安學保

(濟南市教育教學研究院 250002)

1 背景分析

2020年1月，教育部考試中心發(fā)布《中國高考評價體系》，意味著發(fā)軔于2014年的新高考綜合改革正式落地生根，高考評價體系成為了“后考試大綱”時期的命題和考試的實踐指南.

《中國高考評價體系》包含“一核”、“四層”、“四翼”.“一核”為核心功能：“立德樹人、服務選材、引導教學”，回答了“為什么考”的問題；“四層”為考查內(nèi)容：“基礎知識、關(guān)鍵能力、學科素養(yǎng)、核心價值”，回答“考什么”的問題；“四翼”為考查要求：“基礎性、綜合性、應用型、創(chuàng)新性”，回答了“怎么考”的問題.而情境是高考考查的載體，承載考查內(nèi)容，實現(xiàn)考查要求.其中“一核”作為“金線”貫穿始終，能力素養(yǎng)取向為“銀線”，常做常新，“四層”、“四翼”則以情境作為考查的載體，是“金線”和“銀線”的“串聯(lián)線”，緊守“金線”和“銀線”思維.

2019年11月，教育部考試中心依據(jù)新高考評價體系的指標，為山東省命制了適應性考試的試題，傳遞了重要的信號：新高考試題命制將更加重視試題情境的設計和創(chuàng)新，増加試題的開放性和探究性，加強獨立思考能力的考査.創(chuàng)新試題呈現(xiàn)方式，設置多選題、邏輯題、數(shù)據(jù)分析題、結(jié)構(gòu)不良試題、開放題、填空題的一題兩空等新題型，突出數(shù)學應用、滲透數(shù)學文化內(nèi)涵、培養(yǎng)核心價值觀.

2 試題分析

2.1 整體分析

2020年的新高考I卷數(shù)學試題落實立德樹人、服務選材和引導教學的根本任務，在2019年全國卷的基礎上，從考查內(nèi)容、題型結(jié)構(gòu)、試題情境以及難度等多個角度繼續(xù)進行了科學調(diào)控和改革創(chuàng)新，推進試題的價值引領(lǐng)和素養(yǎng)導向.更加重視數(shù)學本質(zhì)，突出理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探索、數(shù)學文化等的引領(lǐng)作用.著重突出對關(guān)鍵數(shù)學能力的考查，充分體現(xiàn)了高考數(shù)學的科學選拔和育人導向的雙重作用.

2.2 新理念、新突破

在《中國高考評價體系》的指導之下，新高考I卷呈現(xiàn)出新的命題理念——價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基，在“四層”“四翼”的考查內(nèi)容和考查要求上都進行了有效的嘗試和突破.

2.2.1 新內(nèi)容

過渡時期的數(shù)學科考試依據(jù)《新高考過渡期數(shù)學科考試范圍說明》，重點關(guān)注實驗版高中數(shù)學課程標準和2017年版數(shù)學課程標準中的公共內(nèi)容，并將這些內(nèi)容確定為過渡時期的數(shù)學科考試的重點內(nèi)容.全面考查基礎知識，注重對主干知識，特別是對與大學教學相銜接內(nèi)容的考查，助推了教、學、考的有機銜接.同時關(guān)注文理同卷的特點，關(guān)注高校對人才的選拔要求和數(shù)學在人才培養(yǎng)中的作用.

2.2.2 新結(jié)構(gòu)

與山東省新高考模擬試卷提供給我們的信息一致，本次試卷創(chuàng)新了題型設計，優(yōu)化了試題結(jié)構(gòu)，采用8個單選題40分，4個多選題20分，4個填空題20分，再加6個解答題70分的結(jié)構(gòu)，總題量22個題，取消了選考題，設置了開放式的解答題.

多選題的引入，為數(shù)學基礎和能力在不同層次的學生提供了發(fā)揮空間，可以更好地體現(xiàn)區(qū)分選拔功能；結(jié)構(gòu)不良試題具有很好的開放性，對數(shù)學理解能力、數(shù)學探究能力的考查能夠起到積極的作用，引導學生更加注重思維的靈活性及策略選擇.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

本題設計了條件開放，同時結(jié)論也開放，增強試題的探究性，考查學生熟練運用正弦定理和余弦定理求解三角形的基本方法，考查學生運算能力.試題難度不高，注重對學生探索精神和自主學習品質(zhì)的考查，優(yōu)化學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

2.2.3 新調(diào)控

由于是山東新高考、文理合卷的第一年，過渡時期的試題命制整體顯現(xiàn)了“低起點、多層次、高落差”等特點.“低起點”體現(xiàn)為試卷在選擇題、填空題、解答題部分分別進行了系統(tǒng)設計，起始題起點低、入口寬，面向全體學生.“多層次”體現(xiàn)為試題的難度設計上重視難度和思維的層次性，給學生提供多種分析問題和解決問題的途徑.“高落差”體現(xiàn)為重視數(shù)學科高考的綜合性、創(chuàng)新性，在試題的難度設計上不僅有層次性，而且在思維的靈活性、深刻性，方法的綜合性、探究性和創(chuàng)造性等方面，科學把握試題的區(qū)分度，發(fā)揮數(shù)學科高考的選拔性功能.

這是《中國高考評價體系》指導新高考數(shù)學試題命制進行的初步嘗試，試題較好地把握了穩(wěn)定與創(chuàng)新、穩(wěn)定與改革的關(guān)系，發(fā)揮了高考數(shù)學的選拔功能和良好的導向作用.

例2(解答題21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

本題第(1)問給定參數(shù)a的值，考查學生對函數(shù)的求導法則和導數(shù)四則運算法則及導數(shù)的幾何意義等基本知識和方法的掌握程度，數(shù)“低起點”、“低層次”的命題設計.第(2)問要求考生利用恒成立的條件求出參數(shù)a的取值范圍，可以考慮直接對a進行分類討論，必要條件探路，構(gòu)造同構(gòu)式，利用指數(shù)、對數(shù)切線不等式進行放縮，或者利用隱值代換等多個角度進行分析、論證.方法靈活，綜合性強，對學生運用函數(shù)和導數(shù)知識尋求正確的運算途徑并進行合理論證的的能力提出了較高的要求.綜合考查邏輯推理、運算求解等關(guān)鍵能力，是“多層次”、“高落差”的命題設計，彰顯試題區(qū)分和選拔的功能.

2.2.4 新情境

新高考I卷將“四層”的考查內(nèi)容、“四翼”的考查要求與國家經(jīng)濟社會發(fā)展、科學技術(shù)進步、生產(chǎn)生活實際緊密相連，創(chuàng)新試題情境.全卷22道試題中，除了數(shù)學課程學習情境、數(shù)學探索創(chuàng)新情境外，共出現(xiàn)了7道生活實踐情境的題目，突出“應用性”和“創(chuàng)新性”的考查要求和命題導向.

(1)結(jié)合“戰(zhàn)疫”真實情境，考查數(shù)學建模能力

例3(單選題第6題)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT．有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln 2≈0.69)

A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天

本題以新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)的數(shù)學模型的研究成果為試題情境，考查指數(shù)運算、對數(shù)運算法則，以及從資料中提取信息的能力、運算求解能力、數(shù)學建模能力.

解答題的第19題，也通過數(shù)學模型的形式，在考查學生獨立性檢驗的相關(guān)知識和方法的同時，考查學生能在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，能對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題.

(2)突出學科綜合情境，考查數(shù)學探究能力

例4(多選題第12題)信息熵是信息論中的一個重要概念，設隨機變量X所有可能的取值為1,2,…,n，且

A．若n=1，則H(X)=0

B．若n=2，則H(X)隨著p1的增大而增大

D．若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m，且P(Y=j)=pi+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，則H(X)≤H(Y).

本題的情境為信息論中的重要概念信息熵，注重了數(shù)學與其他學科的綜合與交叉，作為開放式的多選題，對學生思維的考查更加深入，區(qū)分更加精細.本題重點考查對數(shù)運算性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)和概率的相關(guān)知識，對學生獲取新知識的能力，對新問題的理解和探究能力，邏輯推理能力做了重點考查.

當n=1時，H(X)=1·log21=0，很容易確定選項A正確，可以輕松拿到3分作為“保底”分數(shù)，從而提高了作為多選題壓軸題的得分率.但是要想拿到滿分5分，則需要較強的綜合能力和耗費更多的時間，學生可以根據(jù)自身的具體情況，選擇保分策略或是得分策略，所以非常有利于區(qū)分高能力的考生.這也是新高考試題“低起點、多層次、高落差”特征的又一體現(xiàn).

(3)重視中華傳統(tǒng)文化情境，考查閱讀理解和空間想象能力

單選題的第4題，在2019年的“斷臂維納斯”的基礎上，繼續(xù)創(chuàng)新情境，設計了中國古代測定時間的儀器——日晷，突出中國古代智慧，傳揚中華傳統(tǒng)文化，提升民族自豪感.題目閱讀量大，放在試卷的這個位置，同時考查學生的心理抗壓能力.

例5日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成的角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面，在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成的角為( )

A.20° B.40° C.50° D.90°

本題是將古代測定時間的儀器——日晷的設計原理作為試題情境，以空間中的線線關(guān)系、線面關(guān)系、空間線面角的概念作為知識載體，考查學生的閱讀理解能力、理性思維能力和空間想象能力.

理性思維是指按照對象本身的規(guī)律來認識對象，不受制于無關(guān)因素的干擾，以概念、判斷、推理的方式進行邏輯的思考，從而得出概念清晰、邏輯嚴密的結(jié)論.本題只要能理解題意中表述的各種線與面之間的關(guān)系，并能根據(jù)條件做出正確圖形，能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，能對圖形進行分解、組合，會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)，就可以口算出答案.本題重思維能力的考查，輕計算，對學生是一個不小的“考驗”.

(4)創(chuàng)設“五育”情境，實現(xiàn)價值引領(lǐng)

試題重視落實“立德樹人”的根本任務，繼續(xù)發(fā)揮數(shù)學文化情境育人的價值，“五育”并舉，重視全面育人.

單選題第5題以中學生積極參加體育鍛煉為情境，考查相對簡單的集合運算，體現(xiàn)了對學生的體育教育的積極的導向作用.提升學生的健康和運動意識，吸引學生積極參加體育鍛煉，享受運動中的樂趣，增強體質(zhì)，健全人格.

填空題第15題，將平面幾何問題融入到“勞動實習”這一社會生產(chǎn)勞動實踐情境中，在考查幾何知識的同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，發(fā)揮高考試題在培養(yǎng)勞動觀念中的引領(lǐng)作用，引導學生弘揚勞動精神.

生活實踐情境是需要學生將問題情境與學科知識、方法建立聯(lián)系，應用學科工具解決問題.生活實踐情境關(guān)注與其他學科和社會實踐的關(guān)聯(lián)，是考查學生數(shù)學應用素養(yǎng)、理性思維素養(yǎng)和數(shù)學文化素養(yǎng)的重要載體.

2.2.5 新導向

《中國高考評價體系》要求高考命題堅持素養(yǎng)導向.數(shù)學試題要以數(shù)學基礎知識為載體，重點考查學生的理性思維素養(yǎng)、數(shù)學應用素養(yǎng)、數(shù)學探索素養(yǎng)和數(shù)學文化素養(yǎng).理性思維是在理解數(shù)學概念、數(shù)學思想方法、本質(zhì)規(guī)律以及內(nèi)部聯(lián)系的基礎上，將其“靈魂”內(nèi)化的結(jié)果.試卷中多個題目的設計直擊數(shù)學核心概念，突出數(shù)學本質(zhì).

(1)通過探尋數(shù)學本質(zhì)，考查運算求解能力

(1)求C的方程；

(2)點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

2020年新高考I卷將傳統(tǒng)的解析幾何問題設置在了壓軸題的位置，突出核心知識和常規(guī)方法的考查.本題以橢圓知識為背景，通過橢圓上的定點，構(gòu)造以該定點為直角頂點的橢圓內(nèi)接三角形(一般稱為富瑞吉定理)設計試題情境，考查橢圓的幾何性質(zhì)、解析幾何的幾何背景及幾何關(guān)系的理解和解析.本題考查的關(guān)鍵能力有邏輯思維能力、數(shù)學運算能力和創(chuàng)新能力.

理性思維是按照數(shù)學對象本身的規(guī)律來認識數(shù)學對象，即不受制于無關(guān)因素的干擾，以概念、判斷、推理的方式進行邏輯的思考，從而得出概念清晰、邏輯嚴密的結(jié)論.解析幾何是其重要的考查載體，對算理分析、算法優(yōu)化的要求非常高.通過運算尋找?guī)缀侮P(guān)系，探尋數(shù)學問題的本質(zhì).

(2)借助數(shù)學核心概念，考查空間想象能力

例7(解答題20題)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l.

(1)證明：l⊥平面PDC；

(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

本題設計在四棱錐(《九章算術(shù)》稱“陽馬”)中探求兩平面的交線，以及直線與平面的位置關(guān)系.考查學生對兩平面交線的概念和基本性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理、線面角的定義和求法等知識和方法的掌握和應用.本題對學生的空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力等關(guān)鍵能力做了重點考查，同時對數(shù)學語言表達能力的邏輯性和條理性提出了較高的要求.

本題第(1)問的關(guān)鍵是抓住“兩平面的交線”的概念，抓住l必定過P點及一定與AD(或BC)平行，即可輕松搞定.與模擬卷第19題考查異面直線公垂線的概念的命題思路類似，試題更注重考查數(shù)學概念和數(shù)學本質(zhì)，甄別學生的素養(yǎng)導向.

試卷中的填空題16題，結(jié)合底面為菱形的直四棱柱，考查球與平面的交線問題，對“交線”這一概念的理解和應用同樣是破解此題的關(guān)鍵.

3 教學建議

新高考數(shù)學試題(新高考I卷)在山東省新高考模擬卷的基礎上，為我們更清晰地指明了《中國高考評價體系》指導下的高考命題的“新規(guī)則”.

高考命題已經(jīng)實現(xiàn)了改革上的突破，原有的復習套路、試題類型已經(jīng)不適應改革的要求.在《中國高考評價體系》的指導下，“反刷題、反套路、反押題”將是新高考數(shù)學試題一以貫之的主題.新高考的復習備考要培養(yǎng)學生解決“新題”、“長題”、“難題”的能力，要重視獨立思考、邏輯推理、數(shù)學應用、數(shù)學閱讀與表達等關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，不要盲目追求題量，而要注重引導學生經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生過程，以及問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的全過程，充分挖掘典型問題的內(nèi)在價值與遷移功能，培養(yǎng)學生思維的靈活性與創(chuàng)新性.

我們解決數(shù)學問題，是為了更好的理解數(shù)學，而理解數(shù)學，也是為了更好的解決數(shù)學問題.理解數(shù)學意味著讓學生知其然，知其所以然，何以知其所以然，何以由然.《中國高考評價體系》指導下的新高考數(shù)學教學和復習備考，要關(guān)注數(shù)學概念的理解，關(guān)注數(shù)學本質(zhì)的探求，強化數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性.關(guān)注數(shù)學情境，關(guān)注學生從“解題”到“解決問題”的能力的培養(yǎng).