郭名璧

0? 引言

拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)使得材料在設(shè)計(jì)域內(nèi)合理分布，可以獲得具有特殊性能的優(yōu)化構(gòu)型，已廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域。材料的宏觀性能往往依賴于其微觀結(jié)構(gòu)，因此利用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)對(duì)微觀結(jié)構(gòu)構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，已經(jīng)成為近年來(lái)研究的熱點(diǎn)[1]。針對(duì)微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，取得了顯著成果。Sigmund[2]等提出了材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)理論，并設(shè)計(jì)出了具有特定性能的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型，極大地促進(jìn)了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)理論的發(fā)展。Vemagant等[3]以材料用量為優(yōu)化目標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單約束拓?fù)鋬?yōu)化，實(shí)現(xiàn)了特定彈性性能的材料設(shè)計(jì)。張衛(wèi)紅等[4]利用基于應(yīng)變能的能量法對(duì)材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性性能進(jìn)行了預(yù)測(cè)。相對(duì)于單材料結(jié)構(gòu)，多相材料微結(jié)構(gòu)可以充分挖掘材料的潛力，發(fā)揮各相材料的優(yōu)勢(shì)性能，已成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究問(wèn)題。Gibiansky等[5]實(shí)現(xiàn)了多相復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，使其具有極端體積模量。Sigmund[6]利用三相材料實(shí)現(xiàn)了具有負(fù)熱膨脹系數(shù)的微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。劉書(shū)田等[7]利用多相復(fù)合材料進(jìn)行了具有零泊松比的微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

基于以上分析，本文以結(jié)構(gòu)等效彈性性能為優(yōu)化目標(biāo)，以材料的體積比為約束條件，結(jié)合能量均勻化方法和序列插值法，建立多相材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法求解該模型，實(shí)現(xiàn)了具有極限彈性性能的多相材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

1? 多相材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

1.1 基于均勻化理論的微結(jié)構(gòu)彈性表達(dá)

周期性復(fù)合材料的等效彈性張量可以表示為[2]：

（1）

式中，為材料彈性張量，為單元應(yīng)變場(chǎng)，為局部變化應(yīng)變場(chǎng)。

基于單元應(yīng)變能，式（1）可以寫(xiě)為[2]：

（2）

在有限元分析中，式（2）可以寫(xiě)為：

（3）

式中，為單元位移場(chǎng)，為單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

由文獻(xiàn)[6]可知，材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性系數(shù)矩陣為：

（4）

1.2 多相材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的建立

為了實(shí)現(xiàn)多相材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，把各相材料的密度按大小排列，并將密度變量在[0，1]上進(jìn)行歸一化處理，此時(shí)密度變量為：

（5）

式中，xmax為所有密度中的最大值，M為材料的相數(shù)。

基于序列插值法的多相材料插值模型可表示為[8]：

（6）

式中，p為懲罰因子，？準(zhǔn)E和φE分別為引入的縮放系數(shù)和轉(zhuǎn)換系數(shù)，可表示為：

（7）

（8）

式中，Ei和Ei+1分別為升序排列的材料相中第i和i+1種材料對(duì)應(yīng)的彈性模量，且。

基于以上分析，多相材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

（9）

式中，xe為設(shè)計(jì)變量，U為整體位移向量，K為整體剛度矩陣，F(xiàn)為外載荷向量，V為材料體積，V0為設(shè)計(jì)域體積，f為材料體積比，xmin為0.001，來(lái)避免求解過(guò)程中矩陣出現(xiàn)奇異。

2? 數(shù)值算例與分析

根據(jù)上述建立的拓?fù)鋬?yōu)化模型，結(jié)合有限元分析，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法即可對(duì)其進(jìn)行求解。選取兩種材料A和B，泊松比均為0.3，材料總的體積比為0.4，設(shè)計(jì)域離散為100×100個(gè)單元，在初始條件下，得到了微結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型，具體結(jié)果如表1所示（表中藍(lán)色表示材料A，紅色表示材料B）。

從優(yōu)化結(jié)果可以得出：實(shí)現(xiàn)了具有極限彈性性能的多相材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，得到的微結(jié)構(gòu)各相材料分布均勻，邊界清晰，多材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型在設(shè)計(jì)域內(nèi)對(duì)稱分布。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為時(shí)，兩種材料呈現(xiàn)沿45°方向布局，以承載外部的剪切載荷，充分發(fā)揮了各相材料的優(yōu)勢(shì)性能，挖掘了其潛力。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為時(shí)，材料呈現(xiàn)沿豎直方向和水平方向均勻布局，最大程度地同時(shí)承載豎直方向和水平方向的載荷，使得結(jié)構(gòu)雙向抗拉模量之和最大，充分考慮了各相材料的性能，使整體性能為最優(yōu)，達(dá)到了具有特定性能的多相材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

3? 結(jié)論

本文基于序列插值法的多相材料插值模型，以材料微結(jié)構(gòu)的等效彈性矩陣的某項(xiàng)或其組合為優(yōu)化目標(biāo)，以材料體積和力學(xué)性能為約束條件，結(jié)合能量均勻化方法，建立了多材料拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，利用優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行求解，得到了相應(yīng)的微結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型，使得各相材料在設(shè)計(jì)域內(nèi)均勻分布，實(shí)現(xiàn)了具有極限彈性性能的多相材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

參考文獻(xiàn)：

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