上海市行知中學(xué)(201999) 范廣哲 胡昊劼

柯西不等式是數(shù)學(xué)中最重要的不等式之一，其應(yīng)用特別廣泛，在大學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常起到非常關(guān)鍵的作用，如數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、概率論、向量代數(shù)等分支中;在高中數(shù)學(xué)中同樣有著非常廣泛的應(yīng)用，如不等式證明、函數(shù)求最值、解方程組等.柯西不等式的應(yīng)用對(duì)培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著非常重要的作用，同時(shí)也將有助于提高學(xué)生們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，進(jìn)而解決問題的能力.

柯西不等式在高校自招數(shù)學(xué)題中也是頻頻出現(xiàn)，每次出現(xiàn)都能起到不同凡響的效果.本文列舉的高校自招題都可以用柯西不等式的方法解決，闡述柯西不等式的奇思妙用，僅供讀者參考和借鑒.部分題目來源于文獻(xiàn)[1]，另外部分題目來源網(wǎng)絡(luò).其中部分題目也有很多其它方法，讀者可自行思考.

首先，給出柯西不等式的表達(dá)形式，如下:

柯西(Cauchy) 不等式若a1,a2,··· ,an ∈R;b1,b2,··· ,bn ∈R，則

當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai(其中λ ∈R,i=1,2,··· ,n)時(shí)等號(hào)成立.

特別地，若a1,a2,··· ,an;b1,b2,··· ,bn是兩組非零實(shí)數(shù)，取等條件即為

柯西不等式的幾個(gè)重要推論:

1.特別地，當(dāng)bi=1(i=1,2,··· ,n) 時(shí)，柯西不等式為:進(jìn)一步地，若ai ∈R+(i=1,2,··· ,n)，則

3.當(dāng)ai,bi ∈R+(i=1,2,··· ,n)時(shí)，則

柯西不等式有很多種證明方法，本文不再贅述.柯西不等式的上述幾個(gè)推論在本文也有所體現(xiàn)，這些結(jié)論對(duì)于解題來說非常重要，能夠帶給解題人意想不到的聯(lián)想與收獲.在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，要重視及時(shí)歸納總結(jié).二元與三元柯西不等式一直是高校自主招生中考查的熱點(diǎn)，本文列舉幾例近年高校自招題以此體現(xiàn)柯西不等式的妙用.

類型一: 二元柯西不等式

二元柯西不等式的應(yīng)用范圍非常廣泛，本節(jié)的舉例主要是與求函數(shù)最值相關(guān)，要注重構(gòu)造柯西不等式的形式.另外等號(hào)成立的條件也需要驗(yàn)證.

例1(2019年北大暑期學(xué)堂測(cè)驗(yàn)) 實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=x2+y2+z2=2，求xyz的最大值和最小值.

分析題目條件為兩個(gè)方程，首先考慮消元法，把所求表達(dá)式化成知含有一個(gè)未知量的形式，最后歸結(jié)求解函數(shù)最值問題.但本題特別要注意未知量取值范圍，考慮利用柯西不等式求解.

解析由題可得，x+y=2-z，x2+y2=2-z2.由柯西不等式得，(2-z2)(1+1)≥(2-z)2，解得由于因而f(z)=xyz=z(z-1)2=z3-2z2+z.由f′(z)=0 可得，或z=1.因而，f(z)mⅰn=f(0)=f(1)=0，

例2(2017年北大暑期學(xué)堂測(cè)驗(yàn)) 求函數(shù)f(x)=的最大值.

分析本題是一道求函數(shù)最值問題，觀察其形式具有根號(hào)，首要考慮其定義域，由于兩根號(hào)里面之和是定值，由此可拼湊成二元柯西不等式的形式.本題亦可使用均值不等式方法.

解析由柯西不等式可得:

50=[(x-6)+(31-x)](1+1)≥當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.解得符合6 ≤x≤31.可得，因而

例3(2013年中科大自招) 求函數(shù)f(x)=的最大值.

分析本題是一道求函數(shù)最值問題，觀察其形式含有x和x2的項(xiàng)，由此可拼湊成二元柯西不等式的形式.

解析由柯西不等式可得:

類型二: 三元柯西不等式

三元柯西不等式的應(yīng)用極為廣泛，特別是在三元不等式求解最值問題時(shí).本節(jié)列舉幾例來說明三元柯西不等式在解題中的運(yùn)用.若條件和求證表達(dá)式具有對(duì)稱性，這時(shí)可先嘗試考慮當(dāng)題目中所有元相等時(shí)，并求出其值，驗(yàn)證結(jié)論的等號(hào)是否成立，若成立，則在運(yùn)用不等式方法求解過程具有一定的啟發(fā)作用.

例4(2018年清華大學(xué)自招試題)已知x≥0,y≥0,z≥0，且滿足4x2+4y2+z2+2z=3，求5x+4y+3z的最大值.

注本題原題是一道求解最大值與最小值的問題，本文只考慮最大值的情況.

分析本題是一道非常典型的三元最值問題，條件形式要注意把含z的項(xiàng)構(gòu)造成平方形式，再運(yùn)用三元柯西不等式求解.

解析由柯西不等式可得，

例5(2016年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自招試題)已知a,b,c ∈R+，a+b+c=3，證明:

分析本題所需證明的表達(dá)式具有一定的對(duì)稱性.問題關(guān)鍵是如何構(gòu)造變形表達(dá)式使其與題目條件建立適當(dāng)?shù)穆?lián)系，進(jìn)而達(dá)到放縮的目的.

證明由柯西不等式得，

由二元均值不等式，a+b≥當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)同時(shí)成立.進(jìn)一步可得，3=a+b+c≥因而

例6(2013年北京大學(xué)金秋營試題)已知x,y,z ∈R+，且滿足x+y+z=3，證明:

分析本題具有一定的難度，但由于其結(jié)論形式具有輪換對(duì)稱性，可以考慮分離求解.如何把結(jié)論的表達(dá)形式變形使其與條件建立聯(lián)系是本題的難點(diǎn)，這就需要解題時(shí)進(jìn)行適當(dāng)拼湊嘗試，當(dāng)一次變形無法到預(yù)期效果，嘗試進(jìn)行多次使用不等式，但要驗(yàn)證兩次等號(hào)時(shí)的條件是否一致.

證明由柯西不等式可得，

由于xy+yz+zx≤=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1 時(shí)等號(hào)成立.代入可得

例7(2013年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自招試題) 已知α,β,γ ∈且滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1，證明: tanαtanβtanγ≥

分析本題是一道三角不等式的證明題.考慮分析法，首先從結(jié)論出發(fā)，切化弦，再把正弦化余弦，整理發(fā)現(xiàn)后其形式和條件可以構(gòu)造三元柯西不等式的形式，然后再把思考的過程逆向?qū)懗黾礊榻忸}過程.當(dāng)然也可以考慮換元，進(jìn)而把表達(dá)形式變得更為簡單.

證明由柯西不等式可得，

(1-cos2α)(1-cos2β)(1-cos2γ)≥8cos2αcos2βcos2γ,即sⅰn2αsⅰn2βsⅰn2γ≥8cos2αcos2βcos2γ,因而，(tanαtanβtanγ)2≥8.由于α,β,γ ∈因而tanαtanβtanγ ＞0，可得tanαtanβtanγ≥