基于PSD方法的閥門反饋桿隨機振動疲勞壽命研究

肖夢凡，楊彬，張立德

（中廣核研究院有限公司，深圳 518031）

調節(jié)閥閥門反饋桿的作用為反饋閥位給定位器，若反饋桿在閥門運行過程中發(fā)生斷裂，則定位器輸出最小值，影響操作人員對閥門開度的判斷。本次研究的閥門為電動調節(jié)閥，閥門設計溫度為316 ℃，設計壓力為94.5 bar（1 bar = 0.1 MPa），閥門在100%開度時，由于管道內流體沖擊閥瓣，導致反饋桿與聯(lián)軸器位置產生隨機振動。經現(xiàn)場實測，反饋桿與聯(lián)軸器位置振動較大，長期運行導致反饋桿連接位置疲勞斷裂[1]，斷裂后的反饋桿如圖1 所示。

圖1 反饋桿斷裂圖Fig.1 Feedback rod break diagram

隨機振動理論與方法自1958 年提出后，在各行各業(yè)進行了廣泛的研究，隨著測振技術和有限元仿真技術的飛速發(fā)展，使得評估結構在隨機振動載荷作用下的壽命成為可能。目前工程上通用的方法為功率譜（PSD）密度法，功率譜密度函數(shù)是穩(wěn)態(tài)隨機過程的頻域描述[2]，表征了隨機過程在頻域上的能量分布。對于本文研究的反饋桿結構，基于PSD 的隨機振動疲勞壽命分析步驟如下：

（1）測量反饋桿斷裂位置的隨機振動數(shù)據，得到時序的振動加速度數(shù)據；

（2）通過傅立葉變換，將測量的時序信號轉變?yōu)楣β首V；

（3）利用有限元軟件，對反饋桿結構進行PSD分析，得到反饋桿危險結構的局部應力響應；

（4）基于高斯分布和Miner 線性累計損傷準則的三區(qū)間法，對反饋桿結構進行隨機振動疲勞壽命計 算。

1 功率譜的求解

在工程應用上，常把隨機振動視為平穩(wěn)隨機過程，其統(tǒng)計特征量不隨時間變化而變化，在求解隨機過程的功率譜時，最重要的統(tǒng)計特征量是隨機過程 的自相關函數(shù)[3]，如式（1）所示，其物理意義在于描述隨機過程X ( t )自身在兩個不同時刻之間線性依從關系的數(shù)字特征：

現(xiàn)推導功率譜的求解過程，定義隨時間變換的函數(shù)X ( t )為：

定義復變函數(shù)X ( ω )為：

A ( ω )和B ( ω )為X ( t )的傅立葉積變換分量，代入并整理可得：

根據歐拉公式可得：

則復變函數(shù)X ( ω )可寫為：

由于A ( ω )sinωt 和B ( ω )cosωt 均為奇函數(shù)，則有：

將上式乘以i 后加到X ( t )上，并不影響X ( t )的值，因此可以得到X ( t )的表達式變?yōu)椋?/p>

將上式各項整理可以得到：

式（2）和式（4）互為傅立葉變換，X ( t )是以時間為變量的函數(shù)，X ( ω )是以頻率為變量的函數(shù)。由于隨機過程的自相關函數(shù)R ( τ )也是以時間為變量的函數(shù)，對其進行傅立葉變換[4]，即可得到隨機過程的功率譜密度函數(shù)，表達式如下：

式（10）表達的變換對稱又被稱為維納-辛欣（Wiener Khintchine）關系式。

由于功率譜密度函數(shù)SX( ω )是一個左右對稱的雙邊譜，一般取其正半軸進行研究，即單邊功率譜密度GX( ω )。ANSYS 軟件也默認采用單邊功率譜進行分析。

2 ANSYS隨機振動分析理論

在隨機振動分析中，可以把反饋桿結構當做線性結構，其動力特性可以在頻域內進行描述，如式（11）所示[5]：

其中 [M]——結構非約束自由度的質量矩陣；

[C]——結構的阻尼矩陣；

[K]——結構的剛度矩陣；

{ X }——結構的自由度矩陣；

{ F }——結構受到的激勵載荷矩陣。

對于特定的結構，可以通過模態(tài)分析獲得結構的固有頻率及振型，同時也能得到結構的頻率響應函數(shù)H ( ω )，不同形式的輸入功率譜密度（力譜、速度譜、加速度譜等）所對應的響應函數(shù)也不相同，針對本文所采用的加速度功率譜，其對應的傳遞函數(shù)如下所示：

式中 ω——激勵頻率；

ωi——第i 階模態(tài)的自振圓頻率；

由于響應過程也可以當做一個隨機過程Y ( t )，根據杜哈梅（Duhamel）積分，可求得響應過程與激勵過程的表達式，進而可以求得平穩(wěn)反應過程Y ( t )的自相關函數(shù)RY( τ )為：

根據維納-辛欣公式，平穩(wěn)反應過程Y ( t )的自功率譜密度為：

由式（14）可以得出，當求得激勵的自功率譜后，計算響應的自功率譜變得較為簡單。同時，對于零均值的隨機過程，當τ = 0 時，可計算反應的均方值：

而均方值的開方即為PSD 分析求解的1σ 解，對于結構的危險點，可以求得其不同類型（位移、速度、加速度）的響應PSD。

3 高斯三區(qū)間法及Miner線性疲勞累積損傷定律

結構的應力分布時間歷程為高斯隨機過程，Steinberg 提出的基于高斯分布和Miner 線性疲勞累積損傷準則的三區(qū)間法[6]，可以有效求得結構的疲勞壽命。該方法首先將應力分為±1σ，±2σ，±3σ 三個區(qū)間，應力幅值落在各個區(qū)間的概率如表1 所示。

表1 高斯三區(qū)間法Table 1 The Gaussian three interval method

利用Miner 線性累計損傷理論，結構在應力σi的作用下，經歷ni次循環(huán)的損傷為Di= ni/ Ni，若在k個應力σi的作用下，各經歷ni次循環(huán)，則定義總損傷為：

當D = 1 時則認為結構疲勞失效，結合高斯三區(qū)間法，可得出隨機振動總體損傷計算公式為：

式（18）中n1σ、n2σ、n3σ為等于或低于1σ、2σ、3σ 應力水平的實際循環(huán)次數(shù)，分別等于0.682 7 fμ+T、0.271 8 fμ+T、0.042 8 fμ+T；N1σ、N2σ、N3σ分 別 為1σ、2σ、3σ 應力水平分別對應的可循環(huán)次數(shù)，由此可以看出，該總體損傷計算公式在結果上是偏保守的。

將式（18）整理可得反饋桿結構在隨機振動載荷下的壽命為：

Steinberg 認為超出-3σ ～ 3σ 范圍的應力對結構不造成任何損傷，為保守考慮，本文將超出3σ 應力范圍的概率考慮到-3σ ～ 3σ 區(qū)間范圍內，則式（19）可修正為[7]：

4 反饋桿PSD有限元分析

上文已介紹隨機振動過程功率譜密度的求解方法和基于高斯三區(qū)間法的疲勞壽命計算，利用ANSYS 軟件對反饋桿結構進行PSD 分析的流程如圖2 所示。

圖2 反饋桿隨機振動壽命分析流程Fig.2 Feedback rod random vibration life analysis process

采用有限元軟件ANSYS Mechanical APDL 14.5建立反饋桿模型如圖3 所示，建模采用實體單元Solid186，單元最小尺寸2 mm，共劃分26 813 個節(jié)點和17 388 個單元。在約束設置方面，與聯(lián)軸器連接位置由于模擬螺紋連接難度較大，這里做簡化處理，模型省略了聯(lián)軸器內的螺桿，約束主桿面內的螺桿面積節(jié)點的自由度，并在此處施加PSD 激勵；另一側螺桿通過一個豎直桿連接反饋桿與萬向節(jié)，因此在豎直方向上，反饋桿無法產生位移，但其他方向無約束，因此約束此處螺桿豎直方向自由度。

4.1 模態(tài)分析

圖3 網格劃分圖Fig.3 Mesh map

進行模態(tài)分析是隨機振動分析的前提，其目的是為了求得PSD 載荷譜所覆蓋的頻帶內每一階的固有頻率及振型，進而計算反饋桿結構的頻率反應函數(shù)，即轉換函數(shù)。對于本文中的反饋桿結構，計算其前三階固有頻率及其三個方向上的參與質量如表2 所示。由表2 可見，第三階固有頻率已達3 450.57 Hz，已超過激勵頻率2 046 Hz，且前三階固有頻率的參與質量在X，Y，Z 三個方向上均已超90%，這表明采用前三階模態(tài)進行響應分析是足夠的。

表2 模態(tài)分析結果表Table 2 Modal analysis results

4.2 加速度功率譜

本文所采用的測振工具為COCO-90，測量位置為反饋桿與聯(lián)軸器的連接位置，測量單位為m/s2，測量總時長為30 s，測量間隔為2.44140625×10-4s，由于數(shù)據過于龐大，本文不再列出。得到隨機振動時程數(shù)據后，可根據第2 節(jié)中的原理計算對應的功率譜，計算得到的X，Y，Z 三個方向的功率譜密度如圖4 所示。

4.3 隨機振動計算結果

在ANSYS 中通過定義矩陣的方式，將所有加速度功率譜導入，并在模型約束節(jié)點位置施加圖4 中的加速度功率譜，在ANSYS 后處理/POST1 中設置讀取第三載荷步的第一子步，即可獲得斷裂反饋桿的1σ 應力計算結果，如圖5 所示。將所有節(jié)點的1σ應力進行排序，發(fā)現(xiàn)反饋桿最大1σ 應力出現(xiàn)在節(jié)點7 448 處，大小為106 MPa，這也是現(xiàn)場實際斷裂位置——反饋桿與聯(lián)軸器連接螺桿的端部。

圖4 加速度功率譜Fig.4 Acceleration power spectrum

圖5 應力計算結果Fig.5 Stress calculation result

選取7 448 節(jié)點的X，Y，Z 方向位移分量，計算其PSD 響應作為輸出，得到位移響應如圖6 所示。

圖6 7 448 節(jié)點位移響應Fig.6 7 448 node displacement response

由圖6 結果可知，7 448 節(jié)點的位移響應在低頻率段較大，根本原因為反饋桿振動能量集中在低頻段，從轉譜后的功率密度譜中可以看出功率密度譜值從低頻開始呈斷崖式下降。同時，7 448 節(jié)點的應力響應圖也表明反饋桿的應力響應主要來源于低頻階段的隨機振動激勵，結合模態(tài)分析結果可以肯定，低頻段隨機振動激勵過大是導致反饋桿斷裂的根本原因。

4.4 疲勞壽命計算

由圖5 中的1σ 應力計算結果，結合材料的S-N曲線，并通過式（20）可計算反饋桿的疲勞壽命。反饋桿材料為304L 不銹鋼，對應ASME[8]規(guī)范中的奧氏體不銹鋼材料，其S-N 曲線如圖7 所示，圖中只給出了部分疲勞強度下對應的可循環(huán)次數(shù)，1σ、2σ、3σ應力對應的可循環(huán)次數(shù)需要進行插值計算，插值計算的公式為：

式中Si、S、Sj為應力強度，且Si＞S ＞Sj，將1σ、2σ、3σ 的值分別代入插值公式中，即可得到對應的N1σ、N2σ、N3σ的值。斷裂反饋桿的計算壽命如表3 所示。

圖7 S-N 曲線Fig.7 S-N curve

表3 壽命計算結果Table 3 Life calculation result

由表3 可知，最終反饋桿的壽命為10.53 h，現(xiàn)場運行記錄如表4 所示，反饋桿運行至斷裂的時間為15 小時3 分，該誤差在壽命計算領域較小，可認為該算法滿足要求。

表4 反饋桿運行時間Table 4 Feedback rod operation time

5 結論

本文通過測振工具、理論計算公式和有限元分析方法對電廠斷裂的閥門反饋桿進行了一系列的分析，研究了反饋桿斷裂失效問題，主要得出以下結論：

（1）通過分析結構應力在隨機振動載荷下的動態(tài)響應，表明閥門反饋桿斷裂主要原因為低頻段隨機振動激勵過大，可通過調整反饋桿結構形式、材料強度等方法提高反饋桿壽命。

（2）利用ANSYS 分析軟件結合理論公式所得到的反饋桿隨機振動壽命與現(xiàn)場反饋桿實際壽命結果吻合較好，因此利用本文的方法對反饋桿進行隨機振動壽命分析是可行的。

現(xiàn)場目前沒有對反饋桿隨機振動壽命問題分析的方法，本文提供有限元和理論方法相結合的思路，幫助現(xiàn)場解決反饋桿隨機振動問題，同時對新型反饋桿的設計提供優(yōu)化思路，減少設計反復，提高研發(fā)效 率。