基于狀態(tài)觀測器的動態(tài)事件觸發(fā)機制

朱明健,樊 淵,張成笑

(安徽大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院,合肥 230601)

0 概述

在傳統(tǒng)的時間采樣控制系統(tǒng)中,系統(tǒng)狀態(tài)采樣和控制器的更新通常是周期性進(jìn)行的。當(dāng)計算和通信資源需要分配給其任務(wù)時,這種時間觸發(fā)的方式可能使系統(tǒng)處于高工作負(fù)載狀態(tài)。為了節(jié)省系統(tǒng)資源,可以采用非周期性的觸發(fā)方法。近年來,人們越來越關(guān)注事件觸發(fā)的反饋控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)[1-3]描述了關(guān)于事件觸發(fā)機制的一些基本概念。事件觸發(fā)機制是時間觸發(fā)機制的替代方案,在事件觸發(fā)的方案中,一旦檢測到系統(tǒng)狀態(tài)偏差不滿足給定的事件觸發(fā)條件,就會觸發(fā)控制任務(wù)[4-5]。與時間觸發(fā)機制中的周期狀態(tài)采樣方式不同,事件觸發(fā)中的狀態(tài)采樣是非周期性的。因此,設(shè)計控制器使得其僅在必要時使用計算和通信資源,可以減少對系統(tǒng)資源的占用,同時保持良好的穩(wěn)定性能。研究結(jié)果表明,事件觸發(fā)機制相較于時間觸發(fā)機制具有更優(yōu)的資源節(jié)省性能。目前,多數(shù)研究致力于開發(fā)設(shè)計事件觸發(fā)機制(ETM)的系統(tǒng)技術(shù),用于實現(xiàn)給定反饋控制器的系統(tǒng)穩(wěn)定[6],最常用的ETM通常由給定系統(tǒng)狀態(tài)的等式或不等式組成。事件觸發(fā)機制多采用文獻(xiàn)[7-8]中的多智能體系統(tǒng),也常見于多智能體系統(tǒng)的自觸發(fā)方案設(shè)計[9-10]。

文獻(xiàn)[11]研究了基于觀測器的事件觸發(fā)控制的閉環(huán)系統(tǒng)。類似于事件觸發(fā)的輸出反饋控制系統(tǒng)的情況[12],該系統(tǒng)的輸出僅在滿足事件觸發(fā)條件時傳輸給觀測器。通過滿足給定的線性矩陣不等式(LMIs)條件和事件觸發(fā)條件,可以使反饋控制系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。文獻(xiàn)[13-14]研究了在某些不確定系統(tǒng)中基于觀測器的事件觸發(fā)狀態(tài)反饋機制,通過求解LMIs可以證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

通過在事件觸發(fā)機制中引入一個內(nèi)部動態(tài)變量,可以得到動態(tài)ETM。已有研究學(xué)者對ETM中的內(nèi)部動態(tài)變量進(jìn)行了研究[15-17]。文獻(xiàn)[18-19]中的動態(tài)觸發(fā)機制也引入了內(nèi)部動態(tài)變量,且提出的機制已經(jīng)獲得了相應(yīng)的理論成果。與ETM相比,動態(tài)ETM可以降低收斂速度和觸發(fā)次數(shù),從而改進(jìn)ETM的性能。事實證明,對于大部分事件觸發(fā)控制器而言,動態(tài)ETM的最小觸發(fā)間隔大于ETM[20]。

對于多數(shù)事件觸發(fā)機制研究來說,系統(tǒng)狀態(tài)都是已知的。本文針對狀態(tài)不可測線性系統(tǒng),提出一種基于狀態(tài)觀測器輸出反饋的動態(tài)ETM,狀態(tài)觀測器利用輸出的事件觸發(fā)信號來估計系統(tǒng)狀態(tài)。事件觸發(fā)的控制系統(tǒng)可能會存在Zeno行為,Zeno行為意味著在有限的時間段內(nèi)存在無數(shù)次的觸發(fā),這對于實際物理系統(tǒng)是不允許的。因此,在實驗中給出事件觸發(fā)控制的最小觸發(fā)時間間隔,以排除Zeno行為。

1 基礎(chǔ)知識

函數(shù)f:Rn→Rm使得對于任意的x,y∈Q?Rn,存在一個常數(shù)矩陣M>0且滿足式(1)時,則稱該函數(shù)是Lipschitz連續(xù)的。

(1)

其中,Rn表示n維歐式空間,Rm×n表示所有的m×n維實矩陣的集合。

引理1[21]若X和Y是實正定矩陣,則以下不等式成立:

XTY+YTX≤XTX+YTY

(2)

2 基于觀測器事件觸發(fā)機制

系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:

(3)

其中,x∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,初始狀態(tài)定義為x(0)=x0,u∈Rm為系統(tǒng)的輸入向量,y∈Rq為輸出向量。A∈Rn×n,B∈Rn×m和C∈Rq×n均為已知常數(shù)矩陣。全維狀態(tài)觀測器為:

(4)

2.1 事件觸發(fā)機制

定義輸出誤差為:

ey(t)=y(tk)-y(t),t∈[tk,tk+1)

(5)

因此,可以描述系統(tǒng)狀態(tài)和觀測器狀態(tài)誤差為:

(6)

事件觸發(fā)機制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 基于觀測器的事件觸發(fā)機制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Event triggering mechanism system structure based on observer

定義事件觸發(fā)條件為:

(7)

其中,σ為給定的常數(shù)。當(dāng)不滿足式(7)時,對系統(tǒng)輸出信號進(jìn)行更新。

定理1在系統(tǒng)式(6)中,如果存在2個正定矩陣P1,P2∈Rn×n,以及正數(shù)σ∈[0,1)滿足以下2個矩陣不等式(8)與式(9):

(8)

(9)

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為:

其中,P1,P2分別為矩陣不等式(8)和式(9)的解,對Lyapunov函數(shù)關(guān)于時間求導(dǎo)可以得到:

xT(t)(P1(A+BK)+(A+BK)TP1)x(t)+

xT(t)(P1(A+BK)+(A+BK)TP1)x(t)+

(10)

由事件觸發(fā)機制可知,若式(7)不滿足,則會有第k+1次更新執(zhí)行。因此,通過計算可以得到:

P1BKKTBTP1+σCTC)x(t)+

(11)

由引理1可知,不等式(8)、不等式(9)分別與以下不等式(12)、不等式(13)等價:

P1(A+BK)+(A+BK)TP1+

P1BKKTBTP1+σCTC<0

(12)

P2(A-LC)+(A-LC)TP2+

P2LLTP2+I<0

(13)

近穩(wěn)定的。

備注1通過求解線性矩陣不等式(8)和不等式(9),可以得到參數(shù)σ以及P1和P2的值。這些參數(shù)值在事件觸發(fā)條件式(7)下可以保證系統(tǒng)狀態(tài)和觀測器誤差狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性。此外,這2個線性矩陣不等式互相獨立。事件觸發(fā)策略的設(shè)計僅僅與控制器增益矩陣K有關(guān),而與觀測器本身無關(guān),這顯示了事件觸發(fā)方案的設(shè)計與觀測器之間的分離原則。

令2個對稱正定矩陣M,N∈Rn×n滿足以下等式:

M=-(P1(A+BK)+(A+BK)TP1+

P1BKKTBTP1)

(14)

N=-(P2(A-LC)+(A-LC)TP2+

P2LLTP2+I)

(15)

可以得到:

(16)

(17)

2.2 動態(tài)事件觸發(fā)機制

通過使用動態(tài)ETM,系統(tǒng)可以進(jìn)一步減少觸發(fā)次數(shù),從而可以實現(xiàn)更好的資源節(jié)省性能?；跐M足以下微分方程的內(nèi)部動態(tài)變量η引入動態(tài)ETM:

η(0)=η0

(18)

(19)

(20)

η(t)≥0

(21)

(22)

通過式(18)可以得到:

(23)

通過比較和分析可知,對任意的t∈[0,∞)都滿足η(t)≥0,因此,η在任意時刻都保證是非負(fù)的。

(24)

σyT(t)y(t)-β(η(t))=

xT(t)(σCTC-M)x(t)-

(25)

2.3 Zeno行為分析

(26)

令:

(27)

(28)

(29)

證明利用式(28)的結(jié)論,可以通過以下變量的導(dǎo)數(shù)得到觸發(fā)間隔下限:

(30)

(31)

令初始條件為φ(0)=0,通過求解式(31)可以得到:

(32)

因此,可以得到事件觸發(fā)最小時間下界τ為:

(33)

(34)

(35)

因此τ>0。事件觸發(fā)機制不存在Zeno行為。

推論表明,對于系統(tǒng)給定的狀態(tài),動態(tài)ETM給出的下一個執(zhí)行時間大于ETM給出的時間。

(36)

當(dāng)θ>0時,由式(19)和引理3可以得到:

(37)

3 模擬仿真

使用一個例子來驗證理論結(jié)果的有效性?？紤]形式為式(3)的線性系統(tǒng)為:

系統(tǒng)很明顯是完全可控可觀的。

實驗選取β(η)=λη是滿足Lipschitz連續(xù)的K∞函數(shù)。關(guān)于λ和θ的參數(shù),為了顯示更好的效果,參數(shù)選取為λ=0.01,σ=0.003 1和θ=1。這些參數(shù)選取符合具有動態(tài)觸發(fā)機制的事件觸發(fā)機制要求。

圖2顯示了ETM的誤差范數(shù),誤差范數(shù)一旦達(dá)到閾值,它就會重置為0。圖3顯示了動態(tài)ETM的誤差范數(shù),當(dāng)誤差范數(shù)達(dá)到閾值時,它也會重置為0。從圖中可以看出,動態(tài)ETM可容許較大的誤差范數(shù)閾值,這是由事件觸發(fā)條件決定的。ETM的觸發(fā)次數(shù)為201,動態(tài)ETM的觸發(fā)次數(shù)為30,與ETM相比,動態(tài)ETM減少了觸發(fā)次數(shù)。

圖2 ETM誤差范數(shù)Fig.2 ETM error norm

圖3 動態(tài)ETM誤差范數(shù)Fig.3 Dynamic ETM error norm

基于觀測器ETM的平均觸發(fā)時間間隔如圖4所示,觸發(fā)時間間隔的平均值為0.224 s。圖5所示為基于觀測器的動態(tài)ETM事件觸發(fā)機制的平均觸發(fā)時間間隔,平均觸發(fā)時間間隔為1.500 s。 ETM的觸發(fā)時間間隔的平均值遠(yuǎn)小于動態(tài)ETM的平均觸發(fā)時間間隔。

圖4 ETM觸發(fā)時間間隔Fig.4 ETM trigger the interval

圖5 動態(tài)ETM觸發(fā)時間間隔Fig.5 Dynamic ETM trigger time interval

圖6、圖7和圖8中的狀態(tài)軌跡展示了基于觀測器的動態(tài)ETM事件觸發(fā)機制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。 圖6顯示了系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡,從圖6可以看出,系統(tǒng)的狀態(tài)由初始值[-0.2,0.4]逐漸趨于原點,系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。圖7顯示了觀測器的狀態(tài)軌跡,從圖7可以看出,觀測器的狀態(tài)由初始值[0,0]逐漸逼近系統(tǒng)實際狀態(tài),且最終趨于穩(wěn)定。圖8顯示了觀測器誤差的狀態(tài)軌跡,在初始時刻,針對狀態(tài)不可測現(xiàn)象,令觀測器狀態(tài)和系統(tǒng)實際狀態(tài)初始值不同,因此觀測器誤差較大,隨著系統(tǒng)的運行,誤差可以迅速減小并趨于0。

圖6 動態(tài)ETM系統(tǒng)狀態(tài)軌跡Fig.6 Dynamic ETM system state trajectory

圖7 動態(tài)ETM觀測器狀態(tài)軌跡Fig.7 Dynamic ETM observer state trajectory

圖8 動態(tài)ETM觀測器狀態(tài)誤差軌跡Fig.8 Dynamic ETM observer state error trajectory

4 結(jié)束語

本文提出一種基于觀測器的動態(tài)事件觸發(fā)機制,根據(jù)2個LMIs建立系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。通過引入額外的內(nèi)部動態(tài)變量,事件觸發(fā)條件會更加多樣化,從而減少事件觸發(fā)次數(shù)。本文給出了Zeno 行為不存在的證明過程,并通過仿真實例論證結(jié)果,這些實例可應(yīng)用于線性時不變系統(tǒng)。下一步可以考慮改善事件觸發(fā)條件和加入優(yōu)化控制,以期達(dá)到優(yōu)化系統(tǒng)性能指標(biāo)的目的。