jié)合的算法[6]。

為了保證平臺(tái)的安全運(yùn)行并且實(shí)現(xiàn)對(duì)Stewart 平臺(tái)空間機(jī)構(gòu)位置的實(shí)時(shí)監(jiān)控。本文重點(diǎn)研究模擬退火算法和Newton-Raphson迭代法相結(jié)合的Stewart平臺(tái)位置正解方法。并依靠MATLAB編制運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的求解程序。通過(guò)SolidWorks進(jìn)行建模，在Adams上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，驗(yàn)真了算法的準(zhǔn)確性，為下一步的研究提供理論依據(jù)。

1 ?運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

為了更為清晰地描述上平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。將動(dòng)坐標(biāo)系固定在上平臺(tái)上，并且其原點(diǎn)將與上平臺(tái)的中心重合。將靜坐標(biāo)系固定在空間之中。當(dāng)整個(gè)平臺(tái)處于初始狀態(tài)時(shí)，靜坐標(biāo)系將與動(dòng)坐標(biāo)系重合。

令Bi和bi分別表示運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的下鉸點(diǎn)和上鉸點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上、下鉸點(diǎn)分別位于半徑為Ra、Rb的圓周上。上平臺(tái)的原點(diǎn)設(shè)為O1點(diǎn)，建立坐標(biāo)系O1-XYZ。下平臺(tái)的坐標(biāo)原點(diǎn)記為O，建立坐標(biāo)系O-XYZ。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)處于初始狀態(tài)時(shí)，下平臺(tái)的坐標(biāo)系Z軸將穿過(guò)O1點(diǎn)。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的初始高度為H，Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖所示。

1.1 ?運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

1.1.1 ?桿長(zhǎng)伸縮量分析

1.1.2 ?速度變化分析

我們可以用構(gòu)建速度矢量圖的方法來(lái)更加直觀的研究速度變化分析。如下圖所示，li表示驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度，RAi可以表示驅(qū)動(dòng)桿上鉸結(jié)點(diǎn)在體坐標(biāo)系中矢量。 可以表示為驅(qū)動(dòng)桿下鉸結(jié)點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的矢量。將動(dòng)坐標(biāo)系中的原點(diǎn)矢量用R示。另外，用 來(lái)表示驅(qū)動(dòng)桿上鉸結(jié)點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的矢量。

2 ?模擬退火算法—Newton-Raphson正解算法

為了解決Stewart平臺(tái)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求解問(wèn)題中的對(duì)于初值依賴(lài)性較大的情況，將模擬退火算法與Newton-Raphson迭代法結(jié)合起來(lái)，在簡(jiǎn)化求解步驟的同時(shí)，既保證原本數(shù)值迭代法的高速運(yùn)算，又發(fā)揮了模擬退火算法具有概率突跳性的特點(diǎn)。提高了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的計(jì)算精度。

2.1 ?模擬退火算法

模擬退火算法是由S.Kirkpatrick， C.D.Gelatt和M.P.Vecchi在1983年根據(jù)物理退火過(guò)程發(fā)明的。它是一種非線性反演算法[7]。模擬退火算法的一般步驟是：首先根據(jù)具體情況給定算法所需的初始值，接著再利用新解的求取、接收準(zhǔn)則等，對(duì)產(chǎn)生的新解進(jìn)行不斷地迭代，直到目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度達(dá)到當(dāng)前命題所規(guī)定的的要求。

2.1.1 ?初始值的選取

初始值的選取偏差大小，對(duì)模擬退火算法的收斂速度有著深刻的影響[8]。為了確定初始值的數(shù)值范圍，首先將虛擬樣機(jī)成功運(yùn)行的數(shù)據(jù)作為選值空間，并將初選的上平臺(tái)的位姿變化作為輸入，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的計(jì)算，并將計(jì)算的后的結(jié)果與預(yù)計(jì)算的六個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度數(shù)值進(jìn)行比較。如若兩者比較誤差的數(shù)值沒(méi)有超過(guò)預(yù)先規(guī)定閾值時(shí)，則采用此時(shí)的初始值。反之，若超過(guò)閾值，則拋棄此時(shí)的初始值，并進(jìn)行再次搜尋，直到搜索到合適的初始值為止。

2.1.2 ?新解的求取

綜上可知，模擬退火算法—Newton-Raphson正解算法的基本步驟為：

（1）最大溫度、每次降溫系數(shù)、最小溫度、初始化溫度等參數(shù)的設(shè)定;

（2）將在設(shè)定取值范圍內(nèi)生成初始值帶入反解算法，并將結(jié)果與目標(biāo)值比較，以決定是否接受此初始解，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算初始值的適應(yīng)度;

（3）代入上述步驟產(chǎn)生的初始值，進(jìn)行模擬退火算法的計(jì)算操作，通過(guò) Metropolis 準(zhǔn)則來(lái)判斷是否接受新解;

（4）當(dāng)模擬退火算法迭代一定的代數(shù)或者滿足當(dāng)前情況的具體設(shè)定后，將新解作為初始值，并將其代入到Newton-Raphson迭代法中進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算;

（5）當(dāng)?shù)螖?shù)或者適應(yīng)度數(shù)值達(dá)到預(yù)先設(shè)定的閾值時(shí)，則將此時(shí)的新解結(jié)果輸出;若不滿足上述收斂條件，則跳轉(zhuǎn)至步驟（2），并重新進(jìn)行迭代運(yùn)算。

3 ?基于Adams的Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

Stewart運(yùn)動(dòng)平臺(tái)三維模型是建立ADAMS運(yùn)動(dòng)仿真的基礎(chǔ)。但由于ADAMS自帶的建模工具三維造型能力略顯不足。采用SolidWorks建模、ADAMS仿真的方法，充分發(fā)揮兩款軟件的優(yōu)點(diǎn)和長(zhǎng)處，節(jié)省了工作時(shí)間，提升了實(shí)驗(yàn)的效率[9]。

為了對(duì)ADAMS仿真分析做前期準(zhǔn)備，以Parasolid格式將由SolidWorks得到的裝配體導(dǎo)出，將其導(dǎo)入成功后，對(duì)虛擬樣機(jī)中的各個(gè)零部件進(jìn)行重新命名、賦予材質(zhì)及其他特性。為了便于在仿真時(shí)便于識(shí)別，提高工作效率，可以修改零件的顏色、透明度等。此外，為了保證各構(gòu)件能夠按照實(shí)際的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，必須要在各個(gè)零件之間添加合理的約束關(guān)系。其中，下平臺(tái)與大地通過(guò)固定副連接在一起。上、下平臺(tái)與上、下平臺(tái)虎克鉸支座通過(guò)固定副相連。上、下虎克鉸通過(guò)十字架與活塞桿和缸體進(jìn)行萬(wàn)向節(jié)副的連接，活塞桿和缸體間可以以圓柱副相連，另外，活塞桿與缸體間需要添加移動(dòng)副。

Stewart平臺(tái)的虛擬樣機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：上平臺(tái)直徑為300 mm，下平臺(tái)直徑為400 mm。當(dāng)平臺(tái)處于初始位置時(shí)，下平臺(tái)到上平臺(tái)的距離h為450 mm，各個(gè)桿長(zhǎng)li均為470 mm。Stewart平臺(tái)的虛擬樣機(jī)如圖所示。

上平臺(tái)相鄰較近的兩個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的距離為77.4 mm，相鄰較遠(yuǎn)的兩個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的距離為424.26 mm。上平臺(tái)的各個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的位置關(guān)系圖如圖所示。

下平臺(tái)相鄰較近的兩個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的距離為103.2 mm，相鄰較遠(yuǎn)的兩個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的距離為565.68 mm。下平臺(tái)的各個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)之間的位置關(guān)系圖如圖所示。

結(jié)果可以表明：姿態(tài)角度信息求解結(jié)果穩(wěn)定，坐標(biāo)位置信息有一定的誤差，但每次計(jì)算結(jié)果的誤差均穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)并且相差較小。對(duì)于平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解來(lái)說(shuō)，是可以接受的，說(shuō)明該方法能夠用于平臺(tái)位姿的運(yùn)算。

5 ?結(jié)論

仿真結(jié)果驗(yàn)證了正解算法的合理性和有效性，對(duì) Stewart 平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析提供了新的解決思路。對(duì)實(shí)際工作中的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的控制和監(jiān)測(cè)，具有一定的實(shí)際意義。

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