運(yùn)用向量簡證三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式

武增明

摘?要：本文運(yùn)用向量簡證三角形內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)公式，即三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式.

關(guān)鍵詞：向量;三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理;角平分線定義;三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式;簡證

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0032-02

若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，頂點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），內(nèi)心O（x0，y0），則x0=ax1+bx2+cx3a+b+c，y0=ay1+by2+cy3a+b+c .

為了便于廣泛交流，把此結(jié)論稱之為三角形內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)公式，即三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式.

三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式，文字表述簡潔，符號表述漂亮，結(jié)構(gòu)優(yōu)美，十分有趣，讓人賞心悅目，享受到數(shù)學(xué)之美，感受到數(shù)學(xué)的魅力，且有著廣泛的用途.由此引起筆者極大的探究興趣與熱情，筆者查閱了大量的資料，沒有找到三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式的證明記錄.筆者反復(fù)思考，反復(fù)推算，調(diào)整思維，受文[2]的啟示，筆者想到運(yùn)用向量探究三角形內(nèi)心坐標(biāo)公式的簡證，獲得成功，形成此文，與大家分享、共賞.

簡證1?因?yàn)辄c(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，連接AO 并延長交邊BC于點(diǎn)D，連接BO，CO，如圖1.則由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，有AOOD=ABBD=ACCD，所以AOOD=b+ca，于是aOA+（b+c）OD=0?①.

再由BDDC=cb，得bBD=cDC，

所以b（BO+OD）=c（DO+OC），

由此，有OD=bb+cOB+cb+cOC?②.

②代入①，得aOA+bOB+cOC=0?③.

因?yàn)锳（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），O（x0，y0），

所以由③，得a（x1-x0，y1-y0）+b（x2-x0，y2-y0）+c（x3-x0，y3-y0）=0，即（ax1-ax0+bx2-bx0+cx3-cx0，ay1-ay0+by2-by0+cy3-cy0）=0，

所以ax1+bx2+cx3-（a+b+c）x0=0，ay1+by2+cy3-（a+b+c）y0=0，

故x0=ax1+bx2+cx3a+b+c，y0=ay1+by2+cy3a+b+c .

簡證2?連接AO，作OD⊥AC交邊AC于點(diǎn)D，如圖2.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，則OD=r.

因?yàn)锳O平分∠BAC，所以可設(shè)AO=λ（ABAB+ACAC）（λ>0），

所以|AO|=λ|ABAB+ACAC|.

因?yàn)閨ABAB+ACAC|2

=2+2AB·AC|AB||AC|

=2+2cosA

=4cos2A2，

所以|ABAB+ACAC|=2cosA2，

從而|AO|=2λcosA2 .

因?yàn)閟inA2=rAO，所以r=|AO|sinA2 .

又12（a+b+c）r=12bcsinA，

故（a+b+c）|AO|sinA2=2bcsinA2cosA2，

于是（a+b+c）2λcosA2sinA2=2bcsinA2cosA2，從而λ=bca+b+c .

把λ=bca+b+c代入AO=λ（ABAB+ACAC），

化簡，得

AO=bAB+cACa+b+c，

即（a+b+c）AO=bAB+cAC.

因?yàn)锳（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），O（x0，y0），所以（a+b+c）（x0-x1，y0-y1）=b（x2-x1，y2-y1）+c（x3-x1，y3-y1），

故而（a+b+c）（x0-x1）=b（x2-x1）+c（x3-x1），

（a+b+c）（y0-y1）=b（y2-y1）+c（y3-y1），

所以x0=ax1+bx2+cx3a+b+c，y0=ay1+by2+cy3a+b+c .

說明?同理，可得BO=aBA+cBCa+b+c，CO=bCB+aCAa+b+c.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（必修）數(shù)學(xué)4（A版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]祝兵.三角形“四心”向量形式的充要條件[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2013（6）：17-18.

[責(zé)任編輯：李?璟]