李學(xué)生
【摘? 要】分析了經(jīng)典角動量守恒定律不具有伽利略變換的不變性,重新表述了角動量守恒定律,使其滿足力學(xué)相對性原理。
【關(guān)鍵詞】矢量法;角動量守恒定律;角動量定理;力學(xué)相對性原理
1.經(jīng)典角動量守恒定律不滿足伽利略變換
例1如圖,有一質(zhì)量為m的小球(視為質(zhì)點(diǎn)),在輕繩(忽略質(zhì)量)的牽制下,在光滑的地面上繞O點(diǎn)做勻速(速率為v)圓周運(yùn)動,如果忽略地面和空氣摩擦阻力,
問:小球在地面系和沿x 軸勻速運(yùn)動的小車(設(shè)小車的速度為u)坐標(biāo)系(O1-x1y1),角動量守恒定律是否都成立?
解析:地球質(zhì)量視為充分大,故穩(wěn)定地保持為慣性系。
(1)在地面系——設(shè)初相為0,v=ωR,x=Rcosωt,y= R sinωt;x'=-Rωsinωt,y'= Rωcosωt;
fx=m x"= -mRω2cosωt,fy=m y"= -mRω2sinωt。
=0,質(zhì)點(diǎn)對圓心的角動量大小為mR2ω,方向不變,角動量守恒定律成立。
(2)小車系。將運(yùn)動方程作伽利略變換,寫出小車系運(yùn)動方程:
x1=x-ut=Rcosωt-ut,y1= y=R sinωt;x'1= x'-u=-Rωsinωt-u,y'1= y'= Rωcosωt;
p=mv=(-mRωsinωt-mu,mRωcosωt,0),r=( Rcosωt-ut,R sinωt,0),
fx=m x"= -mRω2cosωt,fy=m y"= -mRω2sinωt。
L1=r1p1=(0,0,mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt),L1'=(0,0,utmRω2sinωt),
M1= r1f=(0,0,utmRω2sinωt)。
根據(jù)上面的計(jì)算可以得出,角動量、合力矩不具有伽利略變換的不變性,經(jīng)典角動量守恒定律也不具有伽利略變換的不變性,即不滿足力學(xué)相對性原理,文獻(xiàn)[1~4]也說明了這個問題。伽利略相對性原理僅指經(jīng)典力學(xué)定律在任何慣性參考系中數(shù)學(xué)形式不變——所有慣性系都是等價(jià)(平權(quán))的。因?yàn)榱W(xué)相對性原理要求所有的慣性系等價(jià),同一個物理過程在靜止慣性參照系角動量守恒,在運(yùn)動慣性參照系角動量不守恒,這是力學(xué)相對性原理所不允許的。在同一個坐標(biāo)系中,質(zhì)點(diǎn)即使受到有心力的作用,對某個作用點(diǎn)角動量守恒,對另一個作用點(diǎn)也可能不守恒,因?yàn)榇藭r(shí)合力矩不再為0,因此經(jīng)典角動量守恒定律也不具有普適性,需要進(jìn)行重新表述。
2.對于角動量守恒定律表述的重新思考
筆者認(rèn)為,作為力學(xué)定律(或者力學(xué)定理)必須具有普遍性,不具有協(xié)變性的命題不能稱之為力學(xué)定律(或者力學(xué)定理),不能等同于一般的真命題,對于某一個確定的物理過程,在一個慣性系成立,在另一個慣性系也必須成立(在這里所說的成立不僅包括命題的條件成立,結(jié)論也必須成立,即滿足協(xié)變性的要求)。經(jīng)典角動量守恒定律不能滿足這個要求,而且在很多情況下質(zhì)點(diǎn)受到的合力矩不等于0,因此有必要重新表述角動量守恒定律,使其滿足上述要求[5]。在創(chuàng)立狹義相對論時(shí),愛因斯坦利用了洛侖茲變換的不變性,而在創(chuàng)立廣義相對論時(shí),他把變換不變性提升為物理學(xué)的普遍原理,并從引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量等同這一經(jīng)驗(yàn)事實(shí)出發(fā),把某種變換不變性作為表示空間結(jié)構(gòu)四維性和對稱張量的引力方程的前提。洛倫茲說過:“愛因斯坦把方法倒了過來,他不是從已知的方程組出發(fā)去證明協(xié)變性是存在的,而是把協(xié)變性應(yīng)當(dāng)存在這一點(diǎn)作為假設(shè)提出來,并且用它演繹出方程組應(yīng)有的形式?!?/p>
把角動量定理兩邊同時(shí)積分可以得到角動量定理的積分形式——質(zhì)點(diǎn)對于某一點(diǎn)(或某軸)的角動量與該點(diǎn)受到的合力矩對于時(shí)間的積分之差不變,
即
該命題與角動量定理的微分形式是等價(jià)命題,具有伽利略變換的不變性,滿足力學(xué)相對性原理。
下面類比機(jī)械能中勢能概念我們引入角動量勢的概念——
定義:質(zhì)點(diǎn)對于某一點(diǎn)(或某軸)受到的合力矩對于時(shí)間積分稱之為角動量勢,
記為
角動量守恒定律——對于任何參照系,質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中對于某一點(diǎn)(或某軸)的角動量與角動量勢之差不變,L(t)- N(t)= L(t0)=const。
這樣表述角動量守恒定律與角動量定理積分形式比較,只是改變了一個物理量的名稱,所以對于所有慣性系都成立,是經(jīng)典角動量守恒定律的一個推廣。對于非慣性系只要引入慣性力矩,推廣后的角動量守恒定律依然成立,符合愛因斯坦的思想——物理規(guī)律對于所有的觀察者都相同。
類似地,動量守恒定律表述為——對于任何參照系,一個系統(tǒng)的動量與合外力沖量差是一個常數(shù)。動量類比上面的角動量,合外力沖量類比角動量勢。
文獻(xiàn)[6]證明了動量定理對于所有參照系都協(xié)變,動量守恒定律對于所有慣性系守恒條件協(xié)變,對于非慣性系不協(xié)變;角動量守恒定律對于慣性系也不協(xié)變。重新表述角動量守恒定律、動量守恒定律后分別是角動量定理、動量定理的等價(jià)形式,自然符合相對性原理的要求。
在機(jī)械能方面,保守力作用下系統(tǒng)的拉格朗日量定義為動能與勢能之差:,與此類似。在均勻時(shí)空下,體系的拉氏函數(shù)就反映了體系運(yùn)動的能量。于是,我們可以這樣理解:當(dāng)一個體系處于外場中,設(shè)法消除外場的影響,使之處于局部均勻的時(shí)空時(shí),體系所具有的運(yùn)動能量就是拉格朗日函數(shù)。類似地,當(dāng)一個體系處于外場中,設(shè)法消除外場的影響,使之處于局部均勻時(shí)空時(shí),體系所具有的運(yùn)動動量就是系統(tǒng)的動量與合外力沖量之差;體系所具有的運(yùn)動旋轉(zhuǎn)量就是系統(tǒng)的角動量與角動量勢之差。
牛頓講:“大自然總是喜歡變化與快樂?!弊兓豢赡苤挥幸粋€物理量發(fā)生變化,在變化過程中幾個物理量之間以某種關(guān)系保持守恒,在變化過程中找尋不變量應(yīng)當(dāng)是物理學(xué)的重要任務(wù)之一。在物理學(xué)中,發(fā)現(xiàn)任何一個能概括許多現(xiàn)象的守恒量都是令人欣喜的事。趙凱華認(rèn)為:“研究一個規(guī)律的表述所具有的對稱性,并設(shè)法消除某種不對稱因素,從而使其規(guī)律的表述具有更多的對稱性,這無疑是有重要意義的。因?yàn)樗粌H滿足人類對于美(對稱,和諧)的心理追求,而且更重要的是使表述的規(guī)律具有更大的普遍性。
朗道的力學(xué)中說:“如果系統(tǒng)整體相對參考系K′靜止,則V是系統(tǒng)質(zhì)心的速度,而μV是系統(tǒng)相對于參考系K的總動量P,進(jìn)而有M=M+R×P。就是說,力學(xué)系統(tǒng)的角動量是由其相對靜止的參考系中的“內(nèi)稟角動量”和整體運(yùn)動的角動量R×P構(gòu)成。筆者認(rèn)為朗道所指的整體運(yùn)動的角動量就是角動量勢,在這里多出一個物理量——角動量勢,類似于在某參考系觀察一個靜止電荷,它只激發(fā)靜電場,只需用標(biāo)勢ψ描述,但是變換到另一參考系時(shí),電荷是運(yùn)動的,除了電場之外還有磁場,必須用A和ψ描述。在上面勻速圓周運(yùn)動的實(shí)例中,對于小車系而言mR2ω是內(nèi)稟角動量,整體運(yùn)動的角動量——角動量勢umRsinωt-utmRωcosωt,角動量為mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt,角動量與角動量勢之差為mR2ω,這個守恒量是對于所有的參照系相同,只與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。
在上面的命題中,當(dāng)合力矩也等于0時(shí),便是經(jīng)典角動量守恒定律,符合對應(yīng)原理要求,即經(jīng)典角動量守恒定律是上述命題的一個特例,經(jīng)典角動量守恒定律在運(yùn)動系需要增加一個物理量——角動量勢,對于固有參照系這一項(xiàng)正好為0。在地球繞日運(yùn)動的橢圓軌道中,以太陽為參照系角動量守恒,以相對于太陽勻速運(yùn)動的參照系看來角動量不守恒,但是角動量與角動量勢之差守恒。容易驗(yàn)證在上面的勻速圓周運(yùn)動中,考察上述命題顯然滿足伽利略變換的不變性。假設(shè)把單擺固定在地面上,在地面上有一輛勻速運(yùn)動的小車,在小車系看來擺錘的角動量不守恒,但是角動量與角動量勢之差守恒。角動量守恒定律不但與參考系無關(guān)(對于非慣性系考慮慣性力力矩即可),而且與參考點(diǎn)無關(guān)。本文驗(yàn)證了相對性原理和單獨(dú)的協(xié)變性是一回事,文獻(xiàn)[7~11]的觀點(diǎn)是完全錯誤的。
3.力學(xué)中三大守恒定律的比較
動量守恒定律、角動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律之間的類比——動量、角動量類似于動能,沖量、角動量勢類似于勢能。動能和勢能可以變化,但是機(jī)械能不變;同理對于不同的參照系,動量和沖量可以相互轉(zhuǎn)化,角動量和角動量勢可以變化,但是它們的差不變。區(qū)別:對于不同的參照系,機(jī)械能的守恒量不相同,但是動量和沖量只差保持不變。同理角動量與角動量勢之差的守恒量不變,因?yàn)樗枋龅氖琴|(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)特性,對于不同的慣性系,旋轉(zhuǎn)特性相同,該旋轉(zhuǎn)量對于不同的慣性系都成立,所以在狹義相對論框架內(nèi)角動量守恒定律也是成立的。三大守恒定律表述形式既相似也有別,這是對稱的絕對性和相對性的表現(xiàn)形式。地球圍繞太陽公轉(zhuǎn),以太陽為參考點(diǎn),地球看做質(zhì)點(diǎn)的話,受到的合力矩為0,可是事實(shí)上地球并不是質(zhì)點(diǎn),其內(nèi)部存在著其他力,因此地球的公轉(zhuǎn)的角動量應(yīng)該稍微減少,不過日—地軌道角動量是十分巨大的,相比之下地球的自轉(zhuǎn)角動量十分渺小,不容易觀察而已。對稱性原理在上述研究工作中起著重大作用,它能使我們從事物之間的聯(lián)系上考慮問題,從而使我們迅速抓住問題的實(shí)質(zhì)?!?/p>
在牛頓力學(xué)理論中,質(zhì)點(diǎn)的動量和能量是兩個彼此獨(dú)立的物理量,動量守恒定律、能量守恒定律是兩個彼此獨(dú)立的定律;可是在狹義相對論中,質(zhì)點(diǎn)的動量和能量緊密結(jié)合成四維動量,因而動量守恒定律、能量守恒定律合并成能量—動量守恒定律,亦即四維動量守恒定律。牛頓力學(xué)理論中容許超距力(在彈簧振子和單擺問題中彈力雖然是接觸力,但是由于力源不是研究對象,仍然按超距力處理),須引入勢能,可是在狹義相對論中,不存在超距力,只有接觸作用,不需引入勢能。狹義相對論的能量—動量守恒定律特別適用于研究基本粒子之間,包括湮滅、創(chuàng)生等現(xiàn)象在內(nèi)的反應(yīng),而牛頓力學(xué)理論的動量守恒定律、能量守恒定律與質(zhì)量守恒定律無法研究這些反應(yīng)。類似地,在狹義相對論中無需引入沖量和角動量勢的概念,因此牛頓力學(xué)中的動量守恒定律、角動量守恒定律與狹義相對論中動量守恒定律、角動量守恒定律的表述有一定的區(qū)別。愛因斯坦講:“物理學(xué)構(gòu)成一種處在不斷進(jìn)化過程中的思想邏輯體系?!?/p>
參考文獻(xiàn)
[1]高炳坤.用伽利略變換審視牛頓力學(xué).大學(xué)物理,2010年第29卷第6期:1~2,8.
[2]易雙萍.不同慣性系中的力學(xué)規(guī)律.工科物理(現(xiàn)名:物理與工程),1998年第8卷第5期:18~22.
[3]顧國鋒.力學(xué)守恒定律的相對性.桂林市教育學(xué)院學(xué)報(bào)(綜合版),1995年第三期:76~78.
[4]唐淑凡.力學(xué)量的守恒性與力學(xué)定律的不變性.婁底師專學(xué)報(bào),1986(3):59~64.
[5]劉一貫.關(guān)于機(jī)械能守恒定律的協(xié)變性.華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1985(1):155~157.
[6]章鵬.非慣性系中的動量定理和動量守恒定律.重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào),第16卷第1期,1994(3):99~102.
[7]朱如曾.相對論力學(xué)中普遍定律的實(shí)用判別法和協(xié)變集的實(shí)用構(gòu)造法.力學(xué)與實(shí)踐,2002年第24卷第3 期: 70~71.
[8]朱如曾.相對性原理及其對自然界定律的協(xié)變性要求——機(jī)械能守恒定律協(xié)變性疑難的解答.大學(xué)物理,2000(2):15~19,26.
[9]朱如曾.相對性原理對普遍定律和非普遍定律參考系變換性質(zhì)的不同要求——關(guān)于協(xié)變性疑難的進(jìn)一步討論.大學(xué)物理,2002(3):19~23.
[10]趙凱華.編者的話.大學(xué)物理,2002(3):18.
[11]趙凱華.澄清對相對論性原理和協(xié)變性的誤解.大學(xué)物理,2020年1月:12~13.