孫曉鵬，劉 璐

(遼寧師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116081)

0 引 言

為解決采用基于幾何的方法模擬薄殼變形時(shí)真實(shí)感較差、變形易失真等問題，基于物理的方法被提出并成為研究薄殼變形問題的熱點(diǎn)方法。利用幾何方法模擬薄殼變形忽略了其變形過程中的物理特性，而基于物理的方法則考慮了物理特性，使得模擬結(jié)果更加真實(shí)自然。本文即采用基于物理的方法，結(jié)合基于樣例與基于物理的離散變形能量模擬薄殼變形。首先，為初始模型構(gòu)造一個(gè)樣例模型，本文采用拉普拉斯網(wǎng)格編輯方法確定樣例模型；然后，構(gòu)造衡量模型變形的基于物理的離散變形能量模型并計(jì)算從初始模型變形至樣例模型所需要的能量，此能量由模型的邊長(zhǎng)、面積、鉸鏈角、體積的變化產(chǎn)生；最后，對(duì)離散變形能量進(jìn)行插值并驅(qū)動(dòng)模型變形。采用基于樣例的變形方法直接獲得變形后的結(jié)果，有效控制了模型的變形趨勢(shì)，再通過基于物理的能量驅(qū)動(dòng)變形可以使得變形結(jié)果更真實(shí)，從而獲得連續(xù)、自然的變形序列。

1 相關(guān)工作

Song等[1]提出基于樣例的快速共旋有限元框架驅(qū)動(dòng)模型變形。該方法引入帶共旋成分的線性柯西應(yīng)變構(gòu)建樣例空間，避免了處理復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題。Von Tycowicz等[2]提出一種實(shí)時(shí)非線性形狀插值方法模擬變形。該方法為高維形狀空間定義一個(gè)低維子空間，并在低維子空間中進(jìn)行形狀插值。然而，該方法無法控制逼近誤差。Zhu等[3]提出將模型的幾何空間投影到由Laplace-Beltrami特征函數(shù)擴(kuò)展得來的公共形狀空間，公共形狀空間的形狀具有幾何不變性和拓?fù)錈o關(guān)性，然而，這一方法依賴于輸入形狀的特征函數(shù)。Zhao等[4]定義了一個(gè)拉伸-彎曲能量模型描述薄殼在變形過程中產(chǎn)生的拉伸能量和彎曲能量，該拉伸能量能抵消高斯曲率的變化，但變形結(jié)果并不平滑自然。Brandt等[5]提出處理非剛體運(yùn)動(dòng)的方法：用形狀空間中的離散幾何流獲得曲線信息表示模型的變形軌跡，用局部鄰域的加權(quán)平均形狀替換每一幀形狀。Von Radziewsky等[6]構(gòu)造了一個(gè)子空間可以最優(yōu)逼近形狀插值問題中的變形流形。然而，這一優(yōu)化方法加大了計(jì)算成本。Huber等[7]提出在薄殼的黎曼流形表面建立插值樣條從而度量彎曲和膜能的變化，這種方法對(duì)測(cè)地線插值時(shí)需要將變分時(shí)間離散化。Gao等[8]提出在形狀混合時(shí)用一種稀疏方法自動(dòng)選擇數(shù)量較少的變形模式描述期望的變形，并用變形梯度的極分解解決全局大旋轉(zhuǎn)變形的模糊性問題，將大旋轉(zhuǎn)變形視作盡可能連續(xù)的優(yōu)化問題進(jìn)行處理。Zhu等[9]提出一種扭曲變形優(yōu)化算法，即blended cured quasi-Newton(BCQN)方法。該方法給定初始模型和樣例并用BCQN方法求解最小變形能量完成變形，該方法主要用于優(yōu)化非凸連續(xù)變形能。

2 樣例模型

本文處理的薄殼模型均由三角網(wǎng)格構(gòu)成，包含薄殼的幾何信息和拓?fù)潢P(guān)系信息。設(shè)三角網(wǎng)格模型由m個(gè)頂點(diǎn)、n條邊、t個(gè)面片構(gòu)成，頂點(diǎn)位置集合X={x1,…,xm}描述薄殼幾何信息；頂點(diǎn)集合V={v1,…,vm}，邊集合E={e1,…,en},ei∈V×V和面片集合F={f1,…,ft},fi∈V×V×V，共同描述薄殼的拓?fù)潢P(guān)系信息。

圖1 Laplace坐標(biāo)

Δ(·)是一種線性操作，故可用一個(gè)m×m的矩陣L重新定義網(wǎng)格Laplace坐標(biāo)δ與網(wǎng)格空間坐標(biāo)x的關(guān)系。m×m的矩陣L定義如下

(1)

網(wǎng)格Laplace坐標(biāo)δ與網(wǎng)格空間坐標(biāo)x即可表示為δ=Lx。Laplace坐標(biāo)用于描述網(wǎng)格局部細(xì)節(jié)特征，在網(wǎng)格變形前后的局部坐標(biāo)系內(nèi)不發(fā)生變化，故可根據(jù)網(wǎng)格變形后的Laplace坐標(biāo)δ′i和受約束的錨點(diǎn)ui，通過求解稀疏線性方程組獲得網(wǎng)格變形后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即需最小化能量公式

(2)

表1 6組初始模型和樣例模型

3 能量模型

薄殼發(fā)生變形時(shí)，模型的拉伸、錯(cuò)切、彎曲等變化會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的能量。本文定義離散的變形能量描述薄殼的變形，該能量模型包括膜能、彎曲能和體積能。

3.1 膜 能

膜能是模型的彈性表面發(fā)生切變(長(zhǎng)度上而非面積上的局部改變)和抵抗彈性表面的拉伸(面積上的局部改變)時(shí)所產(chǎn)生的能量。因而膜能WM由三角網(wǎng)格邊長(zhǎng)變化所產(chǎn)生的能量和面積變化所產(chǎn)生的能量共同作用而得，公式如下[12]

(3)

(4)

3.2 彎曲能

(5)

圖2 鉸鏈模型

3.3 體積能

本文定義一個(gè)衡量模型體積變化的能量WD。首先確定模型的質(zhì)心，將模型中每個(gè)三角形面片與質(zhì)心相連，構(gòu)建四面體。模型體積變化所產(chǎn)生的能量即為模型中所有四面體體積變化產(chǎn)生的能量之和，公式為

(6)

表2 6組模型總能量

4 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

圖3 頂點(diǎn)、邊、面、體積關(guān)系

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Intel(R) Core(TM) @ 3.60 GHz，內(nèi)存為16.00 G RAM，操作系統(tǒng)為64位Microsoft Windows 7旗艦版 SP1，本文中算法基于Matlab 2016予以實(shí)現(xiàn)。

5.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于本文的方法處理模型得到變形結(jié)果見表3，每組模型從左至右依次表示初始模型、能量插值權(quán)重為0.25、0.5、0.75時(shí)得到的變形結(jié)果、樣例模型。通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，本文算法得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果真實(shí)、自然，對(duì)于開放模型和封閉模型均適用。圖4展示了能量插值權(quán)重分別為0、0.5、1、1.5、2、2.5時(shí)模型的變形結(jié)果。圖5為能量插值權(quán)重為0.75時(shí)，armadillo、whale和cactus模型的變形能量分布圖。圖中顏色變化較為劇烈的地方代表該區(qū)域能量變化較大，通過能量圖可以發(fā)現(xiàn)模型變形符合客觀規(guī)律。

表3 6組模型實(shí)驗(yàn)效果

圖4 內(nèi)插與外插效果

圖5 變形能量分布

圖6為6組模型變形所用時(shí)間的折線圖，橫坐標(biāo)表示模型的規(guī)模，從左至右規(guī)模變大，縱坐標(biāo)表示模型變形所用時(shí)間。通過模型的變形時(shí)間折線圖可以發(fā)現(xiàn)，模型的變形時(shí)間與模型的規(guī)模呈正相關(guān)，模型規(guī)模越大越耗時(shí)。圖7表示triangle模型各邊長(zhǎng)、鉸鏈角、三角面片面積變化情況，從3幅折線圖中可以看出，能量插值權(quán)重為0.75時(shí)的邊長(zhǎng)、鉸鏈角、面積變化最劇烈，隨著能量插值權(quán)重降低，變化情況趨向平緩，這是由于當(dāng)能量插值權(quán)重為0.75時(shí)，變形情況最為明顯。triangle模型是開放邊界模型，因而無需衡量體積變化。從折線圖中可以看出模型變形過程中邊長(zhǎng)、鉸鏈角、面積的變化均符合變形規(guī)律，因而得到的變形結(jié)果較為準(zhǔn)確。

圖6 6組模型變形所用時(shí)間

圖7 triangle模型各邊長(zhǎng)、鉸鏈角、三角面片面積變化情況

5.2 網(wǎng)格分辨率

本文模擬了同一模型在不同網(wǎng)格分辨率下的變形，變形效果如圖8所示cat模型在3組網(wǎng)格分辨率下的變形效果，從上至下網(wǎng)格分辨率依次是頂點(diǎn)數(shù)為902、頂點(diǎn)數(shù)為1803、頂點(diǎn)數(shù)為3604。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，本算法在模擬同一模型在不同網(wǎng)格分辨率下的變形時(shí)，均能得到較好的變形結(jié)果，降低模型分辨率對(duì)本算法不會(huì)造成顯著影響，即本算法對(duì)于低分辨率的低質(zhì)量模型同樣適用。

圖8 同一模型不同網(wǎng)格分辨率的變形效果

5.3 相關(guān)工作對(duì)比

本文算法與Hefny等[13]提出的算法進(jìn)行了對(duì)比，變形效果對(duì)比如圖9所示。Hefny等[13]用特殊的歐幾里得群SE(3)(一種李群)對(duì)模型的形狀進(jìn)行編碼，將局部變形分解成平移分量和旋轉(zhuǎn)分量，然而簡(jiǎn)單利用幾何方法將變形行為進(jìn)行分解易產(chǎn)生如圖9(a)所示的變形結(jié)果。圖9(a)為Tycowicz等[14]實(shí)現(xiàn)的Hefny等[13]算法的變形結(jié)果：在模擬模型變形過程中，模型的手臂處變形發(fā)生無規(guī)則錯(cuò)亂。不同于Hefny等[13]用基于幾何的平移分量和旋轉(zhuǎn)分量衡量模型變形，本文采用由膜能、彎曲能、體積能構(gòu)成的基于物理的離散變形能量衡量模型變形。圖9(b)所示即為采用本文方法的變形效果，模型手臂變形結(jié)果連續(xù)、自然、無錯(cuò)亂，圖9(c)為采用本文方法模擬其它模型變形的變形效果，變形結(jié)果均連續(xù)自然、無錯(cuò)亂。

圖9 不同算法變形效果對(duì)比

6 結(jié)束語

本文結(jié)合基于樣例的方法與基于物理的能量模擬薄殼變形。首先采用拉普拉斯網(wǎng)格編輯方法確定樣例模型，然后計(jì)算模型變形所需的膜能、彎曲能、體積能，最后對(duì)變形能量進(jìn)行插值并驅(qū)動(dòng)模型變形。本文方法在多個(gè)模型上進(jìn)行模擬，效果均理想，具有較好的普適性。與其它相關(guān)工作對(duì)比，本文方法較為理想，具有較強(qiáng)的真實(shí)感。下一步工作希望采用Peng等[15]的加速算法對(duì)本文算法進(jìn)行加速，減少模擬時(shí)間。同時(shí)希望進(jìn)一步完善彎曲能，本文彎曲能是基于鉸鏈模型計(jì)算的，即用共邊的兩個(gè)三角面片鉸鏈角的變化衡量彎曲能，希望后續(xù)工作可以擴(kuò)充彎曲能，加入平面內(nèi)角度變化對(duì)彎曲能的影響。