磨光化方法在數(shù)值微分中的應(yīng)用*

向曉燕，徐會林，肖宇輝

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 江西 贛州 341000)

1 引言

數(shù)值微分, 即利用函數(shù)在一些離散點(diǎn)上的測量值近似求其導(dǎo)數(shù),是一類典型的不適定問題[1].眾所周知,測量數(shù)據(jù)不可避免的會帶有誤差,這就使得近似導(dǎo)致的計(jì)算誤差可能是任意大的.為克服數(shù)值微分問題的不適定性,尤其是這種不穩(wěn)定性,必須引入求解不適定問題的穩(wěn)定化算法.常見的穩(wěn)定化算法有正則化方法[2-3]、有限差分法[4]、積分算子法[5]、磨光化方法[6]等.

磨光化方法是在求導(dǎo)之前對函數(shù)進(jìn)行磨光,然后對磨光后的函數(shù)直接求導(dǎo)得到函數(shù)近似導(dǎo)數(shù)的一種方法.磨光可以去除待求導(dǎo)函數(shù)的高頻噪聲,保證近似導(dǎo)數(shù)的穩(wěn)定性.這里的磨光一般是借助與核函數(shù)的卷積實(shí)現(xiàn)的,高斯核函數(shù)就是常用的磨光核函數(shù)[7].

本文首先在已有磨光化方法理論的基礎(chǔ)上,分別在2種范數(shù)(∞范數(shù)和L2范數(shù))下給出磨光核函數(shù)的通用選取準(zhǔn)則以及相應(yīng)近似導(dǎo)數(shù)的誤差估計(jì)；其次,給出了2種磨光核函數(shù)的具體取法以及相應(yīng)近似導(dǎo)數(shù)的誤差估計(jì)；最后,通過數(shù)值算例說明了磨光化方法的可行性及數(shù)值有效性,并對2種磨光核函數(shù)的取法進(jìn)行了比較實(shí)驗(yàn).

2 磨光化方法

在介紹磨光化方法之前,首先給出磨光核函數(shù)的定義.

考慮函數(shù)f(x)的擾動數(shù)據(jù)fδ(x),則有

(1)

(2)

另一方面,我們有

(3)

由(2)和(3)式可得

(4)

接下來將在L2范數(shù)下估計(jì)近似導(dǎo)數(shù)Rσfδ(x)的誤差.引入變換的定義:

證明首先,近似導(dǎo)數(shù)Rσfδ(x)在L2范數(shù)下的誤差滿足:

(5)

計(jì)算可得

由F[f′]=itF[f]可知

(6)

由(5)和(6)式可知

(7)

3 磨光核函數(shù)的取法

除了正則化參數(shù)σ的選取外,磨光核函數(shù)的取法也起著至關(guān)重要的作用,最常見的取法是高斯核函數(shù),參見文獻(xiàn)[6-7].事實(shí)上,只要磨光核函數(shù)的取法滿足定理1或定理2的條件,就可以得到近似導(dǎo)數(shù)的誤差估計(jì)以及正則化參數(shù)的先驗(yàn)取法.接下來將驗(yàn)證高斯核函數(shù)滿足定理1和定理2的條件.此外,還將給出磨光核函數(shù)的另一種取法——有理核函數(shù),并證明其也滿足定理1和定理2的條件.

3.1 高斯核函數(shù)

因此,由定理1及定理2可知

3.2 有理核函數(shù)

將區(qū)間(0,+∞)分成(0,1)和[1,+∞)兩個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論:

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮函數(shù)f(x)=sin(πx)k,x∈[0,1],則f′(x)=kπkxk-1cos(πx)k.對f(x)添加服從均勻分布的隨機(jī)噪聲得擾動數(shù)據(jù),即fδ(x)=sin(πx)k+δ·rand(x),x∈[0,1].不難發(fā)現(xiàn),k的取值越大,函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)的震蕩性也越強(qiáng).下面,我們將分別對高斯核函數(shù)和有理核函數(shù)的磨光化方法考察近似導(dǎo)數(shù)的數(shù)值有效性.

表1 當(dāng)參數(shù)k和誤差水平δ取值不同時(shí),兩種磨光核函數(shù)對應(yīng)近似導(dǎo)數(shù)的相對誤差

考慮高斯核函數(shù)磨光,當(dāng)δ=0.001,k=3,4,5時(shí),圖1給出了精確導(dǎo)數(shù)與近似導(dǎo)數(shù)的圖像,從中可以看出,無論精確導(dǎo)數(shù)的震蕩性有多強(qiáng),近似導(dǎo)數(shù)總能很好的逼近精確導(dǎo)數(shù).

圖1 當(dāng)δ=0.001,k=3,4,5時(shí),精確導(dǎo)數(shù)與高斯核函數(shù)磨光得到的近似導(dǎo)數(shù)的圖像

5 總結(jié)

在求解數(shù)值微分問題的磨光化方法中,本文分別在2種范數(shù)(∞范數(shù)和L2范數(shù))下給出了磨光核函數(shù)的通用選取準(zhǔn)則以及相應(yīng)近似導(dǎo)數(shù)的誤差估計(jì).在此基礎(chǔ)上,給出了2種滿足要求的磨光核函數(shù):高斯核和有理核函數(shù).數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了磨光化方法的數(shù)值穩(wěn)定性以及對強(qiáng)震蕩函數(shù)求導(dǎo)的數(shù)值有效性.數(shù)值算例也表明高斯核磨光比有理核磨光的效果更好.