借助切線解決函數(shù)不等式恒成立問題

李 偉

(遼寧省鞍山市第三中學(xué) 114000)

對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)、y=ax(01)、y=sinx,x∈(0，π)等函數(shù)具有以下特征：對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)處的切線總在該曲線的上方.此直觀結(jié)果雖然簡(jiǎn)單明了，但用其解決函數(shù)不等式恒成立等問題時(shí)能起到直觀易懂、事倍功半的效果.下面以三道高考試題作為示例，說明如下.

示例1 (2017年理科全國(guó)二卷21題)已知函數(shù)f(x)=ax3-ax-xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

分析問題(1)，注意到函數(shù)定義域?yàn)閤>0，所以f(x)≥0等價(jià)于以ax2-a-lnx≥0，即ax2-a≥lnx.構(gòu)造函數(shù)g1(x)=lnx,g2(x)=ax2-a.a≤0時(shí)，由函數(shù)g1(x)與g2(x)圖象知，此時(shí)不合題意.a>0時(shí)，注意到g1(x)=lnx任意一點(diǎn)的切線都在曲線上方，g2(x)=ax2-a任意一點(diǎn)的切線都在曲線下方；所以如果函數(shù)g1(x)=lnx、g2(x)=ax2-a的圖象存在共點(diǎn)公切線，則其公切線所確定的a即為所求.

問題(2)證明略.

反思解題關(guān)鍵在于由lnx≤ax2-a，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)g1(x)=lnx，g2(x)=ax2-a，借助g1(x)=lnx，g2(x)=ax2-a存在過兩曲線公共點(diǎn)的公切線，并且兩個(gè)函數(shù)圖象分別在公切線的上、下方，這樣就得到取等號(hào)時(shí)a的值.

示例2 (2018年理科全國(guó)一卷21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

分析問題(1)略.

略解問題(1)答案：遞減區(qū)間(0,2)；遞增區(qū)間(2，+∞).

反思與示例1比較，示例2是求參數(shù)范圍的問題.該題解法與示例1的區(qū)別在于先求出參數(shù)的臨界值(即取等號(hào)的參數(shù)值)，再思考參數(shù)的考取值范圍.

示例3 (2013年理科全國(guó)二卷21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

分析問題(1)略.

對(duì)于問題(2)，f(x)>0即ex>ln(x+m).由于m≤2，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得：ln(x+2)≥ln(x+m)，因此，只需證ex>ln(x+2)①即可.

構(gòu)造函數(shù)g1(x)=ex、g2(x)=ln(x+2).注意到g2(x)=ln(x+2)切線在其曲線上方，g1(x)=ex切線在其曲線下方.由于本題的不等式是大于號(hào)，不可能存在共點(diǎn)公切線，所以不能簡(jiǎn)單運(yùn)用上述示例的方法解決.通過進(jìn)一步的思考可得，如果存在互相平行的切線，也可得①式成立.

由(3)得-x1=ln(x2+2)，

y1-y2=ex1-ln(x2+2)=ex1+x1②.

反思與示例1、2比較而言，示例3中函數(shù)不等式的符號(hào)是“>”，所以不存在共點(diǎn)的公切線.因此借助平行切線的方法來解決.其它解題過程與示例2的求解思考相同.

事實(shí)上，還有很多用此方法可以解決的數(shù)學(xué)問題(如包含正、余弦函數(shù)的問題)，由于上述三種類型基本將其概括，其解題思考也基本雷同，就不過多贅述.

最后，作為這類問題求解的反思，提出以下注記：

一是文章中提出的函數(shù)圖象特征(圖象在其切線上方，或下方)涉及到凸函數(shù)的概念.也就是說，凸函數(shù)是借助函數(shù)圖象在其任意一點(diǎn)的切線上、下方來定義的(見參考文獻(xiàn)[1]).對(duì)于一個(gè)函數(shù)是否是凸函數(shù)的判斷方法是：f″(x)>0(<0)是下(上)凸函數(shù).所以判斷一個(gè)函數(shù)是否是下(上)凸函數(shù)需要兩次求導(dǎo)，判斷正負(fù)即可.雖然高中沒有涉及這些知識(shí)，但對(duì)學(xué)過導(dǎo)數(shù)的高中生來講并不存在學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).

二是運(yùn)用曲線切線的方法解決證明不等式、含參不等式等恒成立問題，其解題思路非常簡(jiǎn)潔直觀、解題思維量很小，特別是對(duì)于同時(shí)含有兩個(gè)超越代數(shù)式(如：ex、lnx、sinx、cosx等)的函數(shù)問題而言，解題即思考的簡(jiǎn)潔性更加突出.

三是處理導(dǎo)函數(shù)問題時(shí)，有時(shí)需要將超越式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，利用此方法，為通過放縮來實(shí)現(xiàn)超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，提供一種很好的思考.

五是運(yùn)用曲線切線不僅能解決凸性相反的不等式恒成立問題，也能解決凸性相同的問題，解題的基本思考是一致的，在此請(qǐng)讀者自行思考，就不舉例說明了.

綜上所述，借助凸函數(shù)與切線關(guān)系解題不僅限于上述三個(gè)示例，也不僅限于上述問題，如解決零點(diǎn)問題，同樣是有效的.總之，這種解題思考有較大的開發(fā)前景，歡迎感興趣的同仁們?nèi)ヌ剿?