劉佳佳, 朱紅波

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130024)

在多光子-物質(zhì)相互作用的躍遷過(guò)程中, 會(huì)發(fā)生當(dāng)有一個(gè)光子通過(guò)或被物質(zhì)吸收時(shí), 其他光子可能被吸收或反射, 該現(xiàn)象即為光子阻塞效應(yīng). 光子阻塞最早在單原子-單模腔耦合系統(tǒng)中被證實(shí)[1-2]. 本征能量譜中參量的非線性行為是發(fā)生光子阻塞效應(yīng)最重要的前提條件[3], 這種非線性使初始制備低激發(fā)態(tài)間的共振在之后向高能級(jí)躍遷的過(guò)程中移位, 第二個(gè)光子及其后的光子可能遠(yuǎn)離共振作用, 即使可導(dǎo)致能級(jí)間躍遷也是幾率很小的高階效應(yīng), 即第二個(gè)光子及其后光子的吸收被阻塞了. 在一些量子系統(tǒng)中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)光子阻塞, 如真空腔和二能級(jí)系統(tǒng)間的強(qiáng)相互作用引起的非線性可導(dǎo)致光子阻塞[4], 在量子電動(dòng)力學(xué)(QED)和光學(xué)系統(tǒng)中的理論研究結(jié)果較多[5-9].

目前, 對(duì)光子阻塞的研究已從雙光子推廣到多光子阻塞. 當(dāng)腔中有一個(gè)光子時(shí), 在一定的相互作用條件下, 第二和第三個(gè)光子分別通過(guò)雙光子和三光子過(guò)程被吸收. 這種多光子阻塞可產(chǎn)生多光子流及理想糾纏光子源等. 近年來(lái), 人們應(yīng)用不同的物理機(jī)制與模型對(duì)多光子阻塞進(jìn)行了研究[10-12]. 本文選擇外加一個(gè)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的Jaynes-Cummings(J-C)模型, 對(duì)單原子-腔系統(tǒng)在綴飾態(tài)空間進(jìn)行描述, 并分析其動(dòng)力學(xué)躍遷特性. 用主方程方法及Fr?hlich變換, 得到系統(tǒng)的有效Hamilton量, 進(jìn)而求出二階關(guān)聯(lián)函數(shù), 并對(duì)雙光子阻塞過(guò)程及反聚束效應(yīng)進(jìn)行理論分析.

1 單原子-腔QED中的多光子共振

用主方程方法處理單原子-腔QED模型, 其中原子與腔共振頻率為ω0. 經(jīng)典場(chǎng)作用下的J-C模型Hamilton量為

(1)

其中:κ為腔場(chǎng)衰變率；γ為原子衰變率. 令γ=2κ, 則體系基態(tài)為

|G〉=|ψ(0)〉=|0,g〉,

(3)

原子和腔場(chǎng)共振的綴飾態(tài)為

|ψ±(n)〉=2-1/2(|g,n〉±|e,n-1〉),

(4)

對(duì)應(yīng)的能級(jí)(令?=1)為

(5)

從綴飾態(tài)能級(jí)可得多光子共振條件為

(6)

2 雙光子過(guò)程的有效動(dòng)力學(xué)

下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單模型, 對(duì)體系的Hilbert態(tài)空間進(jìn)行有效截?cái)? 即截取|ψ+(1)〉～|ψ-(4)〉6個(gè)綴飾態(tài)能級(jí), 并分析該截?cái)嗖糠值碾p光子躍遷過(guò)程. 在6個(gè)能級(jí)模型中, |ψ-(2)〉和|ψ+(2)〉能級(jí)對(duì)|ψ+(1)〉和|ψ-(3)〉的共振和躍遷過(guò)程影響較大, 其為雙光子躍遷的中間態(tài), 可能會(huì)被絕熱消除. 用主方程方法計(jì)算系統(tǒng)的有效Hamilton量, 并分析高階能級(jí)對(duì)能級(jí)移位的影響.

2個(gè)能級(jí)|ψ+(1)〉和|ψ-(3)〉共振時(shí)滿足

(7)

6個(gè)能級(jí)|ψ+(1)〉～|ψ-(4)〉的表達(dá)式分別為

為求得體系主方程, 需重新定義體系的產(chǎn)生湮滅算符, 用久期近似并絕熱消除中間態(tài), 即可得體系主方程為

其中Λ～Λj為綴飾態(tài)遷移率. 當(dāng)定義腔場(chǎng)和原子的衰減率分別為γ和к時(shí), 計(jì)算求得各遷移率分別為

|ψ+(1)〉和|ψ-(3)〉間的躍遷耦合系數(shù)為

(15)

當(dāng)經(jīng)典光場(chǎng)與某特定綴飾態(tài)發(fā)生共振時(shí), J-C模型的非線性可導(dǎo)致失諧. 考慮高能級(jí)的影響, 可得各綴飾態(tài)的能級(jí)頻率移位分別為

其中:L和U分別表示綴飾態(tài)能級(jí)對(duì)中的較低和較高能級(jí), 如3U指代|ψ+(3)〉； 下角標(biāo)0～9分別表示10個(gè)能級(jí)|ψ(0)〉～|ψ-(5)〉. 從而體系的有效Hamilton量為

3 雙光子過(guò)程的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)

用光學(xué)相干量子理論可解釋獨(dú)立熱光源間的關(guān)聯(lián), 將相干光理論及其描述推廣到含有多原子的相互作用系統(tǒng)中, 對(duì)原子相干性進(jìn)行研究, 可得多個(gè)光源相干性的特征函數(shù)為一階關(guān)聯(lián)函數(shù)或高階關(guān)聯(lián)函數(shù). 如楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中的雙縫可視為2個(gè)光源, 用其電場(chǎng)強(qiáng)度描述干涉條紋可得一階關(guān)聯(lián)函數(shù), 即楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中觀察到的圖像為一階干涉條紋. 由于任意點(diǎn)干涉條紋的強(qiáng)度表達(dá)式為2個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度的乘積, 因此一階關(guān)聯(lián)函數(shù)可描述光場(chǎng)振幅間的關(guān)聯(lián). 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)的表達(dá)式為4個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度的乘積, 即二階關(guān)聯(lián)函數(shù)描述光場(chǎng)強(qiáng)度間的關(guān)聯(lián). 更高階的關(guān)聯(lián)函數(shù)以此類推. 由于相干光或處于相干態(tài)的光場(chǎng)均存在任意關(guān)聯(lián)函數(shù), 因此將其定義為相干態(tài), 即關(guān)聯(lián)函數(shù)是描述光場(chǎng)統(tǒng)計(jì)特性的一種重要方法. 當(dāng)單原子-單模腔場(chǎng)系統(tǒng)受一個(gè)經(jīng)典光場(chǎng)作用時(shí), 經(jīng)典場(chǎng)與系統(tǒng)的某特定綴飾態(tài)共振, 非線性引起的失諧會(huì)導(dǎo)致對(duì)其他光子產(chǎn)生阻塞效應(yīng)[1]. 光子阻塞的一個(gè)明顯結(jié)果是二階關(guān)聯(lián)函數(shù)呈反聚束效應(yīng). 在共振躍遷過(guò)程中, 由于受原子與腔場(chǎng)間的相互作用強(qiáng)度、 經(jīng)典場(chǎng)的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度等因素影響, 因此聚束和反聚束效應(yīng)均可能發(fā)生.

下面用主方程方法求解該六態(tài)模型的光子二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g(2)(τ). 在不同驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度下, 判斷g(2)(0)的大小, 當(dāng)g(2)(0)>1時(shí)為聚束效應(yīng), 當(dāng)g(2)(0)<1時(shí)為反聚束效應(yīng). 在調(diào)制系統(tǒng)各參量的條件下, 當(dāng)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)出現(xiàn)反聚束行為時(shí), 即發(fā)生了光子阻塞.

將主方程(14)展開, 則空腔發(fā)散的光子二階關(guān)聯(lián)函數(shù)為

g(2)(τ)=1+χe-3γ|τ|+αe-2γ|τ|cos(ντ)+e-2γ|τ|[βcos(2Ωτ)+ζsin(2Ω|τ|)],

(25)

其中各系數(shù)分別為

圖1 當(dāng)κ=0.1, γ=2κ, ε=100κ, g=300κ時(shí)的光子二階關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.1 Second-order correlation function of photon at κ=0.1, γ=2κ, ε=100κ, g=300κ

當(dāng)給定不同參數(shù)(外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度、 偶極耦合強(qiáng)度)時(shí), 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g(2)(τ)分別如圖1和圖2所示. 當(dāng)外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度ε=100κ、 偶極耦合強(qiáng)度g=300κ時(shí), 由圖1(A)可見,g(2)(0)<1, 雙光子高階躍遷過(guò)程呈明顯的反聚束效應(yīng), 即發(fā)生了光子阻塞現(xiàn)象. 當(dāng)保持耦合強(qiáng)度不變, 改變外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度, 使ε=40κ時(shí), 由圖2(A)可見,g(2)(0)=2.30>1, 雙光子高階躍遷過(guò)程呈明顯的聚束效應(yīng). 表明聚束和反聚束效應(yīng)在雙光子共振時(shí)均會(huì)發(fā)生, 關(guān)鍵取決于驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的大小. 由圖1(B)和圖2(B)可見, 當(dāng)選取較長(zhǎng)的時(shí)間段后, 在不同驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度下, 兩個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)圖像的振蕩趨勢(shì)基本相同, 在15 s后穩(wěn)定于g(2)(τ)=1處.

圖2 當(dāng)κ=0.1, γ=2κ, ε=40κ, g=300κ時(shí)的光子二階關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.2 Second-order correlation function of photon at κ=0.1, γ=2κ, ε=40κ, g=300κ