函數(shù)與不等式齊驅(qū)并駕 多角度解決最值問(wèn)題
——2020年全國(guó)Ⅱ卷第21題一題多解探討

張培杰

(云南省大理大學(xué)教師教育學(xué)院 671000)

一、真題再現(xiàn)

(2020年全國(guó)Ⅱ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.

(1)討論f(x)在(0,π)的單調(diào)性；

通過(guò)觀察題目發(fā)現(xiàn)，該題以三角函數(shù)為背景，考查判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性、求函數(shù)值域、不等式證明等多個(gè)知識(shí)點(diǎn). 題目綜合性強(qiáng)，難度較大，對(duì)考生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力有較高的要求，很好地體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)要求的核心素養(yǎng)導(dǎo)向，具有高考命題需要的區(qū)分度. 下面重點(diǎn)給出第(2)問(wèn)的一題多解，對(duì)于第(1)、(3)問(wèn)僅給出一種可行的解答.

二、真題解析

(1)分析要討論函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，只需要求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)的正(負(fù))可得到原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)，該題是常規(guī)考法.

分析1直接求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性求最值.要想求出函數(shù)的最值(取值范圍)，借助導(dǎo)數(shù)先判斷單調(diào)性再求最值是最常用的方法. 因此，可以借助導(dǎo)數(shù)解答這個(gè)問(wèn)題.

評(píng)析這種解法是能夠容易想到的，觀察解答過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)計(jì)算的要求較高. 此外，需要考生對(duì)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)非常熟悉才能由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)正確地求出x的范圍. 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.

分析2利用三角函數(shù)周期性，轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題.周期性是三角函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，該題以三角函數(shù)為背景，易想到利用周期性解決. 由三角函數(shù)周期性，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)閉區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題，只要求出函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的最值即可.

評(píng)析這種解法較為靈活，要求學(xué)生具有抽象概括的能力、直觀想象的核心素養(yǎng)，能夠在看到三角函數(shù)時(shí)候即想到周期性，并將問(wèn)題轉(zhuǎn)為為一個(gè)閉區(qū)間上的最值問(wèn)題. 學(xué)生在平時(shí)復(fù)習(xí)中，要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要注意抽象概括能力的培養(yǎng).

分析3平方處理，利用四元均值不等式證明.題目要證的式子中含有絕對(duì)值，可以通過(guò)平方去掉絕對(duì)值. 平方后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求乘積的最大值，可以構(gòu)造四元均值不等式.

分析4先降冪化次數(shù)為1，再平方處理，利用四元均值不等式證明. 題目所給函數(shù)表達(dá)式兩個(gè)因式的次數(shù)不統(tǒng)一，可以利用降冪公式把兩項(xiàng)次數(shù)都化為1. 此時(shí)，再通過(guò)平方去掉絕對(duì)值，問(wèn)題再次轉(zhuǎn)為為求乘積的最大值，可以構(gòu)造四元均值不等式.

評(píng)析這兩種解法都蘊(yùn)含兩個(gè)關(guān)鍵思路，一是看到絕對(duì)值想到通過(guò)平方去絕對(duì)值，二是能夠想到均值不等式中“和定積最大”解決最值問(wèn)題. 不同的是，解法3直接平方處理，解法4先降冪再處理.不論哪一種解法，都要求對(duì)三角函數(shù)相關(guān)公式非常熟悉，有較強(qiáng)的運(yùn)算能力才能正確解答. 此外，教材中所學(xué)的是二元均值不等式，這兩種解法都用到四元均值不等式，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力.

評(píng)析該題涉及到三角函數(shù)性質(zhì)，絕對(duì)值處理，數(shù)列累乘，放縮證明不等式等知識(shí)點(diǎn)和相關(guān)方法，綜合性強(qiáng)，難度較大，很好體現(xiàn)了高考的選拔性功能. 在平時(shí)復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)注重夯實(shí)基礎(chǔ)，其次要注意多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的融合，培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.

可以發(fā)現(xiàn)，高考數(shù)學(xué)壓軸題融合的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度大，是最容易體現(xiàn)高考區(qū)分度的題型. 基于對(duì)今年高考題的分析解答，提出如下復(fù)習(xí)建議：

1.重視基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)，強(qiáng)化基本技能訓(xùn)練

基礎(chǔ)知識(shí)是“四基”能力培養(yǎng)和核心素養(yǎng)養(yǎng)成的最重要載體，概念的形成過(guò)程就是數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.因此，要深刻理解相關(guān)知識(shí)的基本概念，理解公式定理的形成過(guò)程，掌握基本方法的適用“題境”，加強(qiáng)審讀問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的訓(xùn)練.

2. 關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

在平時(shí)教學(xué)和學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生正確使用數(shù)學(xué)思想放方法分析問(wèn)題，訓(xùn)練他們抽象概括、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，從多個(gè)方面培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 研究高考命題思路，總結(jié)命題規(guī)律

高考試題是命題專家根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》和考試大綱精心打造的，復(fù)習(xí)中通過(guò)研讀近些年的高考試題，分析理解命題思路、意圖和理念，總結(jié)命題規(guī)律. 通過(guò)研讀高考題，避免大搞題海戰(zhàn)術(shù)，實(shí)現(xiàn)高效備考.