累積前景理論和期望效用理論相對立還是相融合?

陶剛

摘要：累積前景理論模型和期望效用理論模型本質(zhì)上都是對各或有狀態(tài)回報效用的加權(quán)平均，文章將兩種理論的或有狀態(tài)回報的效用函數(shù)與權(quán)重函數(shù)部分進行剖析比較，發(fā)現(xiàn)累積前景理論在數(shù)學(xué)模型上能較好地兼容期望效用理論，前者更好地將多重風(fēng)險態(tài)度融入到模型中，后者實際上是前者的一個理論特例。

關(guān)鍵詞：累積前景理論;期望效用理論;權(quán)重函數(shù)

行為金融理論是對經(jīng)典數(shù)理金融的假設(shè)前提提出修正，探究在有限理性和非完全有效市場下的投資者真實決策行為。前者基于理想，后者基于現(xiàn)實;前者探究的是理想情況下應(yīng)該怎么樣，后者探究的是真實情況背后的原因;前者是一種數(shù)學(xué)推理的邏輯，后者是一種逆向發(fā)現(xiàn)的邏輯，后者比前者更切合實踐，從而對現(xiàn)實世界具有更強的實踐指導(dǎo)作用[1]。因而行為金融越來越受到主流學(xué)術(shù)界的重視與接納。而傳統(tǒng)觀點認為兩個學(xué)派出發(fā)點不同，一個研究非理性世界，一個研究理性世界，從而兩方是相矛盾或相對立的。本文將兩學(xué)派的代表性理論——累積前景理論[2] （Cumulative Prospect Theory）和期望效用理論[3] （Expected Utility Theory）進行對比研究，分析其在理論模型上的兼容性問題。

期望效用理論是現(xiàn)代金融理論的基石，投資組合理論及資產(chǎn)組合有效邊界等重要金融學(xué)術(shù)問題的數(shù)學(xué)推導(dǎo)完全是基于期望理論效用函數(shù)，而這些內(nèi)容依然是主流金融學(xué)教材的重點。期望效用理論作為經(jīng)典規(guī)范理論，有著簡潔的模型表示，完整的公理基礎(chǔ)，良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，長久以來在金融研究領(lǐng)域占有絕對的統(tǒng)治地位，其重要程度不言而喻。而累計前景理論是諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎得主卡尼曼（Daniel Kahneman）的代表理論，他作為一名心理學(xué)家，通過一系列行為實驗，總結(jié)出人類面對風(fēng)險選擇時的普遍規(guī)律，隨后在數(shù)學(xué)模型方面不斷完善理論推導(dǎo)。國內(nèi)外圍繞前景理論的實證及理論研究十分豐富，其中以實證研究居多，絕大部分文獻都認為前景理論可以解釋許多經(jīng)典經(jīng)濟理論無法解釋的問題，在這方面Barberis（2013）做了較完善的國際研究文獻回顧[4]。

累積前景理論模型和期望效用理論模型一樣，本質(zhì)上都是對各或有狀態(tài)（Contingent States）回報效用的加權(quán)平均，后文將兩種理論的或有狀態(tài)回報的效用函數(shù)及權(quán)重函數(shù)部分深入對比分析，進而揭曉題之所問。

一、理論模型對比研究

（一）期望效用理論模型

首先明確字母符號含義。按照相關(guān)外文文獻慣例，以Lottery的首字母L代表一支風(fēng)險資產(chǎn){Xi，Pi}，i=1，2…，n，其中Xi和Pi是風(fēng)險資產(chǎn)第i種或有狀態(tài)的回報與該狀態(tài)發(fā)生的概率。那么期望效用理論的函數(shù)模型就可以寫為U（L） = ，其中U（·）是對總體風(fēng)險資產(chǎn)評價的效用函數(shù)，u（·）是對單個或有狀態(tài)回報的效用函數(shù)，也是確定條件下回報的效用函數(shù)，具體地，u（x）=xa，x≥0，0

（二）累積前景理論模型

累積前景理論基于大量行為實驗研究結(jié)論，總結(jié)出決策者的四重風(fēng)險態(tài)度。比如，有許多人熱衷于買彩票，就是對正回報的小概率事件表現(xiàn)出風(fēng)險偏好行為。累積前景理論函數(shù)模型為：U（L） =，這仍然是一個加權(quán)平均的形式，但它在權(quán)重函數(shù)和每個或有狀態(tài)的效用函數(shù)上形式更加復(fù)雜。以示區(qū)別，在累積前景理論函數(shù)中以wi表示權(quán)重，v（·）表示各或有狀態(tài)的效用函數(shù)。累積前景理論認為決策者在做風(fēng)險評價時，會有一個盈虧比較基準(zhǔn)（Benchmark），大于比較基準(zhǔn)的為正回報，反之亦然。正、負回報風(fēng)險資產(chǎn)即是按此標(biāo)準(zhǔn)劃分的。令xb表示比較基準(zhǔn)的狀態(tài)回報，則v（x）寫為分段函數(shù)形式，如下：

其中，系數(shù)λ用來表示損失厭惡心理（Loss Aversion），在混合回報風(fēng)險資產(chǎn)的評價，即一個風(fēng)險資產(chǎn)有正的或有狀態(tài)回報，也可能獲得負的或有狀態(tài)回報時，損失厭惡心理是主導(dǎo)的避險心理模式。累積前景理論模型中的權(quán)重函數(shù)形式設(shè)定如下：

定義wi= ，1< i≤b，

wi= ，b< i < n。

其中，上標(biāo)正號“+”與負號“-”分別對應(yīng)正的或有狀態(tài)回報與負的或有狀態(tài)回報。累積前景理論的權(quán)重函數(shù)w通過非線性函數(shù)f和或有狀態(tài)發(fā)生概率p聯(lián)系起來，根據(jù)行為實驗數(shù)據(jù)和行為心理動機[5]，f為定義域在0到1上的倒S形函數(shù)。圖1為假設(shè)有三個或有狀態(tài)時的情形，其他數(shù)量的或有狀態(tài)情形和三個或有狀態(tài)的情形類似。圖1中縱軸為權(quán)重，橫軸為概率。則累積前景理論模型權(quán)重和概率的關(guān)系為：w1= f （p1），w2= f （p1+p2） - f （p1），w3= f （p1+p2+p3） - f （p1+p2）。

二、理論模型兼容性分析

（一）權(quán)重函數(shù)部分兼容性分析

期望效用模型僅借助u（·）函數(shù)的凹凸程度這一個維度，表達決策者的風(fēng)險偏好，那顯然是不夠的，按照期望效用的理論框架，一個決策者只能是風(fēng)險偏好，當(dāng)u"（·）> 0時，風(fēng)險中性，當(dāng)u"（·）= 0時或是風(fēng)險厭惡的，當(dāng)u"（·）< 0時。然而行為實驗證明決策者根據(jù)環(huán)境的不同，會展現(xiàn)出不同的風(fēng)險偏好。累積前景理論之所以在一個模型中能囊括決策者的多重風(fēng)險偏好，主要在于權(quán)重函數(shù)對于或有狀態(tài)發(fā)生概率p的非線性效用偏好，這是期望效用理論所忽視的部分，只要令f （x） = x，容易驗證wi= pi，即累積前景理論模型權(quán)重函數(shù)部分也使用或有狀態(tài)回報發(fā)生概率來進行加權(quán)平均，或者說決策者對于概率p沒有了非線性的效用偏好。在權(quán)重函數(shù)方面，期望效用理論模型是累積前景理論模型的一個特殊情況。對照到圖1，則橫軸的概率不通過倒S形的f函數(shù)映射到縱軸，而是通過圖中的45°斜對角線進行映射。

（二）或有狀態(tài)回報效用函數(shù)兼容性分析

或有狀態(tài)回報的效用函數(shù)兼容性方面，可以通過參數(shù)設(shè)置，使得v（x）=u（x）成立，令α = β = a，λ=1，并認為比較基準(zhǔn)是0，即xb = 0，則累積前景理論中或有狀態(tài)回報效用函數(shù)退化為期望效用理論中的或有狀態(tài)回報效用函數(shù)。需要指出的是，v（x）通過單一維度系數(shù)λ表達損失厭惡心理現(xiàn)象，會使得v（x）在x = xb處形成尖點（Cusp），見（左側(cè)）圖2，容易驗證：

又由于盈虧比較基準(zhǔn)xb可隨著心理預(yù)期的變化而改變，理論上以單一系數(shù)λ表達損失厭惡現(xiàn)象，會造成v（x）對應(yīng)無風(fēng)險狀態(tài)下處處連續(xù)但不可導(dǎo)的效用函數(shù)u（·），所以累積前景理論在或有狀態(tài)回報的效用函數(shù)兼容性方面有瑕疵。這個問題可通過“心理賬戶”（Mental Accounts）等方式建立模型，而不是通過單一系數(shù)λ的方式表達損失厭惡心理。

三、結(jié)語

文章通過對累積前景理論和期望效用理論數(shù)學(xué)模型的比較分析，發(fā)現(xiàn)累積前景理論在權(quán)重函數(shù)部分引入了對或有狀態(tài)發(fā)生概率的非線性關(guān)系，從而可在一個數(shù)學(xué)模型里刻畫決策者的多重風(fēng)險態(tài)度。去除對概率的非線性偏好，則在權(quán)重函數(shù)方面，累積前景理論就退化為期望效用理論?；蛴袪顟B(tài)回報的效用函數(shù)方面，累積前景理論可通過參數(shù)設(shè)置退化為期望效用理論的或有狀態(tài)回報，然而用單一系數(shù)λ刻畫損失厭惡現(xiàn)象，使得在盈虧比較的心理參考點xb形成尖點，會影響模型的兼容性。

至此，回答題之所問，累積前景理論模型總體上能較好地兼容期望效用理論模型，前者將后者忽視掉的決策者風(fēng)險態(tài)度更完善地融合到數(shù)學(xué)模型中，如對狀態(tài)概率的效用偏好，對損失厭惡心理的刻畫。當(dāng)然，累積前景理論在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上也仍有繼續(xù)完善的空間。兩種理論作為行為金融理論和經(jīng)典經(jīng)濟理論的代表，在數(shù)學(xué)模型上有較好的兼容性，預(yù)示著從現(xiàn)象出發(fā)建立的經(jīng)濟理論框架和從數(shù)學(xué)推導(dǎo)出發(fā)建立的框架今后將更深刻地融合發(fā)展，使得經(jīng)濟理論無論在數(shù)理性質(zhì)還是在現(xiàn)實解釋力方面都得到更好的提升。

參考文獻：

[1]孟贊，楊建文.數(shù)理金融到行為金融——理想世界到現(xiàn)實世界[J].金融理論與實踐，2014（6）：107-110.

[2]Tversky A， D Kahneman. Advances in Prospect Theory： Cumulative Representation of Uncertainty[J]. Journal of Risk and Uncertainty， 1992（5）.

[3]von-Neumann J， O Morgenstern. Theory of Games and Economic Behavior[M]. United States： Princeton University Press， 1944.

[4]Barberis N C. Thirty Years of Prospect Theory in Economics： A Review and Assessment[J]. The Journal of Economic Perspectives， 2013， 27（1）.

[5]Brandst?tter E， A Kühberger， F Schneider. A Cognitive-Emotional Account of the Shape of the Probability Weighting Function[J]. Journal of Behavioral Decision Making， 2002， 15（2）.

基金項目：貴州省教育廳高等學(xué)校人文社會科學(xué)項目研究成果（2019qn019）;貴州師范大學(xué)資助博士科研項目階段性成果（11904/0517043）。

作者簡介：陶 剛（1982—），男，貴州貴陽人，博士，副教授，主要從事金融經(jīng)濟學(xué)研究。