（四川大學 電子信息學院，四川 成都 610065）

引言

近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術和數(shù)字通訊技術的快速發(fā)展，信息安全問題越來越得到人們的關注。由于具有容量大、加密速度快、可多路并行傳輸、密匙維度多等固有的優(yōu)勢，光學圖像加密技術迅速成為了一個熱門的研究方向。這一技術最早可被追溯到1995年，Refregier和Javidi 提出的基于雙隨機相位編碼（double random phase code，DRPE）的圖像加密方法[1]。即在4-f系統(tǒng)的空間輸入平面和傅里葉變換域平面放置隨機相位板，對原加密圖像的空間域信息和頻域信息分別置亂，得到一個平穩(wěn)隨機分布的白噪聲密文圖案。隨后，由該方法衍生出的其他光學加密方法逐漸被提出，如菲涅爾域DRPE的圖像加密方法[2-3]、分數(shù)傅里葉域

DRPE的圖像加密方法[4-5]、基于光學聯(lián)合變換器的加密方法[6-7]、基于干涉原理的加密方法[8]等。這些方法豐富和發(fā)展了光學圖像加密技術，但一些制約其進一步實用化的問題依然存在。例如，由于隨機相位板的引入和實驗中其他不可控因素，基于光學系統(tǒng)的解密圖像往往包含有大量的散斑噪聲，這些噪聲嚴重影響了解密后圖像的質(zhì)量。雖然目前提出了許多減弱或者抑制散斑噪聲的方法[9-13]，但效果都不是很理想。

為了解決這一問題，2013年Barrera 等人首次將QR碼（quick response code）作為數(shù)據(jù)容器引入到光學圖像加密系統(tǒng)中[14]。由于QR碼具有較強的糾錯能力，當部分碼字被污染或者發(fā)生錯誤時，依然可以識別出來，使得存儲在里面的信息可以無損恢復，因此是一種非常理想的去除光學加密系統(tǒng)中散斑噪聲的容器?？捎捎赒R碼存儲容量有限，存儲內(nèi)容只能為數(shù)字、字母，漢字、日文等信息[15]，要將一幅灰度圖像存入到QR碼中，必須要進行數(shù)據(jù)的轉換與壓縮。目前主要有兩種方法，即將二值圖像利用行程編碼壓縮方法存入QR碼[16]，以及利用數(shù)字之間轉換壓縮方法將灰度圖像存入QR碼[17]。由于前者只適合于非常簡單的二值圖像，而后者只能將一幅32×32像素大小的灰度圖像存入到QR碼中，因此在實際圖像加密的應用中，尋求一種既能有效進行數(shù)據(jù)壓縮，又能處理較大灰度圖像的方法仍顯得極為重要。

本文提出了一種基于算術編碼圖像壓縮方法，成功地將一幅64×64像素大小的灰度圖像存入QR碼中進行加密和解密。該方法首先把灰度圖像讀取為二進制數(shù)據(jù)，并轉換為十進制數(shù)，然后利用算術編碼的方法壓縮十進制數(shù)序列得到新的二進制序列，把壓縮后的二進制數(shù)據(jù)再次轉換成十進制數(shù)據(jù)存儲到QR碼中，最后利用雙隨機相位編碼的方法進行加密和解密。

1 理論基礎

1.1 基于算術編碼的壓縮方法

算術編碼[18-20]是一種變字長無損編碼方法，將編碼數(shù)據(jù)看作由多個符號組成的序列，直接對該序列進行編碼，編碼后輸出的碼字對應于整個符號序列，而每個碼字本身確定了0和1之間的一個實數(shù)區(qū)間。編碼原理為：根據(jù)信源符號中各個符號所占的概率不同，把[0，1]區(qū)間劃分為若干個互不重疊的子區(qū)間，每個區(qū)間的長度為每個信源符號的概率。這樣，每個信源符號都可以用其所對應區(qū)間內(nèi)的任何一個實數(shù)來表示，在對信源符號進行編碼時，便可用相應的區(qū)間來表示。例如，要編碼的是一個來自4個信源符號{1234}并由5個信源符號組成的符號序列：41312。通過計算得到各信源符號的概率分別為：P（1）=0.4，P（2）=0.2，P（3）=0.2，P（4）=0.2。編碼時，首先根據(jù)各個信源符號的概率將區(qū)間[0，1]分成4個子區(qū)間：符號1對應[0，0.4），符號2對應[0.4，0.6），符號3對應[0.6，0.8），符號4對應[0.8，1.0）。符號序列中第1個符號是4，其對應的子區(qū)間為[0.8，1.0），因為它是被編碼的第1個符號，所以原始信源符號就被縮窄到了區(qū)間[0.8，1.0），接下來將這個區(qū)間擴展為整個高度，其端點值不變，然后，這個縮窄的區(qū)間根據(jù)原始信源符號的概率進行細分，并繼續(xù)對下一個信源符號進行處理。例如，第2個符號是1，1 在初始區(qū)間內(nèi)是占整個區(qū)間的前40%，對應的也要占區(qū)間[0.8，1.0）的前40%，因此第2個符號的新編碼區(qū)間變?yōu)閇0.8，0.88），然后，第3個符號3 占初始區(qū)間的60%到80%，則第3個符號的新編碼區(qū)間為[0.848，0.864），依此類推，第4個符號的新編碼區(qū)間為[0.848，0.8544），第5個符號的新編碼區(qū)間為[0.85056，0.85184），這樣該區(qū)間內(nèi)的任何一個實數(shù)就可以表示整個符號序列。把該十進制區(qū)間用二進制表示為[0.11011001101111100101，0.11011010000100100011），忽視小數(shù)點，不考慮“0.”，取該區(qū)間內(nèi)碼長為最短的碼字作為最后實際的編碼碼字輸出，所以對字符串[41312]進行算術編碼的輸出碼字為1101101。

對于一幅灰度圖像，對其進行算術編碼壓縮的具體步驟為：

Ⅰ） 將灰度圖利用Matlab 軟件讀取文件的形式讀取為一串二進制序列數(shù)據(jù)；

Ⅱ） 將Ⅰ）中的二進制數(shù)據(jù)利用利用文獻[17]中的方法轉換為相應的十進制數(shù)據(jù)。具體規(guī)則為：步驟1，取4位二進制數(shù)；步驟2，如果4位數(shù)字是1000 或1001，則將其轉換為8 或9，并在4位數(shù)字后再次從下一位開始步驟1。如果這4位數(shù)字既不是1000 也不是1001，取前3位數(shù)字，并將其轉換為0到7之間的一個數(shù)字。在3位數(shù)之后從下一位開始步驟1；

Ⅲ） 把Ⅱ）中的十進制數(shù)分為若干小段，對每一小段進行算術編碼，將編碼得到的二進制字符串組合在一起；

Ⅳ） 將Ⅲ）得到的二進制字符串用Ⅱ）中的方法轉換成十進制數(shù)，編碼完成，整個過程如圖1所示。

圖1 基于算術編碼的數(shù)據(jù)壓縮過程Fig.1 Data compression process based on arithmetic coding

1.2 QR碼

QR碼是二維碼的一種，有40個版本和L、M、Q、H 4個糾錯等級，不同的版本和糾錯等級存儲的數(shù)據(jù)大小也不同，版本越大，糾錯等級越低，存儲的數(shù)據(jù)越多。例如，31版的QR碼最多可存儲4 417個十進制數(shù)字、2677個字母數(shù)字組合、1 840個8位字節(jié)、1132個中國漢字。各個版本和糾錯等級QR碼的存儲容量如表1所示。

表1 各個版本和糾錯等級QR碼的存儲容量Table1 Storage capacity of QR code with each version and each error correction level

2 實驗模擬

為了驗證本文所提方法的有效性，利用Matlab軟件對實驗進行模擬。所選的加密系統(tǒng)為雙隨機相位編碼（DRPE）平行加密系統(tǒng)[1]，如圖2所示。

圖2 DRPE 加密系統(tǒng)（f(x,y)和g(x,y)為明文圖像和密文圖像，θ(x,y)和φ(u,v)為隨機相位板，L1和L2為傅里葉透鏡）Fig.2 DRPE encryption system（f(x,y) and g(x,y) are plaintext images and ciphertext images，θ(x,y) andφ(u,v) are random phase masks，L1and L2are Fourier lenses）

加密和解密過程可以表示為

式中：f(x,y)和g(x,y)分別為明文圖像和密文圖像；FT和FT?1為傅里葉正、逆變換；θ(x,y)和φ(u,v)是兩塊隨機分布在0到2π 區(qū)間的相位板；* 代表共軛。

對于一幅灰度圖像，最常見的格式是BMP和JPEG，BMP格式的圖像每一個像素值由8位二進制組成，JPEG格式圖像是BMP格式的壓縮形式，它的數(shù)據(jù)量要遠小于BMP格式的數(shù)據(jù)量。無論是BMP 還是JPEG格式的圖像，都可以以文件形式讀取為一串二進制序列數(shù)據(jù)。以圖3（a）灰度值較豐富的Lena 圖為例，大小為64×64像素BMP格式的圖像二進制文件大小為5.05 kB，可以讀取為41376個二進制數(shù)字序列，在本文中我們采用的是壓縮后的JPEG 文件（見表3），二進制文件大小為3.06 kB，讀取為二進制數(shù)字序列為25088個，用文獻[17]的方法轉化的十進制數(shù)為8043個，使用算術編碼后的二進制數(shù)字為19266個，最后再次轉化為十進制數(shù)字有4395個，將這些十進制數(shù)存入31版糾錯等級為L的QR碼中，結果如圖3（b）。然后利用DRPE 光學系統(tǒng)對3（b）進行加密和解密，加密后的密文圖像的實部和解密后的QR碼圖像如圖3（c）和3（d）。31版糾錯等級為L的QR碼[15]，錯誤糾正碼字數(shù)480個，最少可糾正240個錯誤碼字，解密后的QR碼所包含的噪聲導致的錯誤碼字數(shù)遠小于240，所以解密后的QR碼可被輕松識別，圖3（e）為最后恢復的原始圖像。

圖3 實驗模擬結果Fig.3 Experimental simulation results

為了更好地說明本文所提方法的特點，對表示圖像數(shù)據(jù)量的十進制數(shù)字壓縮效率采用以下公式：

式中：P代表壓縮效率；M代表壓縮后的十進制數(shù)字個數(shù)；N代表原始圖像所有灰度值十進制數(shù)字個數(shù)的總和。以圖3（a）中的Lena 圖為例，分別計算文獻[16]中行程編碼的壓縮方法、文獻[17]中的壓縮方法和本文所提出方法的壓縮率，結果如表2所示。

表2 不同方法的壓縮率Table2 Compression ratios of different methods

由表2可以看出，本文所提出的壓縮方法的壓縮率要優(yōu)于文獻[16]和文獻[17]中的方法，如果要將一幅大圖像存入QR碼中，本文提出的方法效果更佳。

3 討論

對于一幅灰度層次較飽滿的圖像，例如Lena圖，采用本文所提出的壓縮方法，最多可以將一幅64×64像素大小的圖像存入到QR碼中，對于一張128×128像素或者256×256像素大小的灰度圖像，則要采用多張QR碼。表3為不同灰度圖的壓縮信息，對灰度層次較少的圖像，由于圖像冗余度大，壓縮率高，采用本文的方法可以將一幅128×128像素的JPEG圖像壓縮后存入到QR碼中，通過光學加密系統(tǒng)可以得到無損解密的圖像。而對于一張灰度值只有0和255的二值圖像，則可以將256×256像素或者更大的JPEG圖像存入QR碼，如圖4所示，為了視覺效果更好，我們對128×128像素的圖像做了放大處理。此外，由于QR碼有4個糾錯等級，不同的糾錯等級數(shù)據(jù)容量不同，在實際的光學加密系統(tǒng)中，往往會引入其他噪聲，所以在可選擇的糾錯等級和版本中，我們一般選擇版本低和糾錯等級高的QR碼進行加密和解密。

本文所提出的基于算術編碼的壓縮方法，理論上可以多次使用，重復壓縮，但由于每次壓縮都需要記錄每個灰度值的概率，以便在解壓時使用，在實際的圖像加密應用中，這就會增加密鑰數(shù)據(jù)的傳輸量，并不利于加密技術的實際應用。

表3 不同灰度圖的壓縮信息Table3 Compression information for different grayscale images

圖4 不同類型圖像加密結果對比Fig.4 Comparison of encryption results for different types of images

4 結論

QR碼作為數(shù)據(jù)容器在光學圖像加密中起著非常重要的作用，但由于實際圖像通常數(shù)據(jù)量較大，超出了QR碼的存儲容量，因此目前只是將一些簡短的表達或者32×32像素的灰度圖像存儲到QR碼中，遠不能滿足實際加密的需求。本文提出了一種基于算術編碼的圖像壓縮方法，將灰度圖像首先讀取為二進制數(shù)據(jù)并轉換為十進制數(shù)，再將十進制數(shù)利用算術編碼的方法壓縮為二進制數(shù)，最后再轉換成十進制數(shù)，使得原始圖像的壓縮率極大提高，成功地將一幅64×64像素的灰度圖像壓縮到QR碼中，并利用DRPE系統(tǒng)加密和解密，得到無損恢復的解密圖像。此方法在未來有望用于視頻及其他多媒體信號的加密。