基于多元正態(tài)分布的飛秒激光燒蝕光斑質(zhì)心提取

王福斌,劉夢竹,劉金旺

(華北理工大學(xué)電氣工程學(xué)院,河北 唐山 063210)

1 引 言

飛秒激光[1]憑借脈沖寬度短、峰值功率高、熱效應(yīng)小、加工分辨率高等區(qū)別于長脈沖激光的優(yōu)勢,在微加工領(lǐng)域展現(xiàn)出了強大的生命力。激光加工單晶硅的過程中,單晶硅表面獲得能量,使得表面粒子速度增大[2],進而導(dǎo)致材料表面的形態(tài)發(fā)生變化,進而導(dǎo)致燒蝕現(xiàn)象的發(fā)生[3-4]。近些年,飛秒激光的加工受到廣泛關(guān)注,在制造領(lǐng)域我們最關(guān)心的就是調(diào)整激光參數(shù)來改善材料的加工質(zhì)量,由此,對光斑的空間特性分析提出了越來越高的要求[5]。

針對當(dāng)前激光光斑圖像質(zhì)心檢測方法存在抗干擾能力差、檢測精度低等缺陷,本文主要工作為采集飛秒激光燒蝕過程中的等離子體光斑序列圖像,對光斑圖像的質(zhì)心進行提取,研究光斑質(zhì)心隨時間變化的物理運動規(guī)律,為后續(xù)實現(xiàn)基于光斑圖像的飛秒激光微加工控制提供研究基礎(chǔ)。

光斑灰度由中心向外逐漸衰減,沒有清晰的光點邊緣,提取質(zhì)心一般采用基于灰度分布的方法,充分利用發(fā)光點圖像中每個像素的灰度值。加工過程中,由于受到噪聲的影響,光斑的灰度峰值可能發(fā)生偏差,提取誤差較大,由此引入多元正態(tài)分布的極大似然法估計質(zhì)心,在精度方面得到了很大的改善。

2 基于多元正態(tài)分布的光斑質(zhì)心提取過程

2.1 光斑質(zhì)心提取方案

若光斑圖像的三維灰度特征近似服從高斯曲面分布,曲面中心像素點的灰度值就是此峰的最大值[6],用高斯曲面擬合法求取光斑質(zhì)心,有較高的定位精度,同時具有較高的穩(wěn)定性,但是計算量大,又由于受到噪聲的影響,灰度峰值可能發(fā)生偏差,這給光斑質(zhì)心的提取帶來不便。

因此,采取一些措施來彌補不足,提取方法如下所示:

2.2 光斑質(zhì)心提取方法

2.2.1 灰度質(zhì)心法

灰度質(zhì)心法[7-8]可以看作是以灰度為權(quán)值的加權(quán)型方法,首先,將飛秒激光光斑圖像進行預(yù)處理,消除噪聲,然后提取光斑質(zhì)心。光斑質(zhì)心的計算方法為:

(1)

灰度質(zhì)心法計算方便快捷,但受噪聲影響較大。

2.2.2 多元正態(tài)分布的極大似然估計

圖1 光斑質(zhì)心定位

圖2 光斑圖像的灰度特征

(2)

式中,(μ1,ν1)為質(zhì)心坐標(biāo)；σ為二維高斯函數(shù)的均方差；A為固定系數(shù),可認(rèn)為等于光斑質(zhì)心亮度值。

考慮到光斑的x方向和y方向分別呈現(xiàn)不同的的σ值[10],則式(2)可轉(zhuǎn)化為:

(3)

兩邊取對數(shù)得:

(4)

可將式(4)看作x和y的二次函數(shù):

lnf(xi,yi)=t0x2+t1y2+t2x+t3y+t4

(5)

展開可獲得5個參數(shù):

(6)

求解5個參數(shù)是提取質(zhì)心坐標(biāo)的關(guān)鍵。因此,選取至少5個像素參與計算(本文選取6個像素點),令:

(7)

則可得Y=AB,對此方程求最小二乘解得到B=(ATA)-1ATY,即:

(8)

可得此高斯曲面擬合的質(zhì)心坐標(biāo)為(μ1,ν1),依次求取其他五個高斯曲面擬合的質(zhì)心,以x方向為例,以這六個質(zhì)心點作為最優(yōu)點去擬合最優(yōu)的高斯曲面:

(9)

多元正太分布的密度函數(shù)可表示為:

(10)

在各維度相互獨立的情況下,多元正態(tài)分布的概率密度其實就是各個維度的正態(tài)分布密度函數(shù)的乘積。

3 仿真實驗

3.1 三種方法的標(biāo)準(zhǔn)差比較

由于光斑圖像真實的質(zhì)心位置無法求得,所以不能使用各種質(zhì)心提取法求得的質(zhì)心坐標(biāo)比較各自的精度。任何方法的質(zhì)心提取坐標(biāo)值都會產(chǎn)生誤差,且在不同幀的光斑圖像中誤差會隨機產(chǎn)生,對同一光斑圖像來說,在多幀圖像中提取的質(zhì)心坐標(biāo)隨誤差的增大會越加分散,以至于產(chǎn)生更大的誤差。因此選取40幀圖像,用同種方法提取質(zhì)心,求得標(biāo)準(zhǔn)差d去比較各個方法的優(yōu)劣,如式(11),標(biāo)準(zhǔn)差越小則精度越高。

(11)

灰度質(zhì)心法可以看成是以灰度為權(quán)值的加權(quán)方法,要獲得較為精確的質(zhì)心坐標(biāo),光斑圖像的灰度特征需在各個方向上對稱,事實上,由于飛秒激光燒蝕光斑圖像有一定的拖尾現(xiàn)象,因此使用該算法產(chǎn)生誤差較大:d1=6.2712；

光斑圖像的灰度分布近似于高斯曲面分布,用高斯曲面擬合法進行質(zhì)心定位,可以較好的降低噪聲對計算結(jié)果的影響,有較高的定位精度及穩(wěn)定性[11-12],常用此方法求取質(zhì)心,但由于受到噪聲的影響[13],光斑的灰度峰值可能發(fā)生偏差,提取誤差較大:d2=4.7115；

多元正態(tài)分布的極大似然法估計質(zhì)心,在灰度質(zhì)心法的基礎(chǔ)上從多個方向擬合高斯曲面,在計算量和精度方面都得到了很大的改善,其標(biāo)準(zhǔn)差為:d3=2.1524；

三種方法的標(biāo)準(zhǔn)差如圖3所示。

圖3 三種方法的標(biāo)準(zhǔn)差

3.2 質(zhì)心坐標(biāo)分析

由多元正太分布的極大似然法估計出40個光斑圖像的質(zhì)心,質(zhì)心坐標(biāo)的分析如圖4和圖5所示,分別畫出標(biāo)準(zhǔn)差同質(zhì)心行坐標(biāo)和列坐標(biāo)的關(guān)系。圖4中,橫坐標(biāo)為40個圖像的質(zhì)心行坐標(biāo),縱坐標(biāo)為每個行坐標(biāo)所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。圖5中,橫坐標(biāo)為40個質(zhì)心列坐標(biāo),縱坐標(biāo)為每個列坐標(biāo)所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。各自都呈現(xiàn)出V形,標(biāo)準(zhǔn)差隨著坐標(biāo)增大慢慢減小,到達一個節(jié)點之后隨坐標(biāo)增大而增大。

圖4 行坐標(biāo)與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系

圖5 列坐標(biāo)與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系

用40個質(zhì)心行坐標(biāo)和40個列坐標(biāo)減去其平均值求取殘差,分別觀察殘差隨行坐標(biāo)和列坐標(biāo)的變化,如圖6和圖7,殘差和對應(yīng)的坐標(biāo)值呈線性關(guān)系。

計算40個質(zhì)心坐標(biāo)的概率密度估計,繪制出概率密度曲線,如圖8,橫坐標(biāo)為40個質(zhì)心行坐標(biāo),縱坐標(biāo)為行坐標(biāo)所對應(yīng)的的概率密度估計值。圖9中,橫坐標(biāo)為40個質(zhì)心列坐標(biāo),縱坐標(biāo)為列坐標(biāo)所對應(yīng)的的概率密度估計值。兩個函數(shù)都近似服從正態(tài)分布。

圖6 殘差隨行坐標(biāo)的變化情況

圖7 殘差隨列坐標(biāo)的變化情況

圖8 行坐標(biāo)的概率密度估計

圖9 列坐標(biāo)的概率密度估計

4 結(jié) 論

鑒于灰度質(zhì)心法簡單明了,計算速度快,但抗干擾能力差,高斯曲面擬合法有較高的定位精度,同時具有較高的穩(wěn)定性,但是計算量大,又由于受到噪聲的影響,灰度峰值可能發(fā)生偏差,引入了多元正態(tài)分布的極大似然估計法。比較于傳統(tǒng)的質(zhì)心定位方法,多元正態(tài)分布的極大似然估計法在灰度質(zhì)心法的基礎(chǔ)上估計質(zhì)心,通過在多個方向擬合高斯曲面,克服了計算量大以及灰度峰值有偏差的難題,能夠擬合出最優(yōu)的高斯曲面來求取質(zhì)心。其標(biāo)準(zhǔn)差相較于高斯曲面擬合法的標(biāo)準(zhǔn)差來說減小了2.5591,在精度方面得到很大的改善,同時又分析了序列光斑圖像的質(zhì)心坐標(biāo)分布的規(guī)律,為后續(xù)實現(xiàn)基于光斑圖像的飛秒激光微加工控制提供研究基礎(chǔ)。