葛育曉，趙榮珍

(蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州 730050)

0 引言

PID 控制是一種相對成熟的控制策略，因其算法簡單、容易實現(xiàn)、魯棒性好、可靠性高、適用場合廣泛等特點，目前已變成了工業(yè)控制系統(tǒng)首要考慮的控制方法[1]。但是由于目前工業(yè)控制現(xiàn)場具有非線性、大時滯、高階等特點[2]，而傳統(tǒng)的PID優(yōu)化控制方法很難取得最優(yōu)參數(shù)，且很容易產生超調以及震蕩現(xiàn)象等[3]，因此對于PID控制器參數(shù)的優(yōu)化調整，對于實際工程有著重要的研究價值。在PID參數(shù)優(yōu)化整定中，傳統(tǒng)的參數(shù)整定方法如Ziegler-Nichol (Z-N)法[4]難以取得最優(yōu)或接近最優(yōu)的PID參數(shù)，獲得很好的控制性能，因此很多學者提出了各種智能優(yōu)化整定方法：傅曉云等[5]將遺傳算法引入了PID控制器的參數(shù)優(yōu)化，但遺傳算法本身的整體結構比較復雜，參數(shù)設置較多，計算量大；宋榮榮等[6]人將粒子群算法運用于PID控制器的參數(shù)尋優(yōu)，但基本粒子群算法存在早熟的缺點，算法容易收斂到局部最優(yōu)，導致整定的誤差偏大；劉冰艷等[7]人將神經網(wǎng)絡用于PID參數(shù)優(yōu)化，但神經網(wǎng)絡結構確定困難，且隱含層數(shù)目、神經元個數(shù)以及初始權值等這些參數(shù)的選擇沒有一套標準系統(tǒng)的方法，通常依賴人的經驗。

人群搜索算法(seeker optimization algorithm，S-OA)[8]是最近比較新興的群智能優(yōu)化算法，是通過對人的搜索行為進行分析，進而模擬后提出的算法，該算法魯棒性好，而且算法整體實現(xiàn)簡單，具有搜索性能強等特點。目前，很多學者對人群算法的改進做了相關研究。文獻[9]引入對立的學習方法并與之結合，應用于混沌系數(shù)的參數(shù)估計，效果良好；文獻[10]針對算法后期易陷入局部最優(yōu)，引入了模擬退火思想，提高了算法的全局搜索能力；文獻[11]針對搜索步長和方向的慣性系數(shù)的選取方法進行了修改，取得了一定的效果。

基于以上的分析，針對PID參數(shù)優(yōu)化整定的難點，本論文提出一種混沌自適應人群搜索算法(chaos adaptive seeker optimization algorithm，CASOA)，將此算法運用于PID控制器參數(shù)的自適應優(yōu)化整定。并且通過Sphere等3個經典測試函數(shù)與其他算法相比較判斷本文算法的性能好壞，最后利用MATLAB平臺，設計了基于CASOA算法的PID控制參數(shù)整定優(yōu)化的算法程序，并選用文獻[8]中采用的二階慣性加純遲滯系統(tǒng)的數(shù)學模型進行模擬仿真，驗證本文提出的優(yōu)化方法較文獻[8]的優(yōu)越性。

1 基本原理簡介

1.1 PID控制器基本原理

PID控制器基本控制原理如圖1所示。

圖1 PID控制系統(tǒng)框架

PID控制是將給定值r(t)和實際輸出值y(t)得到的控制偏差

e(t)=r(t)-y(t)

(1)

再經P、I、D3種計算方式組合計算出控制器的輸出值，對被控目標進行反饋調節(jié)。PID控制規(guī)律為：

(2)

將式(2)寫成傳遞函數(shù)的形式為：

(3)

式(3)中不同的比例系數(shù)Kp、積分時間常數(shù)Ti和微分時間常數(shù)Td的大小對于系統(tǒng)的響應速度、回調速度以及調節(jié)時長等都有不同的影響。PID控制器參數(shù)優(yōu)化的目的就是在保證整個系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，優(yōu)化調整3個控制參數(shù)使得系統(tǒng)的綜合性能得到提高。

1.2 基本人群搜索算法

SOA算法是一種模擬人的搜索行為的智能算法，是借助人工智能、群智能和腦科學等對人的隨機搜索行為進行分析后得出的研究成果[12-13]。

1.2.1 搜索步長的確定

人群搜索算法具有一個特點——“若目標函數(shù)小那么搜尋步長就小”，因此選用了高斯隸屬函數(shù)來度量步長變量，如式(4)所示

(4)

式中：uA為高斯隸屬度；x為輸入變量；u、δ均為隸屬函數(shù)的參數(shù)，并設定最小隸屬度umin=0.011 1。

搜索步長由式(5)所確定

(5)

式中：aij為j維連續(xù)搜索空間的搜索步長；uij為j維搜索空間內目標函數(shù)值i的隸屬度，具體公式為

uij=rand(ui,1),j=1,2,…,D

式中：ui為目標函數(shù)值i的隸屬度；D為搜索空間維數(shù)。

式(5)中δij是高斯隸屬函數(shù)的參數(shù)，其值由下式確定，即：

1.2.2 搜索方向的確定

(6)

(7)

(8)

式中：gi,best為個體所在鄰域的群體歷史最優(yōu)位置；pi,best為個體搜尋經過的最優(yōu)位置；xi(t)為個體當前位置。

搜尋者通過式(9)對3個方向綜合考慮確定最終搜索方向：

(9)

式中：ω為慣性權值；φ1和φ2表示[0,1]內隨機數(shù)。

1.2.3 搜尋者個體位置的更新

確定搜索步長和方向后，位置更新依據(jù)式(10)和式(11)：

Δxij(t+1)=aij(t)dij(t)

(10)

xij(t+1)=xij(t)+Δxij(t+1)

(11)

2 人群搜索算法改進策略

標準人群搜索算法與其他群智能搜索算法有著相似的缺陷，即隨著算法迭代的不斷進行，搜尋個體位置的不斷更新變化，后期可能會出現(xiàn)大量搜尋個體出現(xiàn)局部聚集的情況，搜索過程停滯，而且導致整個種群個體多樣性減少，最終算法收斂的結果容易陷入局部最優(yōu)。因此為提高算法的搜索精度和收斂速度，以及解決算法后期種群個體的多樣性缺失的問題以及算法后期增加種群個體的多樣性，本文引入了以下幾種改進策略，從而使得算法合理有效的避免上述缺陷。

2.1 慣性權重隨機動態(tài)變異

標準SOA算法，慣性權重的迭代修正采用梯度下降法。但是梯度下降法中的學習速率是一個定值，目前取值并沒有一套科學合理的理論指導，大多都是經驗取值，“學習速率過小，導致算法收斂速率很慢，反之，過快”，因此學習速率的最優(yōu)解的確定仍是一個難點，并且梯度下降法在迭代過程中，個體位置越趨近于目標，那么步長就會越小，收斂速度就會越慢，因此倘若搜尋個體的位置靠近局部最優(yōu)位置時，搜尋個體的位置更新速率會減慢，進而影響整個算法收斂到全局最優(yōu)解的速度。因此，本文提出隨機慣性權重變異策略，如若個體在初始狀態(tài)時的位置就接近最優(yōu)位置，隨機產生的慣性權重值可能相對較小，可以加快整個算法的收斂速度[14]，并且采用隨機慣性權重變異策略能夠克服梯度下降法中權重值的線性遞減造成算法不能收斂到最好點的局限性。本文將慣性權重 的計算方式修改為式(12)

ω=μmin+(μmax-μmin)·rand(0,1)+σ·N(0,1)

(12)

式中：方差σ=0.2；μmin和μmin分別為隨機動態(tài)慣性權重最大、最小值。

2.2 邊界反射策略

在運動過程中任意一個個體的位置超出給定空間的限定就會對算法的結構給予一定的破壞。標準SOA算法中對邊界值處理的方法是把超出邊界范圍的搜尋者固定到邊界上，即將它設定為邊界值，從而能夠繼續(xù)保持算法結構不被破壞，但這樣做可能會造成大量的搜索者聚集在邊界上的情況。因此，為了避免此種情況發(fā)生，受反向學習的啟發(fā)，提出了簡化的反向學習策略——邊界反射策略，將超出邊界的搜索者經式(13)反射投影到種群邊界內，既克服了傳統(tǒng)處理方法的缺陷，又增加了種群的多樣性，使得算法的收斂精度有了一定的提升。其基本處理思想如下：

(13)

式中：swarm(i,:)為第i個粒子的更新位置；popmax為上界；popmin為下界；rand為0～1之間的隨機數(shù)。

2.3 混沌優(yōu)化

混沌優(yōu)化方法是一種全局優(yōu)化算法，混沌變量雖雜亂無章但卻具有一定的規(guī)律性，其遍歷性特點能夠遍歷某一局部范圍內的所有狀態(tài)且不重復，避免算法陷入局部極值點。Logistic方程就是一個典型的混沌系統(tǒng)，如式(14)所示

yn+1=μyn(1-yn)(n=0,1,2,…,0≤μ≤4)

(14)

式中：yn為系統(tǒng)輸出；μ是控制參數(shù)；n是迭代次數(shù)。

如圖2所示為Logistic混沌映射的混沌圖形。從圖中可以看出：μ在區(qū)間[0，1]上無論取何值，系統(tǒng)最終都會收斂于0；當1<μ<3時，系統(tǒng)的極限行為會趨于一個非零點，μ不同，非零點不同；而當3<μ<3.6時，系統(tǒng)方程的迭代開始出現(xiàn)周期行為，隨著μ的不斷增大，周期的長度也會相應的增加；最終當3.6<μ<4時，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)，整個系統(tǒng)方程迭代運行的軌跡隨著μ的持續(xù)增大在周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)之間來回切換，直到μ=4時系統(tǒng)處于完全混沌狀態(tài)，在[0,1]區(qū)間上均勻分布。

圖2 Logistic混沌映射分岔

為解決標準SOA算法在后期易陷入局部最優(yōu)，導致算法停滯的問題，本文利用混沌變量的便利性這一特點，通過對最優(yōu)位置的二次擾動，增加了種群個體的多樣性，并使得搜尋個體的位置更新更加多元化，更符合現(xiàn)實中因素的多變性這一普遍規(guī)律。

具體算法中混沌優(yōu)化部分偽代碼如下所示。

while stopping criterion is not meet do

Mapxgbestto the domain [0,1] of the Logistic equation by Eq.(15)；

(15)

Iteratively obtain a set of chaotic sequences by Eq.(14);

Reverse mapping the chaotic sequence and mapping back to the original space by Eq.(16);

(16)

Evaluate the fitness of each particle in the current sequence，and select the corresponding value when the fitness is optimal.

A searcher is randomly selected from the current searcher population to replace the extracted searcher.

The algorithm contimues to the next step.

3 基于CASOA的PID控制器優(yōu)化設計

3.1 CASOA-PID控制器原理圖

利用CASOA算法通過對系統(tǒng)采集信號得出的偏差情況的優(yōu)化處理，調節(jié)控制器的Kp、Ki、Kd3個參數(shù)，使得控制器的綜合性能達到最優(yōu)，使其滿足工作要求。其原理如圖3所示。

圖3 CASOA-PID控制器原理圖

3.2 適應度函數(shù)的確定

本文為獲得滿意的迭代過程動態(tài)特性，采用性能指標加權的方式來構造算法的目標函數(shù)。對于系統(tǒng)階躍響應，采用誤差絕對值時間積分性能作為目標函數(shù)的主要部分，如式(17)所示。

(17)

式中：e(t)為rin(t)和yout(t)之間的誤差值；u(t)為控制器輸出，采用u(t)的平方項為了防止控制能量過大；ω1和ω2為權重常數(shù)，范圍在[0,1]之間。

并且針對超調現(xiàn)象這一問題，性能指標中引入了懲罰措施，將超調量一并作為最優(yōu)性能指標中的一項，原理如式(18)所示。

Ife(t)<0

(18)

式中：ω3為權值，且ω3>>ω1；Δe(t)=y(t)-y(t-1),y(t)為被拉對象輸出；通常ω1=0.999，ω2=0.001，ω3=100。

3.3 具體CASOA-PID算法的實現(xiàn)步驟

采用CASOA算法優(yōu)化PID控制器3個參數(shù)的具體步驟如下：

Step1：初始化種群。給定種群維數(shù)、規(guī)模等一系列參數(shù)值，隨機生成種群位置矩陣。

Step2：評判各組Kp、Ki、Kd中每個搜尋者個體的位置優(yōu)劣。根據(jù)式(18)計算每個搜尋者個體的適應度值。

Step3：記錄并更新搜尋者的個體最優(yōu)以及全局最優(yōu)。

Step4：搜尋者位置更新。根據(jù)式(5)和式(9)計算每個搜尋者個體的搜索步長aij(t)和搜索方向dij(t)；然后依據(jù)式(10)和式(11)對每個個體進行位置的更新。

Step5：混沌優(yōu)化。利用混沌Logistic方程對搜尋者最優(yōu)位置進行混沌優(yōu)化。

Step6：判定條件滿足與否。若不滿足，則返回Step2，否則，搜尋停止，輸出控制器Kp、Ki、Kd3個參數(shù)的優(yōu)化結果。

Step7：算法結束。

4 算法的性能分析

4.1 測試函數(shù)的設定

本文通過選取3個典型測試函數(shù)測試其性能，并對比標準PSO、CPSO、標準SOA算法的優(yōu)化效果來證明本文提出的算法的優(yōu)越性。3個標準測試函數(shù)參數(shù)設置見表1。

表1 標準測試函數(shù)參數(shù)設置

測試函數(shù)1為Sphere函數(shù)

(19)

測試函數(shù)2為Schaffer函數(shù)

(20)

測試函數(shù)3為Rastrigin函數(shù)

(21)

4.2 參數(shù)設置

本文選取了4個算法進行性能比較，即標準PSO、CPSO、標準SOA和本文提出的CASOA算法，本著算法比較參數(shù)設置一致的原則，各算法的基本參數(shù)設置如下：

標準PSO算法：種群規(guī)模100，慣性權重1，個體學習系數(shù)1.494 45，全局學習系數(shù)1.494 45，最終迭代次數(shù)100，重復實驗次數(shù)10。

CPSO算法：種群規(guī)模100，最終迭代次數(shù)100，混沌系數(shù)2，重復試驗次數(shù)10。

標準SOA算法：種群規(guī)模100，最終迭代次數(shù)100，最大隸屬度值0.950 0，最小隸屬度值0.011 1，權重最大值0.9，權重最小值0.1，重復實驗次數(shù)10。

CASOA算法：種群規(guī)模100，最終迭代次數(shù)100，最大隸屬度值0.9500，最小隸屬度值0.0111，權重最大值0.9，權重最小值0.1，混沌系數(shù)3.5，重復實驗次數(shù)10。

以上算法的仿真硬件設備為Intel core i5-4200U 1.60 GHz 2.30 GHz 8GB RAM 64位操作系統(tǒng)筆記本；仿真軟件環(huán)境Win10 MATLAB R2015b。

本文通過計算平均值來評價算法收斂精度，運用標準差來評價算法穩(wěn)定性。實驗數(shù)據(jù)如表2所示，為使所得結論更具有普遍性，因此數(shù)據(jù)矩陣是隨機產生的，所得結論不一定每次都是最優(yōu)的。上述數(shù)據(jù)結論為性能結果相似的10次數(shù)據(jù)的平均值和標準差，除去了異常狀態(tài)。

表2 不同算法的收斂精度和穩(wěn)定性比較

從表2得出：改進的人群搜索算法CASOA在3個測試函數(shù)上無論是適應值平均值還是標準差均具有明顯優(yōu)勢。具體來講，CASOA在單峰函數(shù)Sphere上相較其他算法在收斂精度及穩(wěn)定性上有較大的提高，C-ASOA相比于SOA平均值從39.479 1提升到了3.815 9，較CPSO也有一定幅度的提升，采用了隨機動態(tài)慣性權重策略保證了搜尋者個體運動的自由靈活。此外，C-ASOA在多峰函數(shù)Schaffer和Rastrigin上算法的收斂精度和穩(wěn)定性也有很好的表現(xiàn)，均比其他算法有所提升，本文引入了邊界反射策略，將群體中因位置更新而脫離搜尋范圍的個體經邊界反射策略重新定義到有效范圍內，既增加了種群個體的多樣性，又避免了標準SOA算法中因大量搜尋者聚集在搜尋范圍邊界使得算法收斂到局部極值點的結果，而且本文算法還引入了Logistic混沌優(yōu)化，將每次搜尋到的最優(yōu)解再經Logistic混沌映射進行二次擾動，大幅的增強了搜尋個體避免陷入局部最優(yōu)位置的能力，使得算法在全局尋優(yōu)方面也有較強的優(yōu)勢。

5 仿真實驗結果分析

5.1 控制對象及仿真條件設置情況

大部分的實際控制工程都是復雜的高階系統(tǒng)，許多系統(tǒng)常常被近似為一階慣性和二階振蕩的典型的疊加系統(tǒng)。本文為測試改進算法的性能優(yōu)勢，以及體現(xiàn)本文方法的優(yōu)勢，最終選取了文獻[8]中的二階慣性加純遲滯系統(tǒng)作為被控目標進行Matlab模擬仿真實驗。系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

設搜尋者群體規(guī)模為30，迭代次數(shù)200，Kp、Ki、Kd3個優(yōu)化參數(shù)搜索領域均為[0，100]，Wmax和Wmin分別為0.9和0.1，混沌系數(shù)μ=2，以0.1 s為采樣間隔，單位階躍信號作為本次模擬仿真的輸入信號，整體仿真時間設為10 s，能夠完整的體現(xiàn)整個系統(tǒng)的調節(jié)過程。

5.2 實驗結果及分析

利用MATLAB等仿真工具對標準SOA和CASOA算法進行仿真，模擬優(yōu)化過程，得兩種算法的適應度函數(shù)優(yōu)化曲線以及控制系統(tǒng)階躍響應輸出曲線和誤差曲線，分別如圖5、圖6所示。

圖5 CASOA和SOA適應值變化曲線

(a)階躍響應曲線對比

(b)誤差曲線對比圖6 CASOA和SOA階躍響應變化與誤差對比

由圖5可以看出兩種算法的適應度值收斂的情況，改進的CASOA算法在迭代20次左右便開始快速收斂，收斂精度高，且穩(wěn)定性很好；而標準SOA算法從圖中可以很明顯的看出，算法在收斂到20代和30代左右均出現(xiàn)了陷入局部最優(yōu)的趨勢，最終在50代開始收斂，收斂速度相對緩慢，因此相比之下CASOA算法收斂速度與精度明顯優(yōu)于文獻[8]中標準SOA算法，具有更好的局部搜索與全局搜索能力。

圖6中，階躍響應輸出與誤差比較曲線顯示：改進的人群搜索算法CASOA優(yōu)化的PID控制器綜合性能與標準SOA算法相比有一定的提升，達到了良好的控制效果。具體來說：CASOA-PID控制系統(tǒng)上升時間快，僅1.5s左右，有輕微超調現(xiàn)象，但快速性和穩(wěn)定性能更好，而文獻[8]中的SOA-PID控制系統(tǒng)雖無超調，但上升時間緩慢，響應速度慢，且調節(jié)時間過長，4 s左右才達到穩(wěn)定狀態(tài)。因此，對于控制工程中大多數(shù)高階、非線性帶有遲滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，采用CASOA算法對PID控制器進行參數(shù)優(yōu)化，相較于文獻[8]中的標準SOA算法得到的控制器具有更好的性能效果。

6 結論

PID控制器參數(shù)的選取對于整個系統(tǒng)的平穩(wěn)、精度、響應速度等有著舉足輕重的意義，為提高PID控制器的控制效果，本文提出了一種混沌自適應人群搜索算法，該算法引入隨機慣性權重策略，有效的克服了標準SOA算法中權重采用線性遞減造成的算法不能收斂到最好點的局限性；采用邊界反射策略，既避免了傳統(tǒng)處理方法使大量搜尋者聚集在邊界上的缺陷，又增加了種群中的個體的多樣性，減小算法迭代后期因個體的多樣性降低使得算法收斂到局部最優(yōu)的可能性；同時算法進一步結合了混沌優(yōu)化算法，對當前搜索到的全局最優(yōu)位置進行混沌優(yōu)化，通過對個體位置的二次擾動從而解決了因個體位置更新停滯導致的算法早熟而收斂到局部最優(yōu)的問題。通過3種典型測試函數(shù)與其他算法對比驗證其在精度與速度上的優(yōu)越性，并且將其應用于PID控制器的參數(shù)優(yōu)化，本文通過對二階慣性加純遲滯系統(tǒng)進行模擬仿真，最終結論顯示相比于標準SOA算法優(yōu)化的PID控制器，改進的控制系統(tǒng)具有更快的響應速度，更高的穩(wěn)定精度，良好的魯棒性，能夠保證良好的控制性能，因此為后續(xù)PID參數(shù)優(yōu)化方法提供了一定的參考依據(jù)。

本工作得到了蘭州理工大學紅柳一流學科建設項目支持。