由2020年海南卷第21題引發(fā)研究與思考

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

一、題目呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.

二、解法探究

對(duì)于(2)，我們可以從不同的角度來(lái)思考這個(gè)問(wèn)題，運(yùn)用解析幾何的一些基礎(chǔ)知識(shí)，采用通解通法即可解答本題.

分析1 直線AM的方程易求，進(jìn)而可計(jì)算|AM|的值.要使△AMN的面積最大，就是要使點(diǎn)N離直線AM最遠(yuǎn).數(shù)形結(jié)合可知，點(diǎn)N就是直線AM的平行線與橢圓C在第四象限的切點(diǎn)，如圖1.

所以△AMN的面積的最大值為18.

評(píng)析通過(guò)數(shù)形結(jié)合，能夠大致確定取得最值的點(diǎn)N的位置，這是定性分析.通過(guò)計(jì)算可以精準(zhǔn)確定最值.二者結(jié)合充分展示了解析結(jié)合的基本理念：用代數(shù)研究幾何.這是學(xué)生必須理解掌握的內(nèi)容.這種解法在2008年全國(guó)Ⅱ卷第21題已經(jīng)考查過(guò).

分析2 本題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題.橢圓的參數(shù)方程可以提供基礎(chǔ)支持，利用三角函數(shù)可以完成最值的求解.

結(jié)合解法1，點(diǎn)N到直線AM的距離

所以△AMN的面積的最大值為18.

所以△AMN的面積的最大值為18.

評(píng)析這是一個(gè)容易想到的思路.求交點(diǎn)是解析幾何的基本要求，在教材中有專項(xiàng)設(shè)計(jì).通過(guò)計(jì)算能夠進(jìn)一步理解直線與曲線相切時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn).也可省去點(diǎn)N位置的選擇.

當(dāng)發(fā)現(xiàn)N(2,-3)使得△AMN的面積取得最大值后，后續(xù)的三角形面積計(jì)算別有洞天.

分析4 數(shù)據(jù)背后往往就是位置關(guān)系，一些特殊的位置關(guān)系就會(huì)帶來(lái)簡(jiǎn)約的計(jì)算方法，通徑含有的垂直關(guān)系對(duì)于三角形面積計(jì)算很重要.

評(píng)析充分發(fā)掘數(shù)據(jù)的幾何功能讓解題變得輕松愉悅，也能感悟到命題者的獨(dú)到匠心，利用一個(gè)特殊的情形對(duì)解析幾何進(jìn)行了一般技能技巧的考查.

分析5 對(duì)于三角形面積的計(jì)算，在必修3《算法初步》一章中介紹了海倫公式，本問(wèn)題可以用它解答.

評(píng)析海倫公式雖然只是在課本中作為一個(gè)算法案例提出，但是它的用法還是很廣的，平時(shí)教學(xué)留意一下，學(xué)生普遍能接受.已經(jīng)多次在高考中考查該知識(shí)點(diǎn).

分析6 在直角三角形中容易計(jì)算銳角的三角函數(shù)值.含正弦的三角形面積公式也是一個(gè)重要的計(jì)算方法.

三、背景溯源

注可類似于解法1解答此題.

注可類似于解法2解答此題.

(1)求M的方程；

(2)C、D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

題源4 (2008年全國(guó)Ⅱ卷理科21題)設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).

(1)若ED=6DF，求k的值；

(2)求四邊形AEBF面積的最大值.

四、幾點(diǎn)思考

1.回歸教材，回歸基礎(chǔ)

高考題取材主要來(lái)源于教材，正如此題.然而在日常教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，普遍存在輕教材，重教輔的情形，無(wú)限制地拔高，甚至研究出很多的高深技法，學(xué)生學(xué)得苦，老師教得累，勞而無(wú)功.

2.研究高考真題，把握命題方向

高考題是命題專家們經(jīng)過(guò)周密思考，反復(fù)研磨打造出來(lái)的精品.從這些題中我們能發(fā)現(xiàn)命題的重點(diǎn)、難點(diǎn)、?？键c(diǎn)，我們能學(xué)到常見(jiàn)的解題方法，重要的技能技巧.讓學(xué)生把這些將來(lái)深造需要的知識(shí)掌握扎實(shí)即可，切實(shí)為學(xué)生減負(fù).

3.重質(zhì)量，輕數(shù)量，勤研究

刷題現(xiàn)象在全國(guó)各地十分普遍，似乎靠數(shù)量取勝.事實(shí)上，只有潛心研究，真正弄懂的問(wèn)題才能在高考時(shí)“復(fù)制”出來(lái)，只有深入研究了才能發(fā)現(xiàn)每類問(wèn)題的最佳解題途徑.本例中，顯然利用參數(shù)方程的解法2最為簡(jiǎn)潔，既提高了考試的準(zhǔn)確率(運(yùn)算小)，也為考試贏得了寶貴的時(shí)間.深入研究還可以讓零散的知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，相互照應(yīng)，讓學(xué)生思路開(kāi)闊，思維靈活，培養(yǎng)真正的創(chuàng)新人才.