馬進(jìn)才 王 建 李 萌

河北省邯鄲市第一中學(xué) (056002)

題目已知函數(shù)f(x)=(x+1)[ln(x+1)+m]+n，曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程為y=2x+1.

(1)求m,n的值和f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意的x∈[0,+∞),f(x)>kx恒成立，求整數(shù)k的最大值.

(2)法一：(分類(lèi)討論)由(1)可知f(x)=(x+1)[ln(x+1)+1]，對(duì)?x∈[0,+∞),f(x)>kx恒成立，即f(x)-kx>0恒成立.令g(x)=f(x)-kx=(x+1)[ln(x+1)+1]-kx，只需g(x)min>0，則g′(x)=ln(x+1)+2-k≥2-k.

①當(dāng)k≤2時(shí)g′(x)≥0恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0,k=2時(shí)取等號(hào))，此時(shí)g(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增，g(x)≥g(0)=1滿(mǎn)足.

②當(dāng)k>2時(shí)，令g′(x)=0,得x=ek-2-1，當(dāng)x∈(0,ek-2-1),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(ek-2-1,+∞),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，故g(x)min=g(ek-2-1)=ek-2(k-1)-k(ek-2-1)=-ek-2+k，易知-ek-2+k為減函數(shù)，當(dāng)k=3時(shí),

-ek-2+k>0；當(dāng)k=4時(shí)-ek-2+k<0，故當(dāng)k=3時(shí)滿(mǎn)足條件.

綜上，整數(shù)k的最大值值為3.

法二：(參變分離+隱零點(diǎn)虛設(shè)根)由題當(dāng)x=0時(shí)滿(mǎn)足條件.

法三：(必要性探路)∵f(x)=(x+1)[ln(x+1)+1]≥kx對(duì)?x∈[0,+∞)恒成立，令x=1,即2(ln2+1)≥k,∵ln2≈0.69,k∈Z,∴k≤3.當(dāng)k=3時(shí)，構(gòu)造g(x)=(x+1)[ln(x+1)+1]-3x，只需證明g(x)min≥0即可，此時(shí)k是最大符合要求的整數(shù).g′(x)=[ln(x+1)+1]+1-3=ln(x+1)-1，令g′(x)=0,∴x=e-1,∴g(x)在(0,e-1)單調(diào)遞減,(e-1,+∞)單調(diào)遞增,∴g(x)min=g(e-1)=3-e>0,∴kmax=3.