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      地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞形勢(shì)的影響分析

      2020-08-18 05:55:32劉自牧葉秣麟
      高原山地氣象研究 2020年2期
      關(guān)鍵詞:對(duì)偶邊界條件形勢(shì)

      劉 春,劉自牧,葉秣麟

      (1. 高原與盆地暴雨旱澇災(zāi)害四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610072;2. 中國(guó)氣象局氣象干部培訓(xùn)學(xué)院/WMO區(qū)域培訓(xùn)中心,北京 100081;3.四川省內(nèi)江市氣象局,內(nèi)江 641000;4.四川省氣象局氣象服務(wù)中心,成都 610072)

      引言

      在中高緯度西風(fēng)帶長(zhǎng)波槽脊的發(fā)展演變過(guò)程中,當(dāng)脊北伸時(shí),其南部與南方暖空氣的聯(lián)系被冷空氣所切斷,同時(shí)脊的北部出現(xiàn)閉合環(huán)流,相對(duì)于周圍大氣形成暖高壓中心, 即阻塞高壓。由于阻塞形勢(shì),尤其是偶極型阻塞形勢(shì)的建立、維持與破壞對(duì)周邊地區(qū)天氣氣候具有十分重大的影響,特別是與一系列的異常天氣(大范圍持續(xù)干旱或陰雨)密切相關(guān), 因此國(guó)內(nèi)外氣候?qū)W家已經(jīng)對(duì)其形成機(jī)理和演變特征進(jìn)行了大量的研究工作。

      阻塞形勢(shì)可視為一種生命史相對(duì)較長(zhǎng)而結(jié)構(gòu)持續(xù)穩(wěn)定的大振幅孤立系統(tǒng)[1],為此,Malguzzi和Malamotte—Rizzoli等[2-3]采用KDV(孤立波)動(dòng)力學(xué)方法來(lái)闡述阻塞高壓的形成、維持及崩潰。然而,在大氣中觀測(cè)到的阻塞高壓和切斷低壓都不是波狀流動(dòng),而是孤立渦動(dòng)[4]。為此,F(xiàn)lierl[5]和Mc Willianms等[6-8]在正壓流體中,利用強(qiáng)非線性作用,求出了孤立渦解。這種孤立渦解的流線分布,形成反對(duì)稱的一對(duì)偶極子,兩個(gè)極子相互非線性作用,導(dǎo)致整個(gè)偶極子向東或向西移動(dòng)。孤立渦具有非頻散特征,能較好的揭示阻塞的長(zhǎng)時(shí)間維持。然而,只有當(dāng)?shù)谝活怋essel函數(shù)的內(nèi)解波數(shù)在很窄的范圍內(nèi),才會(huì)有這類偶極型的孤立渦解。

      一些研究表明,地形對(duì)阻塞的形成起著很重要的作用[9-12],可以加強(qiáng)阻塞的強(qiáng)度和固定阻塞的位置[13]。Charney 等[14-15]通過(guò)多平衡態(tài)與西風(fēng)帶高低指數(shù)環(huán)流聯(lián)系起來(lái),并指出地形和熱力強(qiáng)迫波引起的一類低指數(shù)達(dá)到平衡態(tài)是大氣阻塞的原因。而最近的數(shù)值實(shí)驗(yàn)則表明:地形強(qiáng)迫可以加強(qiáng)阻塞的強(qiáng)度,增加阻塞發(fā)生的頻率[16]。上述研究,既沒(méi)有指出阻塞產(chǎn)生的原因,也沒(méi)有很好的描述阻塞的結(jié)構(gòu)。為此,本研究將從阻塞的幾何結(jié)構(gòu)著手,來(lái)闡述地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞的加強(qiáng)作用。

      羅德海[17]提出的非線性Shr?dinger型包絡(luò)Rossby孤立波理論,既能反映偶極型阻塞的孤立波特征,又能體現(xiàn)偶極型阻塞的衰減機(jī)制,較好的揭示了大氣中偶極型阻塞的形成過(guò)程和衰退機(jī)制。為此,本研究采用類似的方法,通過(guò)對(duì)具有地形強(qiáng)迫的正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程的簡(jiǎn)化,獲得帶有地形強(qiáng)迫的非線性Shr?dinger方程??紤]到該非線性Shr?dinger方程中具有微小擾動(dòng)的地形強(qiáng)迫項(xiàng),要嚴(yán)格求解一般是不可能的,但可采用Yan[18-19]所建立的基于分離變量法的直接微擾理論對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算。在此基礎(chǔ)上,結(jié)合孤立子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),討論地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞的作用。

      本研究首先通過(guò)多尺度變換和攝動(dòng)法將具有地形強(qiáng)迫的正壓模式簡(jiǎn)化為帶有擾動(dòng)項(xiàng)的非線性Shr?dinger方程;其次,分析無(wú)地形強(qiáng)迫下的偶極型阻塞形勢(shì)的結(jié)構(gòu)及其維持過(guò)程;最后,通過(guò)孤立子直接微擾理論,研究地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞形勢(shì)的影響,得到一些有意義的結(jié)果。

      1 具有地形強(qiáng)迫的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模式

      由于阻塞形勢(shì)處于中高緯度西風(fēng)帶上,其運(yùn)動(dòng)過(guò)程符合準(zhǔn)地轉(zhuǎn)特征,因此,分析地形強(qiáng)迫對(duì)阻塞形勢(shì)的影響,可以考慮具有地形效應(yīng)的正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程:

      (1)

      (2)

      取流函數(shù)為

      (3)

      (4)

      (5)

      將(5)式帶入(4)式,略去撇號(hào)“′”,得到無(wú)量綱的擾動(dòng)流函數(shù)φ的方程:

      (6)

      將(3)式和(5)式帶入邊界條件(2)中,得到關(guān)于無(wú)量綱擾動(dòng)流函數(shù)φ的邊界條件:

      (7)

      下面,將以無(wú)量綱的擾動(dòng)方程(6)和對(duì)應(yīng)的邊界條件(7),討論地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞的影響。

      2 地形強(qiáng)迫下的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)Shr?dinger方程

      根據(jù)(6)式,要使地形強(qiáng)迫與非線性之間達(dá)到平衡,需滿足以下條件:

      h(x,y)=ε3?(x,y)

      其中,?(x,y)=(ax2+by2)1/2為無(wú)量綱的地形函數(shù)。而在大尺度大氣運(yùn)動(dòng)中,地形強(qiáng)迫往往比非線性效應(yīng)更弱[10],為此,設(shè)

      h(x,y)=ε3+λ?(x,y)

      (8)

      其中,0<λ<1。

      由于大氣運(yùn)動(dòng)中,存在多時(shí)空尺度的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)多尺度變換方法[20-21],引入緩變坐標(biāo):

      τ=εt,T=ε2t,X=εx,ξ=ε2x

      由于ε?1,則τ,T,X,ξ為緩變量。葉篤正和巢紀(jì)平[22]的研究結(jié)果表明:τ為大尺度特征時(shí)間,T為慢變外源強(qiáng)迫特征時(shí)間,X為長(zhǎng)波特征尺度,ξ為超長(zhǎng)波特征尺度。于是,作如下變換[20]:

      (9)

      根據(jù)攝動(dòng)法,將對(duì)擾動(dòng)流函數(shù)φ,按WKB(小參數(shù))方法[23]展開(kāi):

      φ=φ0(x,y,t,X,ξ,τ,T)+εφ1(x,y,t,X,ξ,τ,T)+ε2φ2(x,y,t,X,ξ,τ,T)+…

      (10)

      考慮到擾動(dòng)流的邊界條件(7),有如下的擾動(dòng)方程邊界條件:

      (11)

      將(8)式、(9)式和(10)式帶入到擾動(dòng)方程(6)中,合并εi(i=0,1,2,…)項(xiàng),可以得到關(guān)于ε的各階問(wèn)題。對(duì)于o(ε0)問(wèn)題,滿足如下方程:

      o(ε0):L(φ0)=0

      (12)

      其中

      在邊界條件(11)下,方程(12)有如下的解形式:

      φ0=A(X,ξ,τ,T)φ0(y)eik(x-ct)+cc

      (13)

      其中,A為復(fù)振幅,c為緯向波速,k為緯向波數(shù),cc表示其前項(xiàng)的共軛。關(guān)于φ0的特征問(wèn)題如下:

      對(duì)于o(ε)問(wèn)題,滿足如下方程:

      (14)

      將(13)式帶入到(14)式中,得到

      (15)

      方程(15)左邊的算子L是線性的,齊次形式具有形如eik(x-ct)的解,右邊的非齊次項(xiàng)中含有eik(x-ct),如果方程右邊eik(x-ct)的系數(shù)不為零,方程(15)將會(huì)有共振解。為此,要消除久期項(xiàng),即使eik(x-ct)的系數(shù)為零:

      L(φ1)=ikA2G(y)e2ik(x-ct)

      (16)

      根據(jù)邊界條件(11),可知方程(16)的解具有如下形式:

      φ1=B(X,ξ,τ,T)φ1(y)e2ik(x-ct)+cc

      (17)

      比較(16)式和(17)式,有

      BLk(φ1)=ikA2G(y)

      (18)

      其中,

      為此,根據(jù)(18)式,可將B取為如下形式:

      B=A2

      (19)

      將(19)式帶入到方程(8)中,得到關(guān)于φ1的特征方程如下:

      對(duì)于o(ε2)問(wèn)題,滿足如下方程:

      (20)

      與o(ε)問(wèn)題一樣,通過(guò)消除共振項(xiàng),得到ε2問(wèn)題(20)的消除久期項(xiàng)的條件,即關(guān)于振幅A方程

      (21)

      其中

      下面,將以準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流的擾動(dòng)振幅方程(21)為基礎(chǔ),分析偶極型阻塞流場(chǎng)的幾何結(jié)構(gòu),以及地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞結(jié)構(gòu)的影響。

      3 無(wú)地形強(qiáng)迫的Schr?dinger孤立子的變化情況

      (22)

      在沒(méi)有地形強(qiáng)迫的情況下(即γ=0),方程(22)為標(biāo)準(zhǔn)的非線性Schr?dinger方程(簡(jiǎn)稱NLSE),有如下形式的單孤立子解:

      (23)

      (24)

      由于初始位相和初始位置僅能改變孤立子的中心位置,而不改變其振幅和結(jié)構(gòu)。因此,考慮初始位置x0=0,初始位相θ0=0時(shí)的流場(chǎng)。利用歐拉公式重寫流函數(shù),并注意到cc為共軛,(24)式可簡(jiǎn)化為

      (25)

      (26)

      上面的分析可以看出,即使沒(méi)有地形強(qiáng)迫,僅在非線性作用下,西風(fēng)流場(chǎng)就可形成偶極型阻塞結(jié)構(gòu)。下面,將進(jìn)一步考慮地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞流場(chǎng)的影響。

      4 地形強(qiáng)迫下的Schr?dinger孤立子的變化情況

      (27)

      其初始條件為:

      (28)

      為了消除久期項(xiàng),引入慢時(shí)間變量變換

      ∏=γT

      (29)

      在此變換下,有

      將(27)、(28)和(29)式帶入(22)式,并線性化,得到如下具有初始擾動(dòng)的線性方程:

      (30)

      根據(jù)零階近似解(23),設(shè)滿足方程(22)的A0具有以下形式的解

      (31)

      由方程(30)可知,

      (32)

      M,χ,ζ,ι是關(guān)于慢時(shí)間變量∏的函數(shù),而M,χ與時(shí)間t無(wú)關(guān)。為此,根據(jù)(32)式,可知

      (33)

      其中

      (34)

      則方程(34)可以寫成矩陣形式:

      (35)

      (36)

      其中

      由于孤立子解A0具有零邊值條件

      A0→0,當(dāng)|z|→∞時(shí)

      ρ=ρ*=±(k2+1),-∞

      其中,k為實(shí)數(shù),即算子方程(36)具有連續(xù)譜。對(duì)應(yīng)的正交完備基{Φ}和{ψ}分別為:

      其中

      利用基函數(shù){Φ}將W展開(kāi),得到:

      (37)

      其中,a+(T,k),a-(T,k)和aj(T)(j=1,2,3,4)為展開(kāi)系數(shù)。將展開(kāi)式(37)帶入到方程(35)中,由于積分后各展開(kāi)系數(shù)只是時(shí)間t的函數(shù),為此,得到關(guān)于展開(kāi)系數(shù)a+(T,k),a-(T,k)和aj(T)(j=1,2,3,4)的常微分方程[25]。

      (38)

      解方程(38),并考慮到(31)和(32)式,可得關(guān)于孤立子波幅M及速度χ隨慢變時(shí)間∏變化的公式:

      (39)

      其中

      在得到擾動(dòng)對(duì)孤立子影響的關(guān)系式(38)后,將利用這一關(guān)系式來(lái)討論地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞形勢(shì)的影響。

      5 地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞形勢(shì)的影響

      對(duì)于大地形而言,可以近似看作斜面坡,為此,對(duì)于無(wú)量綱的地形高度函數(shù)?(x,y)具有以下形式

      ?(x,y)=|b-ax|

      (40)

      其中,a>0,b>0,a為大地形山體斜率,b為大地形山體高度。在量綱變換公式(6)下,地形函數(shù)(40)將變?yōu)?/p>

      ?(x,y)=|b′-a′x|

      (41)

      將無(wú)量綱的地形函數(shù)(41)帶入到(21)式中G(x)的表達(dá)式中,得到

      G(x)=r|b′-a′x|

      (42)

      并考慮到矩陣次冪公式:

      求(39)式,得到孤立子移動(dòng)速度χ對(duì)于慢變時(shí)間∏的變化:

      設(shè)χ的初始值為χ0,注意到χ關(guān)于慢變時(shí)間∏是定常的,則可得到孤立子波幅M對(duì)于慢變時(shí)間∏的變化:

      (43)

      由方程(43)可知,在地形強(qiáng)迫的作用下,孤子振幅在阻塞的維持階段隨慢時(shí)間增強(qiáng)的,在一定時(shí)間后,這種增強(qiáng)作用達(dá)到極限。進(jìn)一步的分析發(fā)現(xiàn),孤子振幅增長(zhǎng)率與斜坡的斜率成正比,這意味著,大地形山體坡度越陡,越有利于偶極型阻塞發(fā)展。

      同3節(jié)一樣,根據(jù)阻塞形勢(shì)的尺度以及西風(fēng)平均緯向風(fēng)速的特征,取ε=0.5,γ=0.7,t=-1,χ0=0.31,b=6km,a=0.15得到地形強(qiáng)迫下的單孤立子解的偶極型阻塞型流場(chǎng)(圖3):

      對(duì)比圖1與圖3可知:無(wú)地形強(qiáng)迫時(shí),偶極型阻塞的維持時(shí)間相對(duì)較短,尤其是強(qiáng)度較弱,而存在地形強(qiáng)迫時(shí),有利于偶極型阻塞維持,尤其是增強(qiáng),因此,地形強(qiáng)迫對(duì)于偶極型阻塞的形成發(fā)展具有明顯的作用。

      6 結(jié)論與討論

      本研究運(yùn)用多尺度變換和攝動(dòng)法簡(jiǎn)化具有地形強(qiáng)迫的正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程,得到帶有擾動(dòng)項(xiàng)的非線性Shr?dinger方程,分析了非線性Shr?dinger孤立子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),并采用孤立子直接微擾理論研究地形強(qiáng)迫對(duì)阻塞結(jié)構(gòu)的作用。結(jié)果表明:(1)在大氣長(zhǎng)波與超長(zhǎng)波尺度共存的雙時(shí)態(tài)特征中,一定的波流條件下,西風(fēng)環(huán)流將呈偶極型阻塞結(jié)構(gòu)。(2)地形強(qiáng)迫對(duì)阻塞發(fā)展具有加強(qiáng)作用,這種增長(zhǎng)率與大地形山體的斜率成正比,并在一定時(shí)間內(nèi)達(dá)到極限。

      本研究雖然從理論上闡述了地形強(qiáng)迫是怎樣影響阻塞形勢(shì)的,但仍存在如下的問(wèn)題需要解決:從全局的角度看,阻塞形勢(shì)只是西風(fēng)帶高低指數(shù)環(huán)流中的一支—低指數(shù)環(huán)流,要全面的了解地形強(qiáng)迫對(duì)阻塞形勢(shì)的動(dòng)力過(guò)程,需要從西風(fēng)帶環(huán)流的準(zhǔn)周期性循環(huán)著手進(jìn)行分析,而這一過(guò)程,主要由斜壓位能的南北輸送、交換所引導(dǎo)的,為此,需要進(jìn)一步考慮斜壓過(guò)程。

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