李雙妃, 王治國(guó), 曹 毅

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710119)

1 引言

經(jīng)典的恒化器模型通常假設(shè)營(yíng)養(yǎng)吸收率與微生物的增長(zhǎng)率成正比，因此被稱(chēng)為常數(shù)產(chǎn)出模型.然而，Ketchum[1]在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在外部的營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)耗盡后，藻類(lèi)種群仍舊可以存活數(shù)周.這意味著，要恰當(dāng)?shù)孛枋錾锏纳L(zhǎng)，應(yīng)當(dāng)將內(nèi)部營(yíng)養(yǎng)水平視為變量.因此，Droop[2,3]提出了帶有內(nèi)部存儲(chǔ)的浮游植物生長(zhǎng)模型.考慮到空間擴(kuò)散的作用，Hsu 等[4,5]研究了一類(lèi)帶有內(nèi)部存儲(chǔ)的單資源非均勻恒化器模型.結(jié)果表明，存在臨界的擴(kuò)散系數(shù)，當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)小于臨界擴(kuò)散系數(shù)時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)排斥或共存的現(xiàn)象；反之，兩物種均將死亡.Hsu 等[6]考慮了一類(lèi)帶有內(nèi)部存儲(chǔ)的消耗無(wú)機(jī)碳的雙資源非均勻恒化器模型，證明了物種存活時(shí)，正平衡解的唯一性及全局吸引性.

在生態(tài)學(xué)中，抑制劑可以降低某些有害生物的生長(zhǎng)率，從而對(duì)環(huán)境治理具有重要作用.早在1986 年，Lenski 和Hattingh[7]提出了一類(lèi)具有抑制劑的均勻恒化器模型.Hsu 和Waltman[8]研究了該模型解的一致持續(xù)性.Nie 和Wu[9]引入擴(kuò)散，建立了具有擴(kuò)散的非均勻恒化器模型，研究了系統(tǒng)的漸近動(dòng)力學(xué)行為以及模型共存解的全局結(jié)構(gòu)和局部穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步研究了該模型正平衡解的唯一性和穩(wěn)定性.然而，這些模型均忽略了物種對(duì)于營(yíng)養(yǎng)的吸收存儲(chǔ)過(guò)程.

基于以上研究結(jié)果，本文研究一類(lèi)具有內(nèi)部存儲(chǔ)和外部抑制劑的恒化器模型.在t 時(shí)刻，假設(shè)營(yíng)養(yǎng)物的濃度為S(t)；種群密度為u(t), v(t)；物種i 每個(gè)細(xì)胞所平均存儲(chǔ)的營(yíng)養(yǎng)為Qi(t)，其中i = 1,2 分別指代u 和v；抑制劑濃度為p(t).這里假設(shè)v 為受抑制劑影響的物種，u 為吸收抑制劑的物種.考慮如下均勻恒化器模型

其中S(0)> 0 為營(yíng)養(yǎng)物的輸入濃度，p(0)> 0 為抑制劑的輸入濃度，兩者均為常數(shù)；D 為稀釋率；μi(Qi)為物種i 的生長(zhǎng)率；fi(S,Qi)為物種i 的營(yíng)養(yǎng)吸收率；Qmin,i為物種i 的臨界細(xì)胞份額，即當(dāng)細(xì)胞所存儲(chǔ)的營(yíng)養(yǎng)低于該值時(shí)，物種將停止生長(zhǎng)；α 為物種u 對(duì)抑制劑p 的吸收率；h(p) = p/(h1+p)，其中h1為半飽和常數(shù)；函數(shù)e?μp為抑制劑p 對(duì)物種v 的抑制程度，其中μ>0 為常數(shù).

文獻(xiàn)[3,11]中生長(zhǎng)率μi(Qi)和吸收率fi(S,Qi)采取如下形式

其中

參考以上例子，對(duì)函數(shù)μi(Qi)和fi(S,Qi)作如下假設(shè)：

μi(Qmin,i)=0;

(H2):

(ii) 當(dāng)S ≥0, Qi≥Qmin,i時(shí)，

fi(S,Qi)≥0 幾乎處處成立；

(iii) 存在QBi∈(Qmin,i,+∞]，對(duì)任意的(S,Qi) ∈{(S,Qi) ∈R+×[Qmin,i,+∞) :S >0, Qi∈[Qmin,i,QBi)}，有

且當(dāng)S = 0 或者Qi≥QBi時(shí)，fi(S,Qi) = 0.當(dāng)QBi= +∞時(shí)，fi(S,Qi) = 0 當(dāng)且僅當(dāng)S =0.

令U = Q1u, V = Q2v 分別表示物種u, v 在t 時(shí)刻體內(nèi)所存儲(chǔ)的營(yíng)養(yǎng).同時(shí)引入擴(kuò)散，則系統(tǒng)(1)可化為

邊界條件和初始條件為

其中初始值函數(shù)u0(x), U0(x), v0(x), V0(x)滿足

本文主要研究系統(tǒng)(2)–(3)正平衡解的存在性，故考慮相應(yīng)的平衡態(tài)方程.令為節(jié)省記號(hào)，仍用原記號(hào)表示相應(yīng)的無(wú)量綱化參數(shù).因此，系統(tǒng)(2)–(3)可簡(jiǎn)化為

邊界條件為

邊界條件為

本文主要研究系統(tǒng)(6)–(7)正解的存在性，故對(duì)函數(shù)μi(Qi), fi(S,Qi)以及h(p)作如下延拓

本文首先給出一些基本結(jié)果以及系統(tǒng)非負(fù)解的先驗(yàn)估計(jì)，再利用Amann 的拓?fù)洳粍?dòng)點(diǎn)指標(biāo)理論計(jì)算算子在所有平凡和半平凡不動(dòng)點(diǎn)鄰域內(nèi)的指標(biāo)，進(jìn)而證明系統(tǒng)正平衡解的存在性.最后，需要指出的是在利用拓?fù)涠壤碚撗芯肯到y(tǒng)正平衡解的存在性時(shí)，通常在系統(tǒng)各分量均非負(fù)的錐上使用拓?fù)涠鹊牟粍?dòng)點(diǎn)理論，如文獻(xiàn)[12,13]，但這樣的錐對(duì)本文模型并不適用，本文將在更小的錐上使用不動(dòng)點(diǎn)理論.

2 預(yù)備知識(shí)

首先考慮如下的非線性特征值問(wèn)題

注：對(duì)于另一個(gè)單物種的平衡態(tài)問(wèn)題

引理2[9]邊值問(wèn)題

有唯一正解，記為p?，且滿足0

(i) u>0, v >0, U >0, V >0, 0

(ii) U +V

(iii) U >uQmin,1, V >vQmin,2;

由文獻(xiàn)[6]得

其中

3 正解的存在性

本節(jié)運(yùn)用拓?fù)涠壤碚撗芯肯到y(tǒng)(6)–(7)正解的存在性.令q = z(x) ?p，則p =z(x)?q.因此，系統(tǒng)(6)–(7)等價(jià)于

邊界條件為

引入以下空間

CB[0,1]={u ∈C[0,1]:ux(0)=ux(1)+γu(1)=0}, X =(C[0,1])5,

W3={q ∈C[0,1]:q ≥0}, W =W1×W2×W3,

E ={(u,U,v,V,q)∈W :∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥≤R0, x ∈[0,1]},

∥·∥為最大模范數(shù).

定義F :E →X 如下

其中ξ1, ?1分別由(13),(14)給出

引理4對(duì)任意的λ ≥1, F(u,U,v,V,q) = λ(u,U,v,V,q)在W 中沒(méi)有解滿足∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥=R0.

證明 假設(shè)(u,U,v,V,q)∈W 滿足F(u,U,v,V,q)=λ(u,U,v,V,q)，且∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥=R0，則有

故F(u,U,v,V,q)=λ(u,U,v,V,q)在W 中沒(méi)有解滿足

∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥=R0.

證明 由引理4 以及文獻(xiàn)[16]的引理12.1 可證得.

Pδ(E0)={(u,U,v,V,q)∈W :∥u∥+∥U∥+∥v∥+∥V ∥+∥q∥≤δ}.

證明 對(duì)任意給定的充分小的?0，取0<δ <δ0?1，使得

記

因此，當(dāng)(u,U,v,V,q) ∈Hδ+時(shí)，有∥u∥≤δz, ∥U∥≤δz, ∥v∥≤δz, ∥V ∥≤δz, ∥q∥≤δz.令ξ =2+γ ?γx2，則ξ >0, ?x ∈[0,1]，且滿足ξxx<0, ξx(0)=ξx(1)+γξ(1)=0.易知(ξ,Qmin,1ξ,ξ,Qmin,2ξ,ξ)∈W.下面證明對(duì)任意的λ ≥0，方程

(u,U,v,V,q)?F(u,U,v,V,q)=λ(ξ,Qmin,1ξ,ξ,Qmin,2ξ,ξ)

為了證明系統(tǒng)正解的存在性，引入如下兩個(gè)非線性特征值問(wèn)題

證明 (i)和(ii)的證明完全類(lèi)似，這里僅給出(i)的證明.定義

則方程F(t)(u,U,v,V,q)=(u,U,v,V,q)滿足

以及邊界條件(16).若(u,U,v,V,q)是F(t)在?O+(E1)上的不動(dòng)點(diǎn)，則u > 0, U >0, v ≥0, V ≥0, q > 0.由最大值原理必有v > 0, V > 0，否則(u,U,v,V,q) = E1，與(u,U,v,V,q)∈?O+(E1)矛盾，即u>0, U >0, v >0, V >0, q >0.

首先證明對(duì)任意的t ∈[0,1], F(t)在?O+(E1)上無(wú)不動(dòng)點(diǎn).假設(shè)(u,U,v,V,q) ∈?O+(E1)是F(t)的不動(dòng)點(diǎn)，則u > 0, U > 0, v > 0, V > 0, q > 0.當(dāng)t =0 時(shí)，F(xiàn)(0)(u,U,v,V,q)=(u,U,v,V,q)滿足

則q =q?=z(x)?p?.于是(v,V)滿足

index(F,O+(E1),W)=index(F(1),O+(E1),W)=index(F(0),O+(E1),W).

下面計(jì)算index(F(0),O+(E1),W).顯然，E1是F(0)在O+(E1)上唯一的不動(dòng)點(diǎn)，因此index(F(0),O+(E1),W)=index(F(0),E1,W).對(duì)于τ ∈[0,1]，定義

則T(τ)(u,U,v,V,q)=(u,U,v,V,q), τ ∈[0,1]具有邊界條件(16)，且滿足

因此，由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃院筒粍?dòng)點(diǎn)的乘積定理[17]得

index(F(0),E1,W)=index(T(0),E1,W)=index(T(1),E1,W)

=index(T1,(u?,U?),W1)·index(T2,(0,0),W2)·index(T3,q?,W3).

現(xiàn)證index(T1,(u?,U?),W1)=1.令

對(duì)任意的λ ≥1, T1(u,U)=λ(u,U)滿足

且具有和(10)相同的邊界條件.類(lèi)似引理4 可證，U ≤z(x).又

類(lèi)似可證index(T3,q?,W3)=1.

假設(shè)對(duì)任意的λ ≥1，方程T2(v,V)=λ(v,V)在?O+(0,0)上存在解(v,V)，則

且具有和(11)相同的邊界條件.由于λ ≥1，則(v,V)滿足如下微分不等式

因此(v,V)是如下拋物型問(wèn)題的下解

另一方面，由于(v,V)∈?O+(0,0)，故存在a1>0，使得

且具有和(11)相同的邊界條件.易證(v,V)是(21)的上解.同理，存在a2>0，使得

因此，當(dāng)t →∞時(shí)，(v,V)≥(∞,∞)，故對(duì)任意的λ ≥0，方程T2(v,V)=λ(v,V)在?O+(0,0)上無(wú)解.由[16]的引理12.1 得index(T2,(0,0),W2)=0.

index(F,O+(E1),W)=index(T1,(u?,U?),W1)×index(T2,(0,0),W2)×index(T3,p?,W3)=1×1×1=1.

index(F,O+(E1),W)=1×0×1=0.

由引理5 至引理7，可得

故假設(shè)不成立，即F 在˙E 至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).因此，系統(tǒng)(15)–(16)至少存在一個(gè)正解，即系統(tǒng)(6)–(7)至少存在一個(gè)正解.