基于問(wèn)題鏈的《橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

史瓊怡

[教學(xué)內(nèi)容解析]

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)平面解析幾何中的核心內(nèi)容，橢圓的幾何性質(zhì)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程之后，第一次真正意義上感受解析幾何的基本思想——從方程出發(fā)研究橢圓的幾何性質(zhì)，是后續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線的知識(shí)鋪墊、能力基礎(chǔ)和方法指導(dǎo)，是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的典范，也是進(jìn)一步完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、深化數(shù)學(xué)思想方法、提升多種數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體。在本章中起著承上啟下、完善建構(gòu)、形成范例的作用。

[教學(xué)目標(biāo)設(shè)置]

1.初步理解橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);解釋橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的幾何意義;

2.在探究橢圓性質(zhì)的活動(dòng)中，經(jīng)歷從圖形直觀抽象幾何性質(zhì)的過(guò)程，提取出利用代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)的一般方法，建立離心率模型。

[學(xué)生學(xué)情分析]

本節(jié)課的授課對(duì)象是高二學(xué)生，已經(jīng)知道直線和圓的相關(guān)知識(shí)、橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程;理解數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)形轉(zhuǎn)化方法的重要作用，初步感知了解析幾何的基本任務(wù)，具有一定的圖形分析和代數(shù)推理能力。同時(shí)在函數(shù)和不等式的學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)積累了利用等量關(guān)系尋找不等關(guān)系、圖像的對(duì)稱性等研究函數(shù)性質(zhì)的基本經(jīng)驗(yàn)。這些都為本節(jié)課提供了充分的基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法準(zhǔn)備。

[教學(xué)過(guò)程分析]

引言：美國(guó)數(shù)學(xué)教育家克萊茵說(shuō)：解析幾何徹底改變了數(shù)學(xué)的研究方法，即通過(guò)坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題代數(shù)化。而建立曲線方程，便是代數(shù)化的手段之一。前面兩節(jié)課，利用橢圓的定義（是什么？），我們畫出了橢圓的形狀，推導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（是什么？）。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)復(fù)習(xí)回顧，激活作為本節(jié)課邏輯起點(diǎn)的基礎(chǔ)知識(shí);通過(guò)對(duì)解析幾何本質(zhì)的揭示，初步明確本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容。

一、情境引入，明確方向

問(wèn)題1? 除了利用定義，你能根據(jù)橢圓方程畫出它的簡(jiǎn)圖嗎？

[設(shè)計(jì)意圖]中學(xué)數(shù)學(xué)教育的首要任務(wù)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀。通過(guò)畫圖辨圖，與學(xué)生已有的橢圓印象對(duì)比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)而關(guān)注橢圓的一些重要特性，從而明確研究橢圓幾何性質(zhì)的主要內(nèi)容;通過(guò)“為什么”的追問(wèn)，自然引導(dǎo)學(xué)生從方程本身的角度去考慮，從而明確研究的主要方法。

二、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)? 合作探究

問(wèn)題2 一般地，以橢圓為例，你準(zhǔn)備研究它的哪些性質(zhì)？如何研究？

[學(xué)生活動(dòng)]學(xué)生自主探究，感知“幾何性質(zhì)”研究的方向和方法，得出結(jié)論，說(shuō)明理由。

探究1：我們能否從橢圓方程本身來(lái)探討橢圓的范圍呢？

方法提煉：通過(guò)觀察方程形式特點(diǎn)，由方程構(gòu)造不等式，體現(xiàn)了研究幾何問(wèn)題的“代數(shù)”方法，其實(shí)質(zhì)是：已知，求x， y的取值范圍。

探究2：橢圓具有怎樣的對(duì)稱性？能否用代數(shù)法說(shuō)明？

探究3：研究曲線上的某些關(guān)鍵點(diǎn)，可以確定曲線的位置和變化趨勢(shì)。你覺(jué)得該橢圓上會(huì)有哪些關(guān)鍵點(diǎn)？

方法提煉：分析四點(diǎn)的特性，形成頂點(diǎn)的概念.頂點(diǎn)是曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，而不是曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。類比遷移二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)。

[設(shè)計(jì)意圖]根據(jù)上一環(huán)節(jié)的討論，學(xué)生自己列出探究的問(wèn)題（內(nèi)容）目錄，然后自主思考，相互交流，探究結(jié)論.教師適當(dāng)點(diǎn)撥引導(dǎo)，深化認(rèn)識(shí)。范圍和對(duì)稱性的探究，經(jīng)歷了由直觀（圖形）、推理（數(shù)量）、抽象（性質(zhì)）的思維過(guò)程;頂點(diǎn)概念的建立，則是先直觀、后類比、再建模，體現(xiàn)了研究問(wèn)題的方法論思想。

例1：橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)____，短軸長(zhǎng)為_(kāi)_____，頂點(diǎn)坐標(biāo)是__________，

[設(shè)計(jì)意圖]由方程得性質(zhì)，體現(xiàn)了本節(jié)課重要知識(shí)點(diǎn)和研究方法的基本應(yīng)用，以及練習(xí)的反饋和診斷功能。

探究4 請(qǐng)?jiān)趧偛诺淖鴺?biāo)紙上較精確地畫出第二個(gè)橢圓

。

[設(shè)計(jì)意圖]再畫橢圓，讓學(xué)生體驗(yàn)利用性質(zhì)畫圖的必要性和有效性，另一方面也是離心率概念形成的自然過(guò)渡。

問(wèn)題3 觀察所畫橢圓和，它們?cè)谛螤钌嫌惺裁达@著不同？

問(wèn)題3.1? 再嘗試畫橢圓，分析橢圓的圓扁不同是由方程中的哪個(gè)量的變化引起的？

問(wèn)題3.2? 是不是方程中的a，b都改變，橢圓的圓扁程度一定發(fā)生變化？

問(wèn)題3.3? 你認(rèn)為可以用怎樣的一個(gè)關(guān)系式來(lái)定量刻畫橢圓的“圓”和“扁”？

問(wèn)題3.4? 利用基本量a，b，c之間的關(guān)系，還有其他類似的關(guān)系式來(lái)刻畫嗎？

借助幾何畫板演示一系列動(dòng)態(tài)變化的橢圓，提供直觀支持。

[學(xué)生活動(dòng)]直觀觀察，小組討論，合作交流，形成結(jié)論：離心率的定義、范圍、大小對(duì)圓扁程度的影響.經(jīng)歷了形狀變化（觀察）、原因剖析（推理）、數(shù)學(xué)刻畫（對(duì)應(yīng)）、建立模型（抽象）的思維活動(dòng)過(guò)程。

[設(shè)計(jì)意圖]明確開(kāi)放的問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)到引入離心率的目的;由到符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn);教師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生對(duì)離心率刻畫橢圓的圓扁程度的理解更為形象直觀.整個(gè)探究過(guò)程體現(xiàn)了實(shí)物直觀、數(shù)學(xué)抽象、建立模型、形成概念的核心素養(yǎng)。

問(wèn)題3.5? 你能運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)解釋，為什么利用越大，橢圓越扁？

[設(shè)計(jì)意圖]在長(zhǎng)軸不變的情況下，通過(guò)“焦點(diǎn)離開(kāi)中心的程度”直觀感知離心率的大小與橢圓扁平程度的關(guān)系，再?gòu)娜呛瘮?shù)入手，定量研究證明。從具體到抽象再到證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

三、引導(dǎo)建構(gòu)? 完善認(rèn)知

問(wèn)題4 請(qǐng)你寫出焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)填表，一方面讓學(xué)生有條理地梳理、鞏固剛學(xué)過(guò)得橢圓的幾何性質(zhì)，將離散的知識(shí)系統(tǒng)化，便于對(duì)比理解;另一方面，通過(guò)類比已有知識(shí)和方法，歸納得出焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生的思維能力。

四、總結(jié)提升? 形成體系

結(jié)合所學(xué)知識(shí)和知識(shí)的探究過(guò)程談?wù)劚竟?jié)課你有什么收獲？

（1）知識(shí)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率。

（2）方法：代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題;曲線方程研究曲線性質(zhì)。

（3）思想：數(shù)形結(jié)合，方程思想，特殊到一般、類比等。

（4）經(jīng)驗(yàn)：研究圓錐曲線性質(zhì)的一般方法經(jīng)驗(yàn)。

（5）素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理。