從現(xiàn)實(shí)走向教學(xué)的初中數(shù)學(xué)建模課程資源
——以“螞蟻莊園中的數(shù)學(xué)”為例

■崔 競(jìng)

數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題。在教學(xué)中，可以根據(jù)特定的研究目的，采用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言刻畫(huà)出所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系，“使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程”。眾所周知，“模型思想”已作為數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展的考查能力之一。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的有效開(kāi)展離不開(kāi)對(duì)各種教學(xué)資源進(jìn)行優(yōu)化組織。下面筆者以“螞蟻莊園中的數(shù)學(xué)”為例，談?wù)勅绾螌F(xiàn)實(shí)形態(tài)的數(shù)學(xué)建模課程資源變成教學(xué)形態(tài)。

一、數(shù)學(xué)建模課程資源的現(xiàn)實(shí)形態(tài)

數(shù)學(xué)建模課程在實(shí)施中離不開(kāi)真實(shí)的問(wèn)題情境，為了能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，問(wèn)題情境應(yīng)來(lái)源于學(xué)生身邊，具有一定的趣味性，涉及的問(wèn)題在初中生最近發(fā)展區(qū)。

螞蟻莊園是支付寶開(kāi)發(fā)的網(wǎng)上公益活動(dòng)，網(wǎng)友使用支付寶付款能領(lǐng)取雞飼料，喂雞后獲得的雞蛋能進(jìn)行愛(ài)心捐贈(zèng)。

利用螞蟻莊園進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的可行性分析：游戲界面上數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)變化，可以讓學(xué)生感受到計(jì)算機(jī)編程在信息時(shí)代的重要性；作為網(wǎng)上公益活動(dòng)，螞蟻莊園背后的愛(ài)心捐贈(zèng)可以培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感；手機(jī)畫(huà)面實(shí)時(shí)投屏功能可以讓學(xué)生全程觀看數(shù)據(jù)變化過(guò)程，讓實(shí)驗(yàn)過(guò)程更加具有真實(shí)性；在螞蟻莊園中涉及許多知識(shí)，比如游戲界面的藝術(shù)設(shè)計(jì)、雞寶寶的服裝設(shè)計(jì)、莊園小課堂中的中華傳統(tǒng)文化等。

螞蟻莊園游戲中能直接提煉的數(shù)據(jù)就有許多，例如：1.點(diǎn)擊一次投喂，消耗180g 飼料，小雞沒(méi)有吃完的情況下無(wú)法進(jìn)行下次投喂；2.小雞吃500g 飼料就會(huì)產(chǎn)下1 顆愛(ài)心雞蛋；3.飼料不被偷吃的情況下，每3 次喂養(yǎng)就可以產(chǎn)下1 顆愛(ài)心雞蛋；4.每滿5 顆雞蛋就可以捐贈(zèng)，且捐贈(zèng)的最小單位為5 顆，每捐贈(zèng)5 顆雞蛋獲得1 點(diǎn)榮耀；5.螞蟻莊園飼料盒存儲(chǔ)量每獲得5 點(diǎn)榮耀值可多存儲(chǔ)180g 飼料；6.屏幕會(huì)實(shí)時(shí)顯示剩余飼料吃完需要的時(shí)間以及外來(lái)小雞已經(jīng)進(jìn)食的量。

在螞蟻莊園游戲攻略中，我們還能獲得以下信息：

1.1 袋180g 的飼料，自家小雞需要5h 吃完，進(jìn)食速度為36g/h。2.外來(lái)小雞來(lái)莊園蹭食時(shí)，自家小雞進(jìn)食速度不變，外來(lái)小雞進(jìn)食速度為18g/h。3.最多可以同時(shí)有兩只外來(lái)小雞一起進(jìn)食。4.加速卡功能：每次用1 張加速卡可以縮短自家小雞1個(gè)小時(shí)的進(jìn)食時(shí)間。

二、數(shù)學(xué)建模課程資源的教學(xué)形態(tài)

在現(xiàn)實(shí)形態(tài)的課程資源中，我們可以獲得許多適合的信息，這些信息通過(guò)不同程度的加工，可以變成服務(wù)不同教學(xué)目的的教學(xué)內(nèi)容。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，教師在問(wèn)題情境中引導(dǎo)學(xué)生探索得到的信息量的多少，決定了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的開(kāi)放程度。

（一）半開(kāi)放式數(shù)學(xué)建模。

案例1.當(dāng)你進(jìn)入這款互動(dòng)游戲，看到圖1場(chǎng)景，而自家糧食充足，此時(shí)多會(huì)救濟(jì)朋友的小雞。當(dāng)自家小雞在剩余進(jìn)食時(shí)間3h 時(shí)邀請(qǐng)了朋友的小雞一起進(jìn)食，那么兩只雞可以一起愉快地進(jìn)食多長(zhǎng)時(shí)間呢？

師問(wèn)：解決這個(gè)問(wèn)題，需要收集哪些數(shù)據(jù)？（給學(xué)生時(shí)間思考，討論。）

討論結(jié)束后，學(xué)生根據(jù)外來(lái)小雞進(jìn)食速度為自家小雞一半以及“剩余飼料總量=進(jìn)食速度×剩余進(jìn)食時(shí)間”的模型，建立方程模型：3×36=（36+18）x，通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行求解，可知共同進(jìn)食2h。點(diǎn)擊救濟(jì)卡后，屏幕顯示與計(jì)算結(jié)果一致，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒂行А?/p>

評(píng)價(jià)：在半開(kāi)放的數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，手機(jī)、多媒體設(shè)備、螞蟻莊園游戲成為學(xué)生看得見(jiàn)的課程資源，情境新穎、有趣，能培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、獲取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的能力。建模結(jié)果的反饋，增加了學(xué)生解決生活實(shí)際問(wèn)題的信心，讓學(xué)生更加真切地感受到數(shù)學(xué)知識(shí)是有用的。

（二）開(kāi)放式數(shù)學(xué)建模。

案例2.打開(kāi)螞蟻莊園界面顯示外來(lái)小雞吃16g、剩余進(jìn)食時(shí)間1小時(shí)57分，此時(shí)把外來(lái)小雞趕走，顯示剩余進(jìn)食時(shí)間3h。請(qǐng)通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析：外來(lái)小雞進(jìn)園前后，屏幕顯示剩余時(shí)間之間的關(guān)系。

在開(kāi)放式數(shù)學(xué)建模背景下，學(xué)生需要思考：

1.前后剩余時(shí)間存在關(guān)系嗎？

2.在什么條件下它們之間會(huì)存在關(guān)系？

3.需要哪些信息，可以建立它們之間的關(guān)系？

4.如何通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式獲得相關(guān)信息？

5.獲取信息后如何建立兩者之間的模型？

6.你能用數(shù)學(xué)的方式檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)果嗎？

在師生共同討論、總結(jié)的情況下，完成如下的數(shù)學(xué)建模過(guò)程：

1.問(wèn)題分析，提出基本假設(shè)。

生活常識(shí)告訴我們，作為一款游戲，為了公平和程序的可操作性，外來(lái)小雞到來(lái)前后的剩余時(shí)間不應(yīng)該是隨機(jī)的。根據(jù)“進(jìn)食時(shí)間＝飼料總量÷進(jìn)食速度”的模型，通過(guò)飼料總量建立外來(lái)小雞到來(lái)前后剩余時(shí)間的聯(lián)系。為此，我們提出基本假設(shè)：外來(lái)小雞到來(lái)前后剩余飼料總量保持不變，記為S；自家小雞和外來(lái)小雞的進(jìn)食速度在游戲過(guò)程中保持勻速，分別記為V1，V2；自家小雞進(jìn)食剩余時(shí)間記為t；自家小雞+1 只外來(lái)小雞進(jìn)食剩余時(shí)間記為T(mén)1；自家小雞+2 只外來(lái)小雞進(jìn)食剩余時(shí)間記為T(mén)2。

2.實(shí)驗(yàn)操作，建立數(shù)學(xué)模型。

在基本假設(shè)的條件下，外來(lái)小雞進(jìn)來(lái)前后的剩余進(jìn)食時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系。通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，獲得T1（T2）與t對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)如表：

表1：外來(lái)小雞進(jìn)來(lái)前后剩余進(jìn)食時(shí)間對(duì)應(yīng)表

先將上述數(shù)據(jù)全部轉(zhuǎn)換成以小時(shí)為單位，利用HP 圖形計(jì)算器中的雙變量統(tǒng)計(jì)功能對(duì)變量間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。擬合結(jié)果如下圖所示：

從數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果看，T1、T2與t分別存在一次函數(shù)關(guān)系，即朋友小雞到來(lái)前后進(jìn)食剩余時(shí)間存在一次函數(shù)關(guān)系，但它們之間的函數(shù)表達(dá)式不太簡(jiǎn)潔，這是什么原因呢？教師拋出問(wèn)題讓學(xué)生去思考，幫助他們體會(huì)生活數(shù)學(xué)與理論數(shù)學(xué)的差別。

3.模型分析，進(jìn)行數(shù)學(xué)化證明。

通過(guò)對(duì)前后進(jìn)食剩余時(shí)間的數(shù)據(jù)擬合，初步感受到它們之間的一次函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系建立在自家小雞和外來(lái)小雞進(jìn)食速度保持勻速的假設(shè)基礎(chǔ)上。我們同樣可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式檢驗(yàn)勻速的假設(shè)是否成立。觀察外來(lái)小雞進(jìn)食過(guò)程，記錄如下數(shù)據(jù)：

表2 外來(lái)小雞進(jìn)食量與進(jìn)食剩余時(shí)間對(duì)應(yīng)表

通過(guò)上表數(shù)據(jù)，借助HP 圖形計(jì)算器可以推斷：外來(lái)小雞的進(jìn)食速度約3min/g，若將記錄時(shí)間精確到秒，會(huì)得到更加精確的外來(lái)小雞進(jìn)食速度為0.3g/min。

結(jié)果分析：從外來(lái)小雞進(jìn)食速度的實(shí)驗(yàn)分析上，可以發(fā)現(xiàn)時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系存在一定的滯后性。就外來(lái)小雞進(jìn)食看，時(shí)間變化的最小單位為分鐘，進(jìn)食量的最小單位為g，那么兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系也就存在一定的客觀誤差。這種誤差也就造成在表1 中顯示的進(jìn)食剩余時(shí)間存在近似計(jì)算的可能。

由生活常識(shí)可知，外來(lái)小雞進(jìn)園后，由一只自家小雞吃變成兩只小雞一起吃，前后進(jìn)食速度的變化必然引起前后剩余時(shí)間的變化。反過(guò)來(lái)，我們可以根據(jù)剩余時(shí)間的變化，來(lái)推導(dǎo)出前后進(jìn)食速度的變化，得出自家小雞與外來(lái)小雞的進(jìn)食速度的關(guān)系。根據(jù)前后飼料總量不變建立方程模型，計(jì)算出前后剩余時(shí)間的準(zhǔn)確函數(shù)關(guān)系。

通過(guò)開(kāi)放式數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，學(xué)生擁有解決螞蟻莊園問(wèn)題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。借助這些經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以繼續(xù)對(duì)加速卡的功能進(jìn)行分析，建立小雞成長(zhǎng)的快速進(jìn)階攻略。

三、反思

初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)從貼近學(xué)生身邊的問(wèn)題切入，通過(guò)理論假設(shè)簡(jiǎn)化問(wèn)題背景，活動(dòng)設(shè)置以適合初中生能力水平為準(zhǔn)繩，指向?qū)W生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題能力的提高。教師用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)建模資源，梳理潛在的現(xiàn)實(shí)形態(tài)的課程資源，是數(shù)學(xué)建模課程資源開(kāi)發(fā)的起點(diǎn)。教師對(duì)課程資源的選取標(biāo)準(zhǔn)要適合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，資源的組織形式則由教學(xué)目標(biāo)來(lái)決定。教學(xué)形態(tài)下的資源的呈現(xiàn)方式從半開(kāi)放到開(kāi)放的轉(zhuǎn)變過(guò)程，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)建模就在我們身邊，感受到學(xué)術(shù)化的數(shù)學(xué)如何從生活化的數(shù)學(xué)中抽象出來(lái)，從而提高發(fā)現(xiàn)身邊數(shù)學(xué)的能力。

在開(kāi)放式數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，學(xué)生自行從網(wǎng)絡(luò)或其他社會(huì)途徑中獲取資源。學(xué)生參與資源開(kāi)發(fā)的經(jīng)歷，在無(wú)形中發(fā)展了他們數(shù)據(jù)調(diào)查的能力。教學(xué)形態(tài)下的師生互動(dòng)，充分突出學(xué)生的自主性，發(fā)揮學(xué)生在課程資源建設(shè)中的主導(dǎo)作用。

總之，在將生活中的現(xiàn)實(shí)資源轉(zhuǎn)變成教學(xué)資源后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生自主去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的價(jià)值。在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，學(xué)生不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，用數(shù)學(xué)的眼光看待周圍的世界，懂得從數(shù)學(xué)的角度去思考問(wèn)題，解決問(wèn)題。