蔡清池 謝漢康 余劍毅

（1.寧德師范學(xué)院 信息與機(jī)電工程學(xué)院，福建 寧德 352100;2.福安青豐置業(yè)有限公司，福建 寧德 352100）

1 引言

先期固結(jié)壓力是計(jì)算地基沉降的主要依據(jù)指標(biāo)之一，對(duì)工程建設(shè)有著重要的參考價(jià)值[1～3]。先期固結(jié)壓力定義為土層在地質(zhì)歷史上曾受過(guò)的最大豎向有效壓力，一般根據(jù)原狀土的e-lgp曲線推求。多年來(lái)，有許多學(xué)者提出了多種先期固結(jié)壓力的計(jì)算方法。Casagrande 法作為求解先期固結(jié)壓力的經(jīng)驗(yàn)方法之一，因其具有較高的準(zhǔn)確性，結(jié)果可信度高，成為我國(guó)規(guī)范推薦方法。但是Casagrande 法是一種經(jīng)驗(yàn)作圖法，采用手工作圖具有較大的局限性，主要表現(xiàn)于繪圖繁瑣、人為影響因素較大、計(jì)算精度不高[4～6]等問(wèn)題。為更加方便、快捷、準(zhǔn)確的確定先期固結(jié)壓力，基于Casagrande法的數(shù)學(xué)模型法應(yīng)運(yùn)而生。數(shù)學(xué)模型法主要是用數(shù)學(xué)公式擬合e-lgp曲線，然后根據(jù)Casagrande法尋找曲率最大的點(diǎn)建立直線方程，并運(yùn)用最小二乘法擬合計(jì)算壓縮曲線后半段直線方程，而后聯(lián)立方程求解兩個(gè)直線方程的交點(diǎn)，從而確定先期固結(jié)壓力數(shù)值。廣泛采用的數(shù)學(xué)模型法主要有多項(xiàng)式模型，Harris模型，高斯(Gaussian)模型，Logistic模型等[7～12]。其中，多項(xiàng)式模型和Harris 模型發(fā)展較早，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合精度很高。由于多項(xiàng)式模型存在“擺動(dòng)”現(xiàn)象，在擬合點(diǎn)處可能產(chǎn)生較大的數(shù)值波動(dòng)，近年來(lái)已使用較少，而Harris 模型較為符合土體的壓縮特征曲線，數(shù)值穩(wěn)定，因而結(jié)果更容易接受。

土體的固結(jié)實(shí)驗(yàn)根據(jù)實(shí)驗(yàn)最大施加荷載的不同分為低壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)、中壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)和高壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)。在推求先期固結(jié)壓力時(shí)，對(duì)于壓縮曲線實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍并未給出嚴(yán)格的定義和要求，眾多學(xué)者在其研究結(jié)果中采用的數(shù)據(jù)范圍也因人而異。然而，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的全面與否對(duì)于試驗(yàn)結(jié)果有著較為重要的影響。為了更好地分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍對(duì)于先期固結(jié)壓力求解的準(zhǔn)確性與否，本文考慮不同壓力等級(jí)的固結(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型法對(duì)不同情況下的先期固結(jié)壓力進(jìn)行求解。

2 先期固結(jié)壓力Pc計(jì)算步驟

先期固結(jié)壓力Pc計(jì)算一般在e-lgp 曲線上進(jìn)行。Casagrande法的計(jì)算步驟主要有兩個(gè)關(guān)鍵部分，一是e-lgp 曲線最大曲率點(diǎn)的確定，二是曲線后半段的直線段擬合。

對(duì)于曲線的擬合，考慮Harris模型具有很高的擬合精度，故在曲線擬合中用Harris數(shù)學(xué)模型進(jìn)行擬合計(jì)算。步驟如下：

2.1 擬合曲線任一點(diǎn)曲率K 的按照式（1）計(jì)算，求得最大曲率點(diǎn)。

式中，K代表曲率，e代表土體孔隙比。

2.2 分別作最大曲率點(diǎn)處切線和水平線，求二者角平分線的直線方程。

假設(shè)最大曲率點(diǎn)處的切線斜率為k1，角平分線斜率為k2。其計(jì)算公式分別如式（2）、式（3）所列。

式中，k1為最大曲率點(diǎn)在壓縮曲線上的切線斜率，lgpk為最大曲率點(diǎn)在e-lgp 曲線上的橫坐標(biāo)，即k1數(shù)值上等于在該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)數(shù)值。

因此，角平分線直線方程如式（4）所列。

式（4）為該角平分線直線方程，因變量為e，自變量為lgp，ek和lgpk為最大曲率點(diǎn)Kmax在壓縮曲線上的坐標(biāo)值。

2.3 曲線后半段直線方程一般采用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最后2～4 個(gè)點(diǎn)擬合獲得，文中計(jì)算均以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最后3個(gè)點(diǎn)進(jìn)行線性方程擬合，設(shè)擬合所得直線方程為式（5）。

式（5）為壓縮曲線后半段擬合直線方程，因變量為e，自變量為lgp，k3為直線斜率，b 為擬合所得的直線參數(shù)。

2.4 聯(lián)立式（4）和式（5），求兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為lgpc，從而確定先期固結(jié)壓力數(shù)值。

確定式（4）和式（5）之后，根據(jù)Casagrande 法，聯(lián)立求解式（4）和式（5）的交點(diǎn)坐標(biāo)，該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為lgpc，然后取對(duì)數(shù)所得的pc即為確定的先期固結(jié)壓力，其計(jì)算式如式（6）所示。先期固結(jié)壓力的作圖法如圖（1）所示。

圖1 先期固結(jié)壓力計(jì)算方法示意圖(“O”處為lgpc)

基于Casagrande 法的數(shù)學(xué)模型方法中，Harris 模型常用于擬合壓縮曲線，求解先期固結(jié)壓力。Harris模型具有較高的擬合精度，所求得先期固結(jié)壓力準(zhǔn)確度較高[13,14]。計(jì)算采用的Harris模型如下：

式（7）中A，B，C 為待定參數(shù)，其它符號(hào)意義不變。對(duì)公式(7)觀察可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)lgp趨于零時(shí)，e趨于一個(gè)定值，可認(rèn)為該定值土體天然狀態(tài)下孔隙比；當(dāng)lgp趨于無(wú)窮大時(shí)，e 接近于零，即土體在極大荷載壓縮下，內(nèi)部孔隙全部消散，土顆粒緊密排列?？梢?jiàn)，這一模型也符合太沙基(Karl Terzaghi)的一維固結(jié)理論。

3 數(shù)據(jù)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

采用文獻(xiàn)[15]的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，選取其中五組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，加載過(guò)程實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

在數(shù)據(jù)分析時(shí)，眾多學(xué)者分析結(jié)果不一。通過(guò)對(duì)大量分析數(shù)據(jù)范圍的分析，發(fā)現(xiàn)區(qū)別之一在于部分研究論文采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)僅限于低壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)，而部分研究論文采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為高壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。為更好地論證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍對(duì)求解先期固結(jié)壓力的影響，考慮固結(jié)實(shí)驗(yàn)的特性，分析時(shí)將表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分為不同范圍的兩組，第一組為低壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即固結(jié)壓力范圍在0～800kpa 之間，下文稱“第一組”；第二組為中高壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即固結(jié)壓力范圍在0～3200kpa之間，下文稱“第二組”。通過(guò)對(duì)比相同土樣第一組和第二組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果，了解固結(jié)實(shí)驗(yàn)程度對(duì)土體先期固結(jié)壓力的影響。

3.2 Harris模型計(jì)算

對(duì)不同的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，計(jì)算結(jié)果如表2、表3所示，可見(jiàn)Harris 模型在曲線段具有很高的擬合精度，所有組別R2均在0.99以上。后半段直線方程為以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中最后3個(gè)點(diǎn)進(jìn)行最小二乘法擬合，同樣具有很高的精度。對(duì)比分析表2和表3，可得：

3.2.1 關(guān)于最大曲率點(diǎn)變化，如圖2 所示，可以發(fā)現(xiàn)相同編號(hào)下第二組的最大曲率點(diǎn)的ek均相對(duì)第一組數(shù)值偏小，同樣的lgpk均相對(duì)第一組偏大，說(shuō)明在e-lgp曲線上，第二組的最大曲率點(diǎn)相對(duì)靠右側(cè)。

3.2.2 關(guān)于后半段直線方程，可以發(fā)現(xiàn)相同編號(hào)下第二組直線方程斜率均較第一組偏小，即第二組所得的后半段直線方程更加傾斜，即e-lgp曲線后半段直線斜率變化更大?？紤]土體在采樣制樣過(guò)程中，不可避免地會(huì)受到其他因素影響而產(chǎn)生一定程度的擾動(dòng)。在土體的固結(jié)實(shí)驗(yàn)中，一般認(rèn)為加載壓力越大，土體受擾動(dòng)程度對(duì)e-lgp 曲線影響越小，故土體在中高壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)所獲得的后半段直線方程，應(yīng)該更為準(zhǔn)確。分析結(jié)果中第二組直線方程變化率較第一組大，也正說(shuō)明本次分析結(jié)果的可靠性。

圖2 不同組別計(jì)算的最大曲率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的孔隙比

圖3 先期固結(jié)壓力的不同計(jì)算結(jié)果

3.2.3 關(guān)于先期固結(jié)壓力Pc，如圖3所示，明顯可以看出第二組結(jié)果均較大于第一組結(jié)果。二者的實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有較大的差值。為了更好地分析兩組結(jié)果的差距，將結(jié)果對(duì)比分析置于表4，可以發(fā)現(xiàn)不同編號(hào)下，第一組計(jì)算所得Pc相比第二組均大約低了43%至48%左右，編號(hào)2 數(shù)值明顯偏離其他數(shù)值較大，可能實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果影響較大，故比較不準(zhǔn)確。文獻(xiàn)[15]中認(rèn)為選用Gauss1確定的先期固結(jié)壓力數(shù)值具有較好地準(zhǔn)確性。將文獻(xiàn)[15]結(jié)果與本文中兩種計(jì)算結(jié)果繪制于圖3 中，從圖3 中可以看出，第一組計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]的計(jì)算結(jié)果十分接近，而第二組的計(jì)算結(jié)果明顯高于文獻(xiàn)[15]中的計(jì)算值。因此，在進(jìn)行先期固結(jié)壓力計(jì)算時(shí)，不同的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍對(duì)計(jì)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定的明顯。Harris 模型本身在擬合數(shù)據(jù)時(shí)具有較高的精確度，但是如果不考慮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)范圍的影響，其計(jì)算所得的先期固結(jié)壓力亦可能與真實(shí)值相差甚遠(yuǎn)。就本文分析而言，低壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推求的先期固結(jié)壓力數(shù)值更為準(zhǔn)確。但是對(duì)于在先期固結(jié)壓力求解時(shí)，是否采用中高壓的固結(jié)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可能還需更多的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

表2 Harris模型第一組分析結(jié)果

表3 Harris模型第二組分析結(jié)果

表4 先期固結(jié)壓力計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)低壓和中高壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)下推求先期固結(jié)壓力結(jié)果準(zhǔn)確性分析，得出如下結(jié)論：

（1）相比于低壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)，中高壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)獲得的壓縮曲線最大曲率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的lgp數(shù)值較大，即最大曲率點(diǎn)更加靠向壓縮曲線右側(cè)。中高壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)獲得的后半段直線方程變化率更大，求得的先期固結(jié)壓力數(shù)值更大，低壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)求得的先期固結(jié)壓力較小。

（2）低壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)求得的先期固結(jié)壓力較中高壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果低了約43%至48%，差幅較大，但是其計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]十分接近，具有較高的準(zhǔn)確度。故在先期固結(jié)壓力計(jì)算中，基于低壓固結(jié)實(shí)驗(yàn)的先期固結(jié)壓力計(jì)算結(jié)果或許更好。