徐 影，陳菊芳

(東北師范大學(xué) 物理學(xué)院，長春 130024)

憶阻器[1]使電路設(shè)計的基礎(chǔ)元件由電阻、 電容和電感增加到4個. 憶阻器是一種有記憶功能的非線性電阻，其潛在的應(yīng)用價值已引起人們廣泛關(guān)注，其中利用憶阻器的非線性特征實現(xiàn)混沌電路是研究熱點之一[2-5]. 憶阻器的磁通量φ與其累積電荷q間的關(guān)系可以用φ-q或q-φ平面上的一條曲線f(φ,q)=0確定[6-8]. 當(dāng)f(φ,q)=0由磁通的單值函數(shù)表示時，稱為磁控憶阻器，特性曲線的斜率W(φ)=dq(φ)/dφ稱為憶導(dǎo). 其電流與電壓間的關(guān)系為i=W(φ)v. 蔡氏電路是典型的混沌電路，由于憶阻器具有非線性特性，因此用憶阻器替換蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管，即可構(gòu)成蔡氏憶阻混沌電路[9-10]，這些電路中均含有電感，但電感不易購買和制作，且不易集成. 憶阻器有多種模型，其中三次光滑型憶阻器是最常用的，其磁通量φ與電荷q間的關(guān)系為q(φ)=aφ+bφ3，由此可得憶導(dǎo)為W(φ)=a+3bφ2，其中a,b>0. 本文以該模型為例，通過改變元件參數(shù)，將不同結(jié)構(gòu)的RC正弦波蕩電路與等效的LC并聯(lián)回路耦合，等效為LC并聯(lián)諧振回路，設(shè)計了4種等價的蔡氏憶阻混沌電路，并對其進(jìn)行電路仿真，得到與理論分析和數(shù)值計算一致的實驗結(jié)果.

1 等價蔡氏憶阻混沌電路的設(shè)計

經(jīng)典的蔡氏憶阻混沌電路如圖1所示，其中虛線左側(cè)為LC并聯(lián)諧振回路，右側(cè)的-G為負(fù)阻，W為磁控憶阻器. 端口a，b左側(cè)的輸入導(dǎo)納為

Y=jωC+1/(r+jωL).

(1)

由電路理論可知，任何線性單端口電路，若端口輸入導(dǎo)納的表達(dá)式與Y相同，則與圖1電路的LC回路等效，將其與虛線右側(cè)的電路連接即可構(gòu)成等價的蔡氏憶阻混沌電路.

1.1 等價蔡氏電路1

等價蔡氏憶組混沌電路1如圖2所示，其中虛線左側(cè)電路為經(jīng)典的文氏橋電路，通常作為正弦波振蕩電路，放大倍數(shù)為A=1+Ra/Rb, 當(dāng)滿足A≥1+R3/R2+C2/C3時，可產(chǎn)生正弦波振蕩. 改變元件參數(shù)也可等效為LC并聯(lián)回路. 由電路可求得端口a，b左側(cè)的輸入導(dǎo)納Y1為

(2)

圖1 經(jīng)典的蔡氏憶阻混沌電路Fig.1 Classical Chua’s memristive chaotic circuit

圖2 等價蔡氏憶阻混沌電路1Fig.2 Equivalent Chua’s memristive chaotic circuit 1

根據(jù)Kirchhoff電壓定律(KVL)和電流定律(KCL)，可得圖2電路的狀態(tài)方程為

(3)

選取C1=1.25 nF，即對應(yīng)α=16，電路的吸引子如圖5所示. 由圖5可見，吸引子為雙渦卷狀，憶阻器的伏安特性呈斜“8”型結(jié)構(gòu).

圖3 y隨α變化的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of y with α

圖4 Lyapunov指數(shù)譜Fig.4 Lyapunov exponential spectra

圖5 混沌吸引子Fig.5 Chaotic attractors

1.2 等價蔡氏電路2

將圖2電路中的串聯(lián)支路R3C3與電阻Rb互換，其他元件不變，即可形成等價蔡氏憶組混沌電路2, 如圖6所示，虛線左側(cè)電路仍可產(chǎn)生正弦振蕩，產(chǎn)生正弦波振蕩的條件與圖2相同. 改變元件參數(shù)也可等效為LC并聯(lián)回路. 端口a，b的輸入導(dǎo)納Y2為

(4)

顯然，Y2=Y1，等價條件與圖2相同. 與圖2相比，由于圖6中的電容C3可單端接地，因此易于測量和提取電壓VC3. 根據(jù)等效電路的理論可知，當(dāng)圖2與圖6電路對應(yīng)元件取值相同時，電壓VC1，VC2和Vφ分別對應(yīng)相同，但電容C3的電壓不同，可通過電路的狀態(tài)方程求得.

由圖6可得電路的狀態(tài)方程為

(5)

若令μ=R/R2，β=RC2/(R3C3)，γ=RC2/(R3C3), 在與圖2電路對應(yīng)元件取值相同的條件下，則可得μ=30，β=0.5，γ=0.5，其他系數(shù)均相同. 將方程(5)進(jìn)行標(biāo)量變換，令VC32=0.2VC3，得到的方程與式(3)相同.

1.3 等價蔡氏電路3

等價蔡氏憶阻混沌電路3如圖7所示, 虛線左側(cè)的選頻電路為單周期T選頻電路，電壓放大倍數(shù)A=1+Ra/Rb，若A≥1+C2/C3+R3C2/(R2C3)，則電路為正弦波振蕩電路. 改變元件參數(shù)也可等效為LC并聯(lián)回路. 端口a,b的輸入導(dǎo)納Y3為

(6)

先令A(yù)=1, 再將式(6)與式(1)對應(yīng)可知，令C=C2，L=R2R3C3，r=R2+R3，虛線左側(cè)電路可等效為LC并聯(lián)回路. 若仍設(shè)C=20 nF，L=48 mH，r=0.2 kΩ, 可選取R2=0.1 kΩ，R3=0.1 kΩ，C2=20 nF，C3=4.8 μF，Ra支路短路，Rb支路斷路.

圖6 等價蔡氏憶阻混沌電路2Fig.6 Equivalent Chua’s memristive chaotic circuit 2

圖7 等價蔡氏憶阻混沌電路3Fig.7 Equivalent Chua’s memristive chaotic circuit 3

由圖7可得電路的狀態(tài)方程為

(7)

若令μ=R/R3，β=RC2/(R2C3)，γ=RC2/(R2C3)+RC2/(R3C3)，仍選擇R=6 kΩ，則可得μ=60，β=0.25，γ=0.5. 當(dāng)圖7與圖2電路對應(yīng)元件取值相同時，令VC33=0.1VC3，標(biāo)量變換后得到的方程與式(3)相同. 表明圖7與圖2電路中的電壓VC1，VC2和Vφ分別相同，電壓VC33是圖2電路VC3的0.1倍.

1.4 等價蔡氏電路4

等價蔡氏憶阻混沌電路4如圖8所示, 虛線左側(cè)的選頻電路仍為單周期T選頻電路，與圖7電路的單T選頻電路為對偶電路. 若電壓放大倍數(shù)A≥1+R3/R2+R3C2/(R2C3)，電路仍可產(chǎn)生正弦振蕩. 改變元件參數(shù)也可等效為LC并聯(lián)回路.

圖8 等價蔡氏憶阻混沌電路4Fig.8 Equivalent Chua’s memristive chaotic circuit 4

端口a,b的輸入導(dǎo)納Y4為

(8)

令R2Ra=R3Rb，將式(8)與式(1)對應(yīng)可知，虛線左側(cè)的電路可等效為LC并聯(lián)回路，其中C=C2，L=R2R3C3，r=R3. 若仍設(shè)C=20 nF，L=48 mH，r=0.2 kΩ，可選取R2=1 kΩ，R3=0.2 kΩ，C2=20 nF，C3=240 nF，Ra=0.2 kΩ，Rb=1 kΩ.

由圖8可得電路的狀態(tài)方程為

(9)

若令μ=R/R3，β=RC2/(R2C3)，γ=RC2/(R2C3)，仍選擇R=6 kΩ，則可得μ=30，β=0.5，γ=0.5. 當(dāng)圖8與圖6電路對應(yīng)元件取值相同時，方程(9)與方程(5)相同，圖8與圖6電路對應(yīng)的電壓也相同.

2 電路仿真的實驗結(jié)果

利用Multisim電路仿真軟件對上述4個等價蔡氏憶阻電路進(jìn)行仿真實驗. 其中負(fù)阻電路如圖9所示，采用運(yùn)放AD844，將其連接成電流傳送器的形式，根據(jù)電流傳送器的電氣特性，可得輸入電導(dǎo)G=-1/RN. 該電路結(jié)構(gòu)簡單，易于調(diào)節(jié). 實驗選取RN=4 kΩ，對應(yīng)G=-0.25 mS.

圖9 負(fù)阻電路Fig.9 Negative resistance circuit

憶阻器的模擬等效電路如圖10所示. 運(yùn)放A3構(gòu)成反向積分器，其輸出電壓

得到相應(yīng)憶導(dǎo)值的表達(dá)式為

(10)

對應(yīng)a=1/R10-R9/(R6R10), 3b=0.01R9/(R5R10) .

圖10 憶阻器電路Fig.10 Memristor circuitt

為方便觀測憶阻特性，選取R10=1 kΩ，若電阻R10兩端獲得1 V電壓，則對應(yīng)于1 mA的憶阻器電流iM. 通過示波器獲得的R10兩端電壓均轉(zhuǎn)化為電流iM表示. 選取R7=R9=10 kΩ，R5=5 kΩ，R6=10.53 kΩ，R8=3.4 kΩ，對應(yīng)a=0.05 mS，3b=0.02 mS/V2.

電路仿真結(jié)果如圖11所示, 其中： (A)為憶阻器的伏安特性曲線； (B)，(C)，(D)分別為圖2、 圖6、 圖7電路中電容C3的電壓與Vφ吸引子. 由圖11(A)可見，4個等價蔡氏電路的憶阻特性曲線均相同； 由圖11(B)～(D)可見，其Vφ均相同，但電容C3的電壓不同，實驗結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果基本一致，存在較小的誤差是由于憶阻器中的積分誤差所致.

圖11 電路仿真結(jié)果Fig.11 Results of circuit simulation

綜上，本文以磁控憶阻器為例，利用運(yùn)放和不同的RC選頻電路代替LC并聯(lián)諧振回路，設(shè)計了4種等價的蔡氏憶阻混沌電路. 電路結(jié)構(gòu)簡單，調(diào)節(jié)方便，電路性能更穩(wěn)定，并進(jìn)行了電路仿真，所得實驗結(jié)果與理論分析結(jié)果一致. 本文的設(shè)計方法適用于蔡氏憶阻混沌電路及非憶阻蔡氏混沌電路.