基于傅里葉定理的隔熱服溫度分布模型與最優(yōu)厚度的計算

王齊悅

摘要：隨著社會進步，特殊環(huán)境工人的工作條件逐漸引起廣泛關(guān)注，對高溫作業(yè)專用服裝的研究逐年增多。為了更好的研究高溫作業(yè)專用服裝的性質(zhì)，本文首先根據(jù)傅里葉導(dǎo)熱定律建立物理學熱傳導(dǎo)偏微分方程。利用熱阻與熱流平衡的方程求得在進入高溫環(huán)境前隔熱服上溫度的分布。然后在給定部分條件下求解工作服第二層最優(yōu)厚度。最后成功確定了皮膚層的性質(zhì)與參數(shù)，修正了物理模型。

關(guān)鍵詞：傅里葉定理;隔熱服;溫度分布

一、背景

近年來，特殊工人們的工作條件愈來愈受到廣泛關(guān)注，其中高溫環(huán)境工作最為普遍?，F(xiàn)有的高溫作業(yè)防護服通常由三層構(gòu)成，常見高溫作業(yè)服由三層織物材料，在測試工作防護服性質(zhì)時，通過實驗室的高溫環(huán)境來模擬工作時的環(huán)境，建立數(shù)學模型解決人體表面溫度的變化問題。

二、實驗描述

將體內(nèi)溫度控制在37℃的假人放置在實驗室75℃的高溫環(huán)境中，Ⅱ?qū)雍穸葹?mm、Ⅳ層厚度為51mm、工作時間為90分鐘的情形開展實驗，測量得到假人皮膚外側(cè)的溫度。通過建立數(shù)學模型，計算溫度分布。更改環(huán)境溫度為65℃，第四層的厚度為5.5毫米，在確保工作60分鐘時，假人皮膚外側(cè)的溫度不超過47℃，并且超過44℃的時間不超過5分鐘。假設(shè)可以忽略高溫作業(yè)服的形狀以及不同部位差別，將溫度分布轉(zhuǎn)化為一維導(dǎo)熱模型。為保證溫度的連續(xù)變化，假設(shè)傳熱方式全部為熱傳導(dǎo)。由于體內(nèi)為恒溫37℃，不會隨時間變化，假設(shè)皮膚表面與體內(nèi)之間存在一層熱阻層。

三、物理模型

自然界中，傳熱的基本形式只有三種：熱傳導(dǎo)、熱對流和熱輻射。當不同溫度的物體進行相互接觸時進行的傳熱方式為熱傳導(dǎo)。對于一塊厚度為δ，橫截面積為A，導(dǎo)熱率為λ的平板，假設(shè)平板兩側(cè)溫度分別為：a，b，熱量的傳遞公式根據(jù)實驗得到為：

五、求解

由于偏微分方程很難解出，采用有限差分法來獲取其數(shù)值解。用有限個差分來近似表示溫度的微分，即將隔熱服分為許多個小薄層，認為在同一個時間下每層的溫度都是相同的。將原方程中微分利用差分代替，當某一厚度為△x的薄層左右兩邊為同一介質(zhì)時：（T（k）表示第k時刻的第m層的溫度）（見公式3.1）

當某一厚度為△x的薄層左右兩邊為不同材料時（見公式3.2）

λ為第m-1層的熱導(dǎo)率，λ為第m層的熱導(dǎo)率。采用高斯-塞德爾迭代法進行計算。在計算時首先將題中的己知數(shù)據(jù)進行分析，觀察表皮溫度隨時間的變化：（見圖1）

在不到兩千秒時，整個隔熱服已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)。以2000秒為時間終止要求，可以保證在此之前達到穩(wěn)態(tài)，以1000秒為圖形展示范圍，可以更直觀的看出圖形結(jié)果，前2000秒內(nèi)每隔0.1mm、每隔1秒為一個節(jié)點的2000×152個的數(shù)據(jù)，截取不同面內(nèi)的圖像。（見圖2）

最終每一層的溫度不隨時間發(fā)生變化了，且溫度不變化的時刻與皮膚外側(cè)溫度達到穩(wěn)態(tài)的時刻相近。此算法得到的穩(wěn)態(tài)溫度分布，與理論穩(wěn)態(tài)溫度分布進行比較，可以對此訓算結(jié)果進行檢驗。

為了優(yōu)化算法，更快的達到最優(yōu)解，采用二分法對于滿足約束條件的最優(yōu)厚度進行求解?？梢哉J為皮膚層是一層厚度均勻，性質(zhì)均勻的導(dǎo)熱物質(zhì)由熱阻及復(fù)合壁導(dǎo)熱性質(zhì)：

現(xiàn)將皮膚層的各個參數(shù)展示如表2：

隨著厚度的增加，工作服的總重量增加，舒適度會降低，材料消耗增多。所以目標即為最小的總重量，求第二層的最優(yōu)厚度即為在滿足約束條件下的最優(yōu)化問題：

采用二分法來求解滿足一定精度的第二層最優(yōu)厚度。最終解得第二層的厚度為17.4mm時最優(yōu)。此模型運算簡單，具一定推廣價值。但鑒于數(shù)據(jù)不完善，個別參數(shù)可能需要進一步確定。

參考文獻：

[1]戴嘉尊，邱建賢編著.微分方程數(shù)值解法[M].東南大學出版社，2002.

[2]（美）羅森諾（I3ohsenoiv，W.M.）著.傳熱學[M].科學出版社，1987.

[3]梁昆淼編.數(shù)學物理方法[M].高等教育出版社，1998.

[4]楊能彪.一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算[J].青海師范大學學報（自然科學版），2006（04）：24-26.

[5]潘斌.熱防護服裝熱傳遞數(shù)學建模及參數(shù)決定反問題[D].浙江理工大學，2017.