□梁乾培

（臨沂第四中學(xué)，山東臨沂 276000）

理性思維是一種有明確思維方向，有充分思維依據(jù)，能對(duì)事物或問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的一種思維.說(shuō)得簡(jiǎn)單些，理性思維就是一種建立在證據(jù)和邏輯推理基礎(chǔ)上的思維方式.

數(shù)學(xué)解題是以公式、定義、性質(zhì)、定理等為依據(jù)，通過理性思維進(jìn)行推理，在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，尋找已知和未知的聯(lián)系.

本文從高考題“已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍”的探究入手，進(jìn)行“學(xué)會(huì)解題”的嘗試.

一、善于發(fā)現(xiàn)本質(zhì)、規(guī)律

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都無(wú)一例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，通過問題的解決，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦.從而，提升理性思維的概括、提煉能力.例題的第（1）小題是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性.可以總結(jié)為一般步驟：確定定義域，求導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)符號(hào)（往往是因式分解等方法），說(shuō)明單調(diào)區(qū)間.

解：（1）確定f(x)的定義域(-∞,+∞)，求導(dǎo)得f ′(x)=2ae2x+(a-2)ex -1=(aex -1)(2ex+1).（?。┤鬭≤0，則f ′(x)＜0，所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減.（ⅱ）若a＞0，則由f ′(x)=0 得x=-lna. 當(dāng)x∈(-∞,-lna) 時(shí)，f ′(x)＜0；當(dāng)x∈(-lna,+∞) 時(shí)，f ′(x)＞0 ，所 以f(x) 在(-∞,-lna)單調(diào)遞減，在(-lna,+∞)單調(diào)遞增.（點(diǎn)評(píng)：因式分解是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式運(yùn)算的重要手段，因?yàn)?ex+1 ＞0，所以只需要考察aex-1的符號(hào)即可，運(yùn)用分類與整合的思想，易知a≤0時(shí)，aex-1 ＜0，從而，找到分類的標(biāo)準(zhǔn).這里體現(xiàn)邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性）

二、善于嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、精中求簡(jiǎn)

思維的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致是發(fā)展理性思維的前提，精中求簡(jiǎn)是良好理性思維品質(zhì)的重要體現(xiàn).例題的第（2）小題，是確定參數(shù)范圍，通常利用命題成立的必要條件，先縮小參數(shù)的取值范圍.可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法，減縮思維量，優(yōu)化思維過程.方法多種多樣，我們解題時(shí)就要嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，不重不漏，考慮完整，解法1體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性；解法2體現(xiàn)精中求簡(jiǎn)的思維.

解法1：（2）若a≤0，f ′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).（點(diǎn)評(píng)：由（1）是對(duì)a分類的，所以，很自然還要利用分類與整合的思想，就每一種情形分別求解，體現(xiàn)邏輯思維的嚴(yán)密性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合圖象，直觀感知）若a＞0，由（1）知，當(dāng)x=-lna時(shí)，f(x)取得極（最）小值，極小值為當(dāng)a=1 時(shí)，由于f(-lna)=0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，由于，故f(x)沒有零點(diǎn).（點(diǎn)評(píng)：極（最）小值的大小影響函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，接下來(lái)按照極小值是否大于零討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)，直觀想象：若最小值大于0，函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，不存在零點(diǎn)；若最小值小于0，函數(shù)的圖象與x軸可能有交點(diǎn).利用數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)于f(-lna)的值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理）

當(dāng)a∈(0,1) 時(shí)即f(-lna)＜0 .（點(diǎn)評(píng)：由數(shù)形結(jié)合思想，當(dāng)圖象在x軸下方有點(diǎn)，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則在x軸上方必定有點(diǎn)x1,x2，使得f(x1)＞0,f(x2)＞0，因 為-lna＞0，所以在(-∞,0)，(-lna,+∞)分別有一個(gè)零點(diǎn).如何找到點(diǎn)x1,x2就體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)據(jù)處理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是本題難點(diǎn)所在）下面從不同角度進(jìn)行分析，突破難點(diǎn).

三、善于返璞歸真、以簡(jiǎn)馭繁

理性思維就是人們借助抽象思維，在感性思維的基礎(chǔ)上，把所獲得的感覺材料，經(jīng)過思考、分析，加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的整理和改造.而要說(shuō)明在某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的零點(diǎn)存在，往往要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，找到兩個(gè)點(diǎn)（數(shù)）x1,x2，使得f(x1)f(x2)＜0.我們要以此為依據(jù)，進(jìn)行由感性思維到理性思維的飛躍.通常利用極限的思想、一般與特殊的思想，數(shù)形結(jié)合、放縮、換元等實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸.

接解法2：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以在(-∞,0)，(-lna,+∞)分別有一個(gè)零點(diǎn)，為方便計(jì)算，不妨設(shè)x1=-1,-2,-3 等進(jìn)行試驗(yàn)，不難發(fā)現(xiàn)，f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2 ＞-2e-2+2 ＞0.（點(diǎn)評(píng)：這樣的取值是因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(-∞,-lna)單調(diào)遞減，利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行直觀想象，返璞歸真，當(dāng)x越小，f(x)的值就越大，運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，我們?nèi)?1,-2 這些數(shù)，為方便計(jì)算.其實(shí)f(-1),f(-2),f(-3) 等都可以）然后，再說(shuō)明函數(shù)f(x)在(-lna,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?lna＞0，故只要說(shuō)明存在一個(gè)正數(shù)b，使得f(b)＞0 即可，即f(b)=ae2b+(a-2)eb-b＞0,即f(b)=ae2b+(a-2)eb＞b，只要ae2b+(a-2)eb＞eb因?yàn)閑b≥b+1 ＞b，故上面的不等式可化為aeb+(a-2)＞1,aeb＞3-a,∴b＞使 得f(b)＞0，故函數(shù)f(x)在(-lna,+∞)有一個(gè)零點(diǎn).（點(diǎn)評(píng)：函數(shù)f(x)在(-lna,+∞)單調(diào)遞增，自變量越大，函數(shù)值越大，為了找到一個(gè)合適的“點(diǎn)b”，使得f(b)＞0，就應(yīng)該把f(x)進(jìn)行放縮，目的是能夠使得不等式可解，體現(xiàn)以簡(jiǎn)馭繁的理性思維，運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸的思想，故由經(jīng)典不等式當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x放縮，把b轉(zhuǎn)化為eb）

四、善于質(zhì)疑思辨、求變創(chuàng)新

質(zhì)疑思辨是理性思維的核心，求變創(chuàng)新是理性思維的動(dòng)力.解題要回歸本質(zhì)，教會(huì)學(xué)生思考，教會(huì)學(xué)生發(fā)展理性思維能力是教學(xué)的靈魂，例如在解題教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生：還有其他方法嗎？能否從另外的角度思考？這樣的方法有沒有普遍的適用性？考慮指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，我們可以將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)，給我們“眼前一亮”的感覺.

五、善于解后反思、提升推理能力

推理是理性思維的重要形式，是數(shù)學(xué)的“命根子”，是從已知判斷推出新的判斷的思維形式.我們知道，理性思維是有內(nèi)容的思維，它必須依據(jù)事物的內(nèi)在規(guī)則進(jìn)行，理性思維以抽象性、間接性、普遍性為特征，以事物的本質(zhì)、規(guī)律為對(duì)象和內(nèi)容.因此，解后反思是提升理性思維能力的重要手段.

例如，解答例題之后，我們就要進(jìn)行反思：與題目有聯(lián)系的知識(shí)是否都考慮了？是否做過與此題目類似的問題？能否用不同的知識(shí)或方法，通過不同的途徑求解該問題？此題的解法是否給你啟發(fā)？接下來(lái)，提供近幾年的高考題供參考.

1.（2015 年高考全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)）設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

（Ⅰ）討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）略.

2.（2016 年高考全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）略.

3.（2018 年高考全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2．

（1）略；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．

4.（2019 年高考全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f（x）=2sinx-xcosx-x，f'(x)是f(x)的導(dǎo)數(shù).

（1）證明：f'(x)在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；

（2）略.

六、立足理性思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，理性思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生獲取知識(shí)的主要手段，掌握數(shù)學(xué)思想方法有利于透徹理解數(shù)學(xué)知識(shí)，有利于創(chuàng)造能力的培養(yǎng).章建躍博士曾強(qiáng)調(diào)：培養(yǎng)學(xué)生的思維始終是數(shù)學(xué)課程的核心任務(wù)，這是數(shù)學(xué)的“宗”，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“為學(xué)生的核心素養(yǎng)而教”與“為培養(yǎng)學(xué)生的理性思維而教”是完全一致的.

習(xí)題（2018 年高考全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)

（1）略；

（2）證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

解析：（1）略；時(shí)，g'（x）=0，所以g（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．

解題是一個(gè)既有實(shí)踐性又有探索性的認(rèn)知活動(dòng)，弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》中，分析學(xué)生解了大量的題目，但還“不開竅”的情況時(shí)指出：這些學(xué)生沒有在應(yīng)用的程度上分析所解的習(xí)題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個(gè)答案.所以要從數(shù)學(xué)思想方法和理性思維的角度進(jìn)行解題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是解題的本質(zhì)，是提高解題能力的必由之路.