丁 聰

(上海勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，上海 200434)

1 概述

我國沿江濱湖地區(qū)已建許多大型低揚(yáng)程泵站。停泵過渡過程的研究是大型軸流泵、泵裝置、泵站重要研究內(nèi)容之一[1-2]。泵站在起動(dòng)、停機(jī)等水力瞬變過程中常出現(xiàn)最不利工況，在運(yùn)行安全可靠性方面出現(xiàn)問題，因此，停泵過渡過程的計(jì)算是校核泵組運(yùn)行安全性的重要內(nèi)容。低揚(yáng)程泵裝置停泵動(dòng)態(tài)特性計(jì)算需分析確定機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)力矩平衡方程、流道的非恒定流方程、閘門水力損失表達(dá)式，并合理的引入水泵的全特性，最終建立停泵過渡過程的數(shù)學(xué)模型[3]。水泵的全特性較為復(fù)雜，為方便計(jì)算，可利用無因次新坐標(biāo)參數(shù)化得到的Suter特性曲線。為有效減少Suter特性曲線擬合取值誤差，可使用較成熟的移動(dòng)最小二乘法進(jìn)行特性曲線的擬合插值[4]。

建立的停泵過渡過程的數(shù)學(xué)模型為微分方程組，因此，停泵過渡過程的仿真求解實(shí)質(zhì)為解微分方程。Matlab中的Simulink采用模塊化思路搭建數(shù)學(xué)模型，可方便進(jìn)行微分方程的求解，并較容易修改模塊參數(shù)。因此，本文擬利用Simulink進(jìn)行低揚(yáng)程水泵裝置停泵過渡過程的仿真計(jì)算。

2 停泵過渡過程數(shù)學(xué)模型建立

2.1 機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)力矩平衡方程

停泵過渡過程中，低揚(yáng)程泵機(jī)組的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩平衡方程為[5]：

(1)

式中GD2為回轉(zhuǎn)部分的飛輪力矩；n為機(jī)組轉(zhuǎn)速；Mz為的阻力矩，包括水泵水力矩、水泵慣性附加力矩、泵組摩擦力矩、風(fēng)阻力矩。

由于泵組摩擦力矩及風(fēng)阻力矩較小，可忽略不計(jì)，僅考慮水泵水力矩、水泵慣性附加力矩。

水泵水力矩為水泵固有特性，詳見2.3節(jié)。水泵慣性附加力矩可使用下式計(jì)算。

(2)

其中θ為泵葉片平面包角；α為泵葉輪輪轂比；βr為根部翼型安放角；βR為外緣翼型安放角。

2.2 水頭平衡方程

低揚(yáng)程水泵裝置停泵時(shí)流道為滿水狀態(tài)。取進(jìn)、出水池兩個(gè)斷面，依據(jù)伯努利方程可得：

(3)

水頭平衡方程可簡寫為[6]：

(4)

式中Hsta為出、進(jìn)水池水位差，Hsta=Z2-Z1。

2.3 水泵水力特性

低揚(yáng)程水泵裝置停泵過程中水泵必然經(jīng)歷水泵工況、泵制動(dòng)工況、水輪機(jī)工況。數(shù)值模擬停泵過渡過程必然要使用水泵的全特性曲線。水泵全特性曲線是以流量為橫坐標(biāo)、揚(yáng)程和轉(zhuǎn)矩為縱坐標(biāo)繪制不同轉(zhuǎn)速下的四象限特性曲線；或以相對速度為橫坐標(biāo)、相對流量為縱坐標(biāo)，以兩簇等相對揚(yáng)程和等相對轉(zhuǎn)矩曲線表示的性能關(guān)系。水泵全特性曲線形式比較復(fù)雜，不便于數(shù)值計(jì)算時(shí)使用。

Suter、Marchal和Flesh[7]根據(jù)泵的相似原理，提出x=π+arctan(v/β)、WH(x)=h/(β2+v2)、WB(x)=m/(β2+v2)新體系，將水泵全特性曲線變換為2條無因次曲線。

(5)

式中h=H/HN，β=n/nN，v=Q/QN，m=M/MN，為水泵揚(yáng)程、轉(zhuǎn)速、流量、轉(zhuǎn)矩?zé)o量綱量。

由于停泵過渡過程中水泵特性連續(xù)變化，因此，為保證模擬精度需使用實(shí)測的連續(xù)的水泵性能曲線。但試驗(yàn)所得的特性曲線也均為離散點(diǎn)，若直接采用離散點(diǎn)插值計(jì)算，會(huì)大大降低模擬精度。移動(dòng)最小二乘法(MLS)是一種基于點(diǎn)的近似方法，具有擬合精度高、通用性強(qiáng)的特點(diǎn)。因此，為較好地使用已知Suter特性曲線，使用移動(dòng)最小二乘法(MLS)對Suter特性曲線進(jìn)行擬合，其基本原理如下[8]。

設(shè)待求函數(shù)u(x)在域Ω內(nèi)個(gè)節(jié)點(diǎn)xI(I=1，2，…N)處數(shù)值已知，即uI=u(xI)。計(jì)算點(diǎn)x的域Ωx內(nèi)函數(shù)u(x)的函數(shù)uh(x)可項(xiàng)式表示為：

(6)

其中p(x)為式基向量，a(x)為向量，m代的項(xiàng)數(shù)。通常選取單項(xiàng)式作為基函數(shù)，此處選擇二次基函數(shù)，即m=3，pT(x)=[1，x，x2]。LS是通過令uh(x)與節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值uI之加權(quán)平方和最小構(gòu)造近似函數(shù)，即使下式取最小值。

(7)

其中n為點(diǎn)x的求解域Ωx內(nèi)含的節(jié)點(diǎn)數(shù)。w(x-xI)為點(diǎn)xI相權(quán)函數(shù)，此處取高斯函數(shù)。令：

W(x)=diag(w1(x)，w2(x)，…，wn(x))，

wi(x)=w(x-xi)，

B(x)=pTW(x)，

由式(7)取最小值解得系數(shù)向量a(x)。

a(x)=A-1(x)B(x)u

(8)

將式(8)代入式(6)中得：

uh(x)=?(x)u

(9)

2.4 閘門關(guān)閉特性數(shù)學(xué)模型[9]

水流經(jīng)過快速閘門屬于淹沒孔口出流，則流量可表示為：

(10)

式中k為閘門相對開度，k=Ak/Az=(t0-t)/t0，t0為全關(guān)需要時(shí)間，Ak為開啟面積；Az為面積；μ為流量系數(shù)，μ=0.6-0.176e。

閘門的水頭損失可表示為：

(11)

式中ζz為局部損失系數(shù)，ζz=1.2(k-2.63-1)。

2.5 停泵過渡過程數(shù)學(xué)模型

結(jié)合式(1)(2)(5)可得機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)力矩平衡綜合方程：

(12)

結(jié)合式(4)(11)可得停泵水頭平衡綜合方程：

(13)

3 停泵過渡過程Simulink模型搭建

Matlab軟件的Simulink提供了各種數(shù)學(xué)模塊，僅需根據(jù)仿真需要將不同模塊組合搭建即可。但Simulink模塊搭建有其自有的規(guī)則。為方便停泵過渡過程數(shù)學(xué)模型的搭建，需將式(12)進(jìn)行變形。

(14)

根據(jù)停泵過渡過程數(shù)學(xué)模型表達(dá)式(13)(14)，搭建停泵過渡過程模型原理圖(見圖1所示)。

圖1 停泵過渡過程模型原理示意

根據(jù)停泵過渡過程模型原理圖在Simulink中進(jìn)行模塊搭建，搭建仿真模塊如圖2所示。

圖2 停泵過渡過程Simulink模塊示意

由于Suter特性曲線以流量、轉(zhuǎn)速的無因次量為橫坐標(biāo)，而計(jì)算中需利用Suter特性曲線求取水泵揚(yáng)程、轉(zhuǎn)矩。因此，可理解為給定流量、轉(zhuǎn)速，求取揚(yáng)程、轉(zhuǎn)矩，如此可利用Simulink模塊中的自定義MATLAB Function進(jìn)行計(jì)算，并可將移動(dòng)最小二乘法(MLS)對Suter特性曲線擬合計(jì)算內(nèi)置其中。

4 停泵過渡過程動(dòng)態(tài)特性

根據(jù)上述資料，計(jì)算得數(shù)學(xué)模型中的各項(xiàng)系數(shù)如下：

圖3 閘門未關(guān)閉停泵過渡過程示意

在正轉(zhuǎn)正流、正轉(zhuǎn)逆流階段，泵的流量、轉(zhuǎn)速下降急劇，2.63 s左右泵開始倒流，轉(zhuǎn)速降至0.423nN；85 s左右泵開始倒轉(zhuǎn)，反轉(zhuǎn)流量為0.769QN；泵組趨于穩(wěn)定時(shí)反轉(zhuǎn)流量為1.552QN，轉(zhuǎn)速為1.426 8nN，轉(zhuǎn)速已超反轉(zhuǎn)1.2倍要求。因此，泵站停泵時(shí)需配備事故閘門，閘門應(yīng)做到快速關(guān)閉。

考慮閘門關(guān)閉，假設(shè)閘門線性關(guān)閉，20 s內(nèi)全部關(guān)閉，仿真計(jì)算的結(jié)果如圖4所示。

圖4 閘門線性關(guān)閉停泵過渡過程示意

由于停泵初期閘門關(guān)閉較小，泵的流量、轉(zhuǎn)速下降急劇。2.63 s左右泵開始倒流，轉(zhuǎn)速降至0.423nN；85 s左右泵開始倒轉(zhuǎn)，反轉(zhuǎn)流量為0.761QN。但隨著閘門孔口的減小，泵組反轉(zhuǎn)流量、反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速下降速度減緩，并開始減小，最終將趨于0流量和0轉(zhuǎn)速。

若計(jì)算閘門不同關(guān)閉規(guī)律下的泵站停泵過渡特性，僅需對gate close模塊進(jìn)行修改。若想更換水泵葉輪，只需將MATLAB Function模塊中的水泵Suter特性曲線進(jìn)行更換。若模擬其他泵站的停泵過渡特性，僅需修改相應(yīng)的水泵物理參數(shù)、流道特性參數(shù)以及泵站基本水位特性。由此可見，僅需簡單修改Simulink模型中的模塊參數(shù)便可完成不同閘門關(guān)閉規(guī)律的停泵特性計(jì)算，以及其他新工程的模擬計(jì)算。

5 結(jié)語

本文分析確定了低揚(yáng)程水泵裝置停泵過渡過程的機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)力矩平衡方程、流道的非恒定流方程、閘門水力損失表達(dá)式，并采用移動(dòng)最小二乘法，較合理地?cái)M合了水泵Suter特性曲線。然后使用Simulink模塊化搭建了泵站停泵過渡過程模型，并模擬了閘門未動(dòng)作和閘門動(dòng)作時(shí)的停泵特性。通過模型搭建及模擬計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，Simulink模塊可方便搭建泵站停泵數(shù)學(xué)模型，并且簡單修改模塊參數(shù)，便可比較方案的合理性和完成新工程的計(jì)算。Simulink可方便地將模擬計(jì)算通用化。