基于極限分析上限法雙層土坡穩(wěn)定性分析

王 迪， 王宏權(quán)， 王曉飛， 徐惠民， 張 飛

(1.巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 江蘇 南京 210098； 3.廣東省南粵交通大豐華高速公路管理中心， 廣東 梅州 514300； 4.安徽省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)研究總院股份有限公司， 安徽 合肥 230088； 5.南京市水利規(guī)劃設(shè)計(jì)院股份有限公司， 江蘇 南京 210022)

邊坡穩(wěn)定問題是土力學(xué)三大經(jīng)典問題之一，是巖土力學(xué)與工程研究中的重點(diǎn)領(lǐng)域。關(guān)于邊坡穩(wěn)定性問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了各種分析方法(極限平衡法、極限分析法、數(shù)值模擬法)，并被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程。邊坡穩(wěn)定性分析最早是基于Coulomb的擋土墻土壓力計(jì)算方法和Rankine的主動(dòng)土壓力與被動(dòng)土壓力計(jì)算方法，建立了最初的極限平衡法。隨后，條分理論的提出對(duì)邊坡穩(wěn)定性極限平衡分析法的發(fā)展有重要貢獻(xiàn)，基于土體條分的各種假設(shè)建立了諸多方法[1-7]。由于土體塑性理論的建立，極限定理的思想被用于邊坡穩(wěn)定性分析中，提出了極限分析法。伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)值模擬方法的快速發(fā)展，各種數(shù)值分析方法被提出并引入到邊坡穩(wěn)定性分析中。但極限平衡法[8-9]由于將土條簡(jiǎn)化為剛體，忽略了巖土體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，沒有考慮土體發(fā)生破壞時(shí)的變形協(xié)調(diào)條件，計(jì)算得到的安全系數(shù)僅是假定滑動(dòng)面上的平均安全度，結(jié)果并不十分理想。數(shù)值模擬法雖然具有簡(jiǎn)易的操作性和很強(qiáng)的可視化效果，但在本構(gòu)模型、屈服準(zhǔn)則以及失穩(wěn)判據(jù)的選取方面缺少統(tǒng)一性，不同的模擬軟件本身也對(duì)計(jì)算精度有著不同程度的影響。極限分析法的優(yōu)勢(shì)在于，它可以不必一步步地對(duì)各個(gè)階段的彈塑性狀態(tài)進(jìn)行分析而直接求得破壞荷載。從理論上，極限分析法相比極限平衡法更為嚴(yán)格，極限分析法分為上限解法和下限解法，上限解需要建立運(yùn)動(dòng)許可的速度場(chǎng)(即破壞面)，下限解需要建立靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)。若上限解與下限解相等時(shí)，則就認(rèn)為獲得了“真解”。

目前，邊坡穩(wěn)定極限分析法的研究主要針對(duì)均質(zhì)土坡，但實(shí)際工程中的邊坡問題常是非均質(zhì)的，關(guān)于非均質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性研究仍需要進(jìn)一步的改進(jìn)與完善。Chen等[10]采用對(duì)數(shù)螺旋線的轉(zhuǎn)動(dòng)破壞機(jī)制，建立能量平衡方程得到均質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的上限解，隨后該方法又被Chen等[11]拓展到非均質(zhì)各向異性的邊坡分析中。Chen[12]對(duì)分層位置在坡腳處的雙層邊坡進(jìn)行分析，給出了限制深度下的穩(wěn)定系數(shù)。然而，Chen[12]研究中只考慮了分層位置在坡腳處的情況，自然界中成層邊坡的分層位置不一定都在坡腳處，對(duì)于任意分層位置雙層土坡，目前尚未開展相關(guān)研究。此外，邊坡失穩(wěn)破壞時(shí)其破壞面的分布，一直是工程界比較關(guān)心的問題，但是針對(duì)不同參數(shù)變化對(duì)邊坡滑動(dòng)面分布規(guī)律的研究相對(duì)較少，尤其是對(duì)于常見的雙層邊坡。

針對(duì)以上研究的不足和需要，本文基于Chen[12]提出的雙層邊坡穩(wěn)定性的極限分析上限解法，推導(dǎo)了任意分層位置的雙層土坡在不同破壞機(jī)制下臨界高度的計(jì)算公式，依托MATLAB軟件平臺(tái)，通過編制不同破壞機(jī)制下的穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算程序，分析了臨界高度與分層深度的關(guān)系，并得到不同條件下雙層土坡臨界高度隨分層深度改變的線性變化規(guī)律。同時(shí)探究了雙層土坡臨界滑動(dòng)面位置的分布規(guī)律，建立雙層土坡的穩(wěn)定性分析方法，為工程設(shè)計(jì)提供一定的參考依據(jù)。

1 任意分層位置雙層土坡穩(wěn)定性極限分析方法

極限分析法[13-14]是基于理想彈塑性體的基本定理-上限定理和下限定理求解物體極限應(yīng)力狀態(tài)的分析方法。對(duì)于巖土工程問題，通過一些簡(jiǎn)單的假定和邊界條件的簡(jiǎn)化[15-16]，極限分析法提供了一種尋求合理真解范圍的有效途徑。

1.1 基于坡底破壞機(jī)制雙層土坡臨界高度計(jì)算公式

圖1為雙層土坡坡底破壞機(jī)制示意圖，假設(shè)雙層土坡破壞機(jī)制為旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)，破壞面為對(duì)數(shù)螺旋面，通過建立對(duì)數(shù)螺旋面上的能量耗損率與旋轉(zhuǎn)土體重力所做外功率的等量關(guān)系，得到雙層土坡極限分析上限解，進(jìn)而用于雙層土坡的穩(wěn)定性評(píng)價(jià)。

圖1 坡底破壞機(jī)制示意圖

假設(shè)滑動(dòng)破壞區(qū)A-B-C-D-A繞旋轉(zhuǎn)中心O做剛體旋轉(zhuǎn)，而對(duì)數(shù)螺旋面A-E′-D以下土體保持靜止，因此，A-E′-D面是一個(gè)薄層的速度間斷面。設(shè)邊坡的高度為H，雙層土分界面E-E′以上土體高度為αH，基準(zhǔn)線OA、OD和OE′的傾角分別為θ0、θh和θm，基準(zhǔn)線長(zhǎng)度分別為r0、rh和rm，邊坡的坡角為β，∠BDC為β′，AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。考慮土體重度變化不大，假定雙層土坡上下兩層土體的重度均為γ；為便于構(gòu)建統(tǒng)一滑動(dòng)面，上下兩層土體的內(nèi)摩擦角都為φ；上下兩層土體的黏聚力不同，分別為c1和c2。

對(duì)數(shù)螺旋面的方程為：

r(θ)=r0e(θ-θ0)tanφ

(1)

因此，基準(zhǔn)線OD的長(zhǎng)度為：

rh=r0e(θh-θ0)tanφ

(2)

在所考慮的滑動(dòng)破壞區(qū)域A-B-C-D-A內(nèi)，土體重力所做的外功率W，詳見Chen在《Limit Analysis and Soil Plasticity》[12]一書，在此僅給出其表達(dá)式。

(3)

內(nèi)部能量耗損主要發(fā)生在速度間斷面A-E′-D上。能量耗散率的微分，可以由該面的微分面積rdθ/cosφ與滑動(dòng)面上的黏聚力ci以及該速度間斷面上的切向間斷速度Vcosφ的乘積計(jì)算求得，因此，雙層土坡的總的內(nèi)部能量耗散率可以沿著整個(gè)速度間斷面積分A-E′-D求得，即：

(4)

令外功率W與內(nèi)能耗散率D相等，即式(3)與式(4)相等，可以得到：

(5)

化簡(jiǎn)式(5)，即可得到雙層土坡的無量綱的臨界高度表達(dá)式：

f(θ0，θh，β′，H/r0,L/r0)

(6)

其中：f為目標(biāo)函數(shù)；θ0，θh，β′，H/r0,L/r0為待搜索優(yōu)化的變量。

1.2 基于坡面破壞機(jī)制雙層土坡穩(wěn)定性極限分析方法

當(dāng)滑動(dòng)面通過雙層土坡坡腳以上時(shí)，土坡將發(fā)生坡面破壞，見圖2。此時(shí)，通過引入高度變量h(h

圖2 雙層土坡坡面破壞機(jī)制

這里，引入變量n，并假設(shè)：

(7)

此時(shí)，由幾何關(guān)系得：

(8)

A-B-D滑動(dòng)破壞區(qū)域土重所做的外功率為：

(9)

內(nèi)部能量耗損主要發(fā)生在速度間斷面A-E′-D上。能量耗散率的微分，可以由該面的微分面積rdθ/cosφ與滑動(dòng)面上的黏聚力ci以及該速度間斷面上的切向間斷速度Vcosφ的乘積計(jì)算求得，因此，雙層土坡的總的內(nèi)部能量耗散率可以沿著整個(gè)速度間斷面積分A-E′-D求得，即：

(10)

令外功率W與內(nèi)能耗散率D相等，即式(9)與式(10)相等，則有：

化簡(jiǎn)這個(gè)等式，則有：

(11)

其中：f為目標(biāo)函數(shù)；θ0，θh，β′，h/r0，L/r0為待搜索優(yōu)化的變量。

1.3 雙層土坡上限解優(yōu)化計(jì)算過程

通過上面基于雙層土坡的坡底破壞和坡面破壞機(jī)制建立的能量平衡方程，得到雙層土坡的無量綱的臨界高度γH/c1的表達(dá)式：

(12)

其中：f是目標(biāo)函數(shù)。公式(12)給出了雙層土坡臨界高度γH/c1的一個(gè)上限。為了得到γH/c1的上限解，需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)f進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，求其最小值，從而獲得γH/c1的最小上限解。

目標(biāo)函數(shù)f有五個(gè)待優(yōu)化的參數(shù)，為了提高計(jì)算效率，本文將采用陳祖煜[17]院士提出的隨機(jī)搜索方法。對(duì)于給定的邊坡參數(shù)值(坡高H，坡角β，土體黏聚力比值c2/c1，以及上層土的厚度αH)，通過對(duì)優(yōu)化參數(shù)的初始值，初始搜索步長(zhǎng)以及精度進(jìn)行設(shè)定，進(jìn)行迭代計(jì)算求解，從而得到目標(biāo)函數(shù)f的最小值。優(yōu)化過程中，角度(θ0，θh，β′ )的精度為0.01°，比值(H/r0，L/r0，h/r0)的精度為0.001。

2 雙層土坡臨界高度與分層深度關(guān)系

依托MATLAB數(shù)學(xué)計(jì)算平臺(tái)，針對(duì)不同破壞機(jī)制編制相應(yīng)的邊坡穩(wěn)定程序進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，綜合考慮各個(gè)影響因素的相互影響，通過整理計(jì)算結(jié)果，繪制了不同因素下雙層土坡的臨界高度與分層深度的關(guān)系圖(見圖3)。

圖3 雙層土坡臨界高度圖(φ = 20°)

從圖3可以看出，對(duì)于均質(zhì)土坡(α=1)，當(dāng)已知邊坡的幾何參數(shù)和土性參數(shù)時(shí)，其臨界高度為一定值，這與前人研究結(jié)果一致。對(duì)于雙層土坡，當(dāng)邊坡的坡度β、坡內(nèi)土體的內(nèi)摩擦角φ以及上下兩層土的黏聚力比值c2/c1一定時(shí)，雙層土坡的臨界高度γH/c1隨分層位置α的變化呈現(xiàn)不同的規(guī)律性。

3 不同因素對(duì)雙層土坡最危險(xiǎn)滑動(dòng)面的影響

土坡發(fā)生失穩(wěn)破壞時(shí)存在三種不同的破壞機(jī)制，不同破壞機(jī)制下其滑動(dòng)面的位置具有明顯的差異性，而土坡的破壞機(jī)制取決于其幾何參數(shù)和坡內(nèi)土體的力學(xué)參數(shù)。因此，針對(duì)雙層土坡在不同的幾何參數(shù)和力學(xué)參數(shù)影響下，研究其臨界滑動(dòng)面位置的分布規(guī)律，旨在為工程實(shí)踐提供一定的參考。圖4和圖5為內(nèi)摩擦角φ=5°時(shí)雙層土坡在不同的坡角β、上下土層不同分界面位置α及其黏聚力比值c2/c1下，其臨界滑動(dòng)面的位置分布圖。

圖4 α = 0.50時(shí)雙層土坡滑動(dòng)面位置分布圖(φ= 5°)

從圖4中可以看出，隨著黏聚力比值c2/c1的增大，雙層土坡臨界滑動(dòng)面的位置越來越接近于坡面，且對(duì)于極緩坡度(β不大于15°)的邊坡，主要發(fā)生坡底破壞。隨著坡角β和黏聚力比值c2/c1的增大(即下層土較上層土堅(jiān)硬程度的增加)，邊坡由坡底破壞逐漸發(fā)展為坡腳破壞，這在圖4(b)中表現(xiàn)的尤為明顯。隨著坡角β的繼續(xù)增加，邊坡主要發(fā)生坡腳破壞。然而當(dāng)坡角增大到一定程度(坡角β不小于60°)時(shí)，隨著黏聚力比值c2/c1的增加，邊坡將在兩層土的分界面處發(fā)生坡面破壞，由圖4(c)中可以清晰的看出，當(dāng)c2/c1≥ 5時(shí)，這些邊坡發(fā)生了坡面破壞。

圖5為α=1.0時(shí)雙層土坡滑動(dòng)面位置分布圖。坡底破壞主要出現(xiàn)在較緩邊坡，較陡邊坡主要發(fā)生坡腳破壞，且隨著下層土堅(jiān)硬程度的增加，雙層土坡的破壞機(jī)制發(fā)生改變；對(duì)于上硬下軟型土坡，隨著坡角β的增加，對(duì)于較陡邊坡也可發(fā)生坡底破壞。

圖5 α=1.0時(shí)雙層土坡滑動(dòng)面位置分布圖(φ= 5°)

對(duì)比圖4可以看出，當(dāng)分層深度α發(fā)生變化時(shí)，相同坡角β和黏聚力比值c2/c1下的雙層土坡的破壞形式發(fā)生了改變，這在圖4(b)和圖5(b)中表現(xiàn)的較為明顯，同時(shí)也說明了分層深度α的變化改變了雙層土坡的臨界失穩(wěn)機(jī)制。對(duì)于該邊坡，隨著分層深度α的增加，土坡由坡腳破壞轉(zhuǎn)變?yōu)槠碌灼茐摹?/p>

同理，通過研究?jī)?nèi)摩擦角φ=10° 時(shí)雙層土坡在不同的坡角β、上下土層不同分界面位置α及其黏聚力比值c2/c1下，其臨界滑動(dòng)面的位置分布，當(dāng)內(nèi)摩擦角φ增大到10°時(shí)，對(duì)于很緩的邊坡(如β<15°)，其破壞形式基本上均為坡腳破壞，且隨著黏聚力比值的增加，其滑動(dòng)面的位置基本保持不變，但對(duì)于垂直邊坡，當(dāng)黏聚力比值很大(c2/c1≥5)時(shí)，雙層土坡將發(fā)生坡面破壞。

隨著分層深度的變化，當(dāng)α為0.5時(shí)，當(dāng)黏聚力比值很大(c2/c1≥5)時(shí)，除坡度很緩的邊坡(β<15°)，雙層土坡均可發(fā)生坡面破壞，其他規(guī)律與之前具有很好的一致性。

當(dāng)分層深度在坡腳處(α=1.0)時(shí)，與之前規(guī)律不同的是，對(duì)于很陡(β≥75°)的邊坡，無論是上軟下硬型雙層土坡還是上硬下軟型雙層土坡，均發(fā)生坡腳破壞，其滑動(dòng)面位置基本上不隨黏聚力比值的變化而發(fā)生改變。對(duì)于其他坡度的上硬下軟型雙層土坡，則有會(huì)發(fā)生坡底破壞。

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了雙層土坡不同破壞機(jī)制下臨界高度的計(jì)算公式，編制了相關(guān)程序進(jìn)行雙層土坡穩(wěn)定性計(jì)算；在不同幾何參數(shù)和力學(xué)參數(shù)條件下，對(duì)雙層土坡滑動(dòng)面的分布規(guī)律進(jìn)行了探究，得出以下結(jié)論：

(1) 對(duì)于上硬下軟型土坡(c2/c1<1)，雙層土坡的臨界高度γH/c1隨分層深度α的增加而線性增加，也就是說臨界高度γH/c1隨著上層較硬土層厚度的增加而線性增加。對(duì)于上軟下硬型土坡(c2/c1>1)，雙層土坡的臨界高度γH/c1隨分層深度α的增加而減小，即臨界高度γH/c1隨著上層較軟土層厚度的增加而減小。

(2) 坡底破壞主要出現(xiàn)于內(nèi)摩擦角較小(φ<10°)的較緩(β<45°)邊坡，但對(duì)于上硬下軟型雙層土坡，在內(nèi)摩擦角較大且分層深度在坡腳位置處時(shí)，也可發(fā)生坡底破壞；坡面破壞主要發(fā)生在分層深度在坡面中部及中部以下位置處的上軟下硬型土坡；坡腳破壞在不同分層深度和不同力學(xué)參數(shù)下的雙層土坡中均有出現(xiàn)。

(3) 雙層土坡臨界滑動(dòng)面隨著黏聚力比值c2/c1的增加越接近與坡面，隨著分層深度的增加和坡角β的增加越來越容易出現(xiàn)坡面破壞，且臨界滑動(dòng)面隨內(nèi)摩擦角φ和坡角β的增加，不同黏聚力比之下的滑動(dòng)面的位置愈加接近。