三道賽題的有趣推廣

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

此題可以推得以下有趣的推廣命題.

證明由柯西不等式，得

此題可以推得以下有趣的推廣命題.

證明由二元及三元均值不等式，得

說明由推廣命題的證明可以看出，原賽題中的條件x3+y3=2是多余的.

賽題3(2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽高一賽題)如果存在實數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式acosx+bcos2x>1無實數(shù)解，那么實數(shù)b的最大值為____.

此題可以推得以下有趣的推廣命題.

命題設(shè)c為正常數(shù)，如果存在實數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式acosx+bcos2x>c無實數(shù)解，那么實數(shù)b的最大值為c.

證明因為關(guān)于x的不等式acosx+bcos2x>c無實數(shù)解，所以關(guān)于x的不等式acosx+bcos2x≤c的解集為R.

所以取x=0，得a+b≤c；取x=π，得b-a≤c.

兩式相加，即得b≤c.

當b=c時，取a=0，此時原不等式為cos2x>1，顯然無解.所以實數(shù)b的最大值為c.