張柔和，樊雅卓，佘智勇，崔乃剛,*

1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001 2. 北京空天技術(shù)研究所，北京 100074

空天飛行器是未來(lái)實(shí)現(xiàn)快速低成本往返空間的重要工具之一，其發(fā)展存在多種可能的技術(shù)路線。美國(guó)的國(guó)家空天飛機(jī)計(jì)劃[1]、德國(guó)的桑格爾計(jì)劃[2]、英國(guó)的云霄塔計(jì)劃[3]是其中的典型代表。水平起降兩級(jí)入軌(Two Stage To Orbit, TSTO)運(yùn)載器是空天飛行器一個(gè)重要的發(fā)展方向。TSTO運(yùn)載器研究歷程久，發(fā)展路徑清晰，相比單級(jí)入軌運(yùn)載器技術(shù)跨度小，在材料科學(xué)和推進(jìn)系統(tǒng)快速發(fā)展的推動(dòng)下具有突出的工程實(shí)現(xiàn)潛力。20世紀(jì)末以來(lái)，美國(guó)開(kāi)展了多個(gè)TSTO運(yùn)載器項(xiàng)目和概念研究[4-8]。中國(guó)正在開(kāi)展的騰云工程也是TSTO運(yùn)載器的典型代表。

軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)是總體設(shè)計(jì)階段的重要環(huán)節(jié)，對(duì)飛行器總體方案論證、總體性能提升具有重要意義。目前針對(duì)TSTO運(yùn)載器的軌跡優(yōu)化問(wèn)題研究主要集中在組合體和二子級(jí)上升段，大多以燃料最省、起飛規(guī)模最小等作為指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[9-14]，而對(duì)于一子級(jí)返場(chǎng)問(wèn)題鮮有關(guān)注。

TSTO一子級(jí)返場(chǎng)軌跡設(shè)計(jì)屬于臨近空間再入軌跡設(shè)計(jì)問(wèn)題。現(xiàn)有再入軌跡設(shè)計(jì)方法大多針對(duì)總體規(guī)模較小、升阻比2～3左右的升力體飛行器提出，其初始速度較大(通常馬赫數(shù)為15以上)、初始高度較高(通常為60 km以上)[15-19]。而一子級(jí)返場(chǎng)軌跡與典型的空間/臨近空間再入軌跡具有顯著區(qū)別。首先，分離時(shí)刻一子級(jí)需負(fù)擔(dān)的重力瞬間減小，導(dǎo)致分離后一子級(jí)面臨升力過(guò)剩問(wèn)題。其次，一子級(jí)返場(chǎng)過(guò)程存在大幅轉(zhuǎn)向需求，而一般再入問(wèn)題的初始航向偏差較小。此外，一子級(jí)大尺寸、大慣量的機(jī)體導(dǎo)致傾側(cè)角多次翻轉(zhuǎn)存在困難，難以采用典型升力式再入飛行器的傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)邏輯。最后，一子級(jí)外形兼顧高速和低速性能，在寬域范圍內(nèi)氣動(dòng)特性變化顯著[20]。上述特點(diǎn)對(duì)如何設(shè)計(jì)軌跡從而兼顧轉(zhuǎn)向需求、可實(shí)現(xiàn)性和光滑平穩(wěn)特性提出了挑戰(zhàn)。

一子級(jí)返場(chǎng)面臨的另一個(gè)突出問(wèn)題是組合體分離存在明顯的分離擾動(dòng)，其過(guò)程機(jī)理復(fù)雜、模擬困難[21]。分離擾動(dòng)將顯著影響飛行器狀態(tài)，造成一子級(jí)返場(chǎng)初始狀態(tài)與標(biāo)稱(chēng)狀態(tài)存在較大偏差。因此，需要解決大初始偏差條件下一子級(jí)返場(chǎng)軌跡在線生成問(wèn)題。

王志剛等[22]采用最優(yōu)控制理論對(duì)大回轉(zhuǎn)軌跡開(kāi)展研究，但軌跡無(wú)法保證光滑平穩(wěn)且求解困難。梅映雪等[23]設(shè)計(jì)了考慮禁飛區(qū)和測(cè)控區(qū)的分段優(yōu)化策略，對(duì)復(fù)雜約束問(wèn)題提供了解決思路，但設(shè)計(jì)的軌跡需要傾側(cè)角快速、多次翻轉(zhuǎn)。以Shen和Lu提出的擬平衡滑翔[15]為代表的在線軌跡生成方法主要關(guān)注小尺寸的高超聲速飛行器再入問(wèn)題，需要傾側(cè)角多次翻轉(zhuǎn)，難以應(yīng)用于本文對(duì)象。陳萬(wàn)春等給出的擬平穩(wěn)滑翔彈道解析計(jì)算方法[24]具有在線計(jì)算潛力，但其航跡角單調(diào)變化的假設(shè)不適用于一子級(jí)返場(chǎng)軌跡問(wèn)題。Jorris和Cobb[25]采用最優(yōu)控制思想求解了再入軌跡，但難以滿(mǎn)足一子級(jí)返場(chǎng)光滑平穩(wěn)需求。Zhang等[26]結(jié)合阻力加速度剖面和傳統(tǒng)的航向角誤差走廊進(jìn)行軌跡規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)了對(duì)禁飛區(qū)的規(guī)避，但仍需傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)。王勁博[27]提出了基于凸優(yōu)化和偽譜離散的垂直著陸運(yùn)載器軌跡在線優(yōu)化方法，但其通用性差，僅適用于簡(jiǎn)單模型。Sagliano等[28]采用自適應(yīng)高維偽譜插值(Adaptive Multivariate Pseudospectral Interpolation, AMPI)算法實(shí)現(xiàn)了再入軌跡在線生成，但僅考慮了狀態(tài)量偏差。

與一般再入軌跡設(shè)計(jì)方法不同，本文充分結(jié)合一子級(jí)返場(chǎng)軌跡面臨的問(wèn)題和需求，采用先給定側(cè)向剖面再求解軌跡的設(shè)計(jì)策略：在側(cè)向剖面設(shè)計(jì)了簡(jiǎn)單新穎、具備通用性的傾側(cè)角剖面，在縱向剖面劃分了物理意義清晰、貼合任務(wù)的不同飛行階段，并采用分段優(yōu)化方法設(shè)計(jì)了返場(chǎng)軌跡。在上述策略基礎(chǔ)上，本文還進(jìn)行了軌跡在線生成研究。首先根據(jù)任務(wù)特點(diǎn)，擴(kuò)展了AMPI算法插值依賴(lài)的參數(shù)范圍，在考慮分離擾動(dòng)造成的偏差條件下，采用本文給出的軌跡設(shè)計(jì)策略計(jì)算離線軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)，進(jìn)而根據(jù)實(shí)際飛行狀態(tài)在線生成返場(chǎng)軌跡。

本文給出的軌跡設(shè)計(jì)策略思路獨(dú)特，具備一定創(chuàng)新性和通用性，其中設(shè)計(jì)的傾側(cè)角剖面形式簡(jiǎn)單，定義的縱向、側(cè)向剖面飛行階段劃分目的明確，既適應(yīng)了一子級(jí)大幅轉(zhuǎn)向需求，又保證了傾側(cè)角不翻轉(zhuǎn)和軌跡光滑平穩(wěn)。本文還對(duì)AMPI算法進(jìn)行了擴(kuò)展，使生成的軌跡更符合實(shí)際物理過(guò)程，保證了攻角連續(xù)變化，利于工程實(shí)現(xiàn)。

1 數(shù)學(xué)模型

本文的動(dòng)力學(xué)模型采用不考慮地球自轉(zhuǎn)的圓球模型，即

(1)

式中：r為飛行器地心距；θ和φ分別為經(jīng)度和緯度；V為飛行器速度；γ為航跡角，是速度矢量與當(dāng)?shù)厮矫嬷g的夾角；ψ為航向角，從當(dāng)?shù)卣狈较蝽槙r(shí)針測(cè)量；m為質(zhì)量;σ為傾側(cè)角；D、L分別為氣動(dòng)阻力與升力;g為重力加速度。

飛行器氣動(dòng)模型均表示為馬赫數(shù)、攻角的函數(shù)。大氣密度模型采用近似的擬合公式為

ρ=ρ0e(-h/hs)

(2)

式中：ρ0為海平面大氣密度；hs為高度系數(shù)；h為飛行高度，上述變量均采用國(guó)際單位制。

2 軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)策略

傳統(tǒng)再入軌跡設(shè)計(jì)策略將縱向剖面和側(cè)向剖面獨(dú)立進(jìn)行設(shè)計(jì)。首先設(shè)計(jì)縱向剖面，即將攻角或阻力加速度表示為速度的函數(shù)，得到攻角-速度剖面或阻力加速度-速度剖面。然后再根據(jù)飛行狀態(tài)，計(jì)算滿(mǎn)足擬平衡滑翔等條件要求的傾側(cè)角大小并確定傾側(cè)角方向，從而得到側(cè)向的傾側(cè)角指令。確定縱向和側(cè)向指令后，即可得到飛行軌跡。

本文同樣將側(cè)向剖面和縱向剖面獨(dú)立設(shè)計(jì)。與傳統(tǒng)方法不同的是，本文先給定側(cè)向的傾側(cè)角-航向角偏差剖面，再采用分段優(yōu)化策略求解攻角指令。上述策略的優(yōu)點(diǎn)是：一方面，傾側(cè)角變化過(guò)程連續(xù)平穩(wěn)并且不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)，減輕了控制系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)通道壓力；另一方面，在速度方向與飛行器-著陸場(chǎng)視線方向存在較大航向角偏差條件下，上述策略能夠調(diào)整飛行方向?qū)?zhǔn)著陸機(jī)場(chǎng)，滿(mǎn)足一子級(jí)返場(chǎng)大幅轉(zhuǎn)向需求。

2.1 傾側(cè)角剖面設(shè)計(jì)

本文將傾側(cè)角表示為航向角偏差的分段函數(shù)，并分別將兩階段命名為航向轉(zhuǎn)彎段和航向微調(diào)段，如圖1 所示。其中點(diǎn)A表示一子級(jí)返場(chǎng)軌跡初始狀態(tài)，點(diǎn)B表示航向轉(zhuǎn)彎段切換為航向微調(diào)段，點(diǎn)C航向角偏差為0°表示飛行航向已經(jīng)對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)機(jī)場(chǎng)。在航向轉(zhuǎn)彎段，傾側(cè)角保持較大幅值，且幅值隨航向角偏差減小而逐漸減小(沿圖1線段AB變化)。在這一階段，大幅值的傾側(cè)角使升力的側(cè)向分量較大，能夠提供較大的側(cè)向機(jī)動(dòng)能力，從而迅速調(diào)整一子級(jí)飛行航向。在航向微調(diào)段，傾側(cè)角幅值較小并隨航向角偏差減小而迅速收斂到0°附近(沿圖1線段BC變化)。在這一階段，一子級(jí)飛行航向基本對(duì)準(zhǔn)著陸機(jī)場(chǎng)，不再需要進(jìn)行大范圍的航向調(diào)整，傾側(cè)角只需在較小幅值內(nèi)進(jìn)行微調(diào)即可。

圖1 傾側(cè)角剖面Fig.1 Bank angle profile

根據(jù)設(shè)計(jì)的傾側(cè)角剖面可知，在航向角偏差減小過(guò)程中，傾側(cè)角隨之減??；當(dāng)飛行航向?qū)?zhǔn)目標(biāo)機(jī)場(chǎng)時(shí)，傾側(cè)角恰好為0°。此時(shí)升力不再提供側(cè)向機(jī)動(dòng)能力，航向角偏差保持為0°，從而保證了傾側(cè)角無(wú)需翻轉(zhuǎn)。

傾側(cè)角剖面表示為

(3)

式中：σA、σB、σC分別為傾側(cè)角節(jié)點(diǎn)；ΔψA、ΔψB、ΔψC為對(duì)應(yīng)的航向角偏差節(jié)點(diǎn)。

側(cè)向剖面設(shè)計(jì)完畢后，通過(guò)數(shù)值優(yōu)化方法，計(jì)算滿(mǎn)足多種約束條件下的攻角指令。

2.2 優(yōu)化模型

(4)

式中:α為攻角。

式(1)描述了飛行器三自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，其中軌跡控制量為攻角和傾側(cè)角。本節(jié)為了更好地限制攻角變化過(guò)程，選擇攻角變化率為控制變量。對(duì)應(yīng)的，優(yōu)化模型中的狀態(tài)方程包括描述飛行軌跡的6個(gè)狀態(tài)量和攻角，如式(4)所示。

為保證飛行軌跡變化平穩(wěn)，選擇航跡角變化率絕對(duì)值積分最小作為性能指標(biāo)：

(5)

在本節(jié)建立的優(yōu)化模型中，控制量為攻角變化率，其約束條件將在2.3節(jié)給出，在此僅給出攻角約束。需要強(qiáng)調(diào)的是，本文給出的優(yōu)化策略將攻角作為狀態(tài)量而非控制量。

αmin<α<αmax

(6)

式中：αmin、αmax分別為攻角的最小值和最大值約束。

過(guò)程約束方面，主要考慮法向過(guò)載、動(dòng)壓、熱流密度等約束條件：

(7)

優(yōu)化模型還要考慮終端經(jīng)緯度、高度、速度等終端約束條件：

(8)

式中：θf(wàn)max、φf(shuō)max、hfmax、vfmax分別為期望的終端經(jīng)度、終端緯度、終端高度、終端速度的最大值；θf(wàn)min、φf(shuō)min、hfmin、vfmin為對(duì)應(yīng)的最小值。

2.3 分段優(yōu)化策略

TSTO運(yùn)載器分離后，一子級(jí)面臨氣動(dòng)力過(guò)剩問(wèn)題，且氣動(dòng)特性在不同速域內(nèi)變化顯著。上述特點(diǎn)導(dǎo)致分離后一子級(jí)的飛行軌跡容易產(chǎn)生反復(fù)跳躍，這對(duì)于大尺寸、大慣量飛行器的制導(dǎo)控制系統(tǒng)是極為不利的。

針對(duì)上述問(wèn)題，考慮到分離時(shí)刻增高難以避免，同時(shí)希望返場(chǎng)軌跡保持平穩(wěn)，本文將一子級(jí)返場(chǎng)軌跡的縱向剖面分為增高減速段和下降滑翔段。這兩階段的任務(wù)和特點(diǎn)存在顯著區(qū)別，因而約束條件也不盡相同，無(wú)法通過(guò)統(tǒng)一的過(guò)程約束進(jìn)行限制。在增高減速段，飛行器增高降速，動(dòng)壓減小，在此階段要求航跡角始終大于零。在下降滑翔段，飛行器高度速度同時(shí)下降，在此階段要求航跡角始終小于或等于零。經(jīng)過(guò)上述兩個(gè)階段，飛行器逐漸以適當(dāng)?shù)哪芰繝顟B(tài)飛行至著陸場(chǎng)附近，并調(diào)整飛行航向?qū)?zhǔn)著陸場(chǎng)。對(duì)應(yīng)的航跡角約束為

(9)

式中：γ1、γ2分別代表增高減速段和下降滑翔段的航跡角；γ1min、γ1max分別代表增高減速段航跡角最小值、最大值約束；γ2min、γ2max分別代表下降滑翔段航跡角最小值、最大值約束。

為避免飛行軌跡變化過(guò)于劇烈，還需要對(duì)飛行過(guò)程中的航跡角變化率進(jìn)行限制。由于增高減速段氣動(dòng)力過(guò)剩，因而航跡角變化率幅值約束大于下降滑翔段。在返場(chǎng)飛行過(guò)程中，動(dòng)壓總的趨勢(shì)是先減小后增大，因此增高減速段允許攻角變化率幅值大于下降滑翔段。

(10)

除上述約束外，還需以?xún)呻A段過(guò)渡時(shí)刻狀態(tài)量和攻角連續(xù)作為約束條件，從而保證軌跡變化符合實(shí)際的物理過(guò)程，如式(11)所示。需要說(shuō)明的是，由于傾側(cè)角由傾側(cè)角-航向角偏差剖面決定，當(dāng)狀態(tài)量連續(xù)時(shí)便可保證傾側(cè)角連續(xù)，因此無(wú)需進(jìn)行額外約束。

(11)

式中：t1f、t2i、x1f、x2i、u1f、u2i分別代表增高減速段結(jié)束時(shí)刻和下降滑翔段初始時(shí)刻的時(shí)間、狀態(tài)量和控制量。

通過(guò)上述優(yōu)化策略，本節(jié)將一子級(jí)返場(chǎng)軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，然后通過(guò)分段高斯偽譜法進(jìn)行求解。有關(guān)高斯偽譜法原理介紹可見(jiàn)文獻(xiàn)[29]。

需要補(bǔ)充的是，本策略存在一定局限性。傳統(tǒng)方法在設(shè)計(jì)縱向剖面時(shí)可直觀地對(duì)動(dòng)壓、過(guò)載和熱流等約束條件進(jìn)行限制，并且在給定縱向剖面后可快速確定傾側(cè)角大小和方向。而本文需要通過(guò)數(shù)值優(yōu)化方法求解縱向剖面并使其滿(mǎn)足各項(xiàng)約束條件，相對(duì)而言計(jì)算量較大、計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。不過(guò)，后文給出的軌跡在線生成算法，使得上述策略同樣具備在線應(yīng)用潛力。

3 軌跡在線生成算法

本節(jié)針對(duì)TSTO運(yùn)載器分離時(shí)刻擾動(dòng)特點(diǎn)和攻角連續(xù)變化約束，擴(kuò)展了AMPI算法進(jìn)行高維插值依賴(lài)的參數(shù)范圍。AMPI算法數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量小，計(jì)算速度快，可滿(mǎn)足在線計(jì)算需求，具有廣闊的應(yīng)用前景。

AMPI算法的基本過(guò)程可劃分為離線計(jì)算和在線計(jì)算兩部分。離線部分根據(jù)定義的參數(shù)空間，在地面計(jì)算飛行軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)。在線部分根據(jù)初始狀態(tài)相對(duì)標(biāo)稱(chēng)狀態(tài)的偏差，先插值得到低密度節(jié)點(diǎn)表示的飛行軌跡，再通過(guò)預(yù)先裝訂的變換關(guān)系將其轉(zhuǎn)換為高密度飛行軌跡。通過(guò)將軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)裝訂在彈載計(jì)算機(jī)上，AMPI算法緩解了飛行過(guò)程中彈載計(jì)算機(jī)的計(jì)算壓力。在線計(jì)算部分僅需根據(jù)初始時(shí)刻的實(shí)際狀態(tài)，結(jié)合裝訂的軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)，即可快速地在線生成飛行軌跡。本方法存儲(chǔ)量小、在線計(jì)算效率高。

3.1 AMPI算法流程

AMPI算法離線部分包括參數(shù)空間定義和離散化、飛行軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)計(jì)算和轉(zhuǎn)換矩陣計(jì)算。首先，根據(jù)選定的描述初始偏差的參數(shù)定義參數(shù)空間并對(duì)其進(jìn)行離散化。其次，通過(guò)第2節(jié)給出的分段優(yōu)化策略計(jì)算飛行軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)。最后，離線計(jì)算出用于快速將低密度軌跡轉(zhuǎn)換為高密度軌跡的轉(zhuǎn)換矩陣。與文獻(xiàn)[28]僅以軌跡狀態(tài)量構(gòu)建參數(shù)空間不同，本文將控制量納入了參數(shù)空間，相應(yīng)的算法流程如圖2 所示。

在線部分包括相關(guān)子空間選擇、低密度高維插值和LD-HD(Low Density-High Density)轉(zhuǎn)換。首先，彈載計(jì)算機(jī)根據(jù)在線檢測(cè)到的飛行狀態(tài)確定相關(guān)子空間。其次，根據(jù)飛行狀態(tài)和確定的相關(guān)子空間，通過(guò)張量積樣條插值得到低密度節(jié)點(diǎn)表示的軌跡。最后，根據(jù)LD-HD矩陣(即后文將介紹的矩陣PFRP)在線生成高密度軌跡。

圖2 AMPI算法流程Fig.2 Scheme of AMPI algorithm

需要強(qiáng)調(diào)的是，為減少存儲(chǔ)量，離線得到的飛行軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)并非逐點(diǎn)存儲(chǔ)在彈載計(jì)算機(jī)上，而是在每條飛行軌跡中，選擇與較少數(shù)量FRP(Flipped Radau Pseudospectral)配點(diǎn)(簡(jiǎn)稱(chēng)低密度節(jié)點(diǎn))對(duì)應(yīng)的軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲(chǔ)。此外，由于在線計(jì)算過(guò)程無(wú)需進(jìn)行動(dòng)力學(xué)積分運(yùn)算，因此求解效率高、速度快，可滿(mǎn)足在線計(jì)算需求。

3.2 參數(shù)空間定義及軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)生成

本文根據(jù)一子級(jí)返場(chǎng)軌跡特點(diǎn)，擴(kuò)展了AMPI算法插值依賴(lài)的參數(shù)范圍，將作為控制量的攻角納入?yún)?shù)空間，使算法適用于一子級(jí)返場(chǎng)軌跡生成。

為了進(jìn)行插值計(jì)算，首先需要對(duì)參數(shù)空間進(jìn)行定義和離散化，然后計(jì)算飛行軌跡在各個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的值。

(12)

在此基礎(chǔ)上，取有限個(gè)離散點(diǎn)對(duì)每個(gè)維度的參數(shù)進(jìn)行離散化：

(13)

從而得到由n1×n2×…×nd個(gè)節(jié)點(diǎn)表示的d維網(wǎng)格：

(14)

TSTO運(yùn)載器分離時(shí)存在明顯的分離擾動(dòng)，考慮到一、二級(jí)均為面對(duì)稱(chēng)飛行器，本文假設(shè)擾動(dòng)主要作用在縱向平面內(nèi)，即擾動(dòng)影響的軌跡狀態(tài)量主要是縱向平面內(nèi)的速度和航跡角。同時(shí)，分離擾動(dòng)還會(huì)對(duì)控制量攻角產(chǎn)生顯著影響，使其偏離標(biāo)稱(chēng)值。文獻(xiàn)[28]僅考慮了狀態(tài)量初始偏差，而將初始控制量作為生成的軌跡結(jié)果，這對(duì)于空間再入飛行器是可行的。但對(duì)TSTO運(yùn)載器一子級(jí)而言，攻角變化相對(duì)緩慢，特別是考慮到高動(dòng)壓的飛行狀態(tài)，攻角難以瞬間調(diào)整到期望值。因此，一子級(jí)返場(chǎng)軌跡在線生成需要將考慮偏差的攻角作為初始條件，即在狀態(tài)量基礎(chǔ)上擴(kuò)展插值依賴(lài)的參數(shù)范圍，將控制量攻角納入定義的參數(shù)空間。

根據(jù)上述分析，考慮縱向平面狀態(tài)量速度、航跡角和控制量攻角這3個(gè)參數(shù)，定義3維參數(shù)空間，各維度取3個(gè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)如下：

(15)

式中：X*(t0)為標(biāo)稱(chēng)軌跡初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)的參數(shù)。

至此完成了參數(shù)空間定義和離散化過(guò)程，然后以參數(shù)空間內(nèi)各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)作為軌跡設(shè)計(jì)的初始狀態(tài)，通過(guò)2.3節(jié)給出的分段優(yōu)化設(shè)計(jì)策略離線計(jì)算一子級(jí)返場(chǎng)軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)。

3.3 在線低密度插值

本節(jié)給出如何根據(jù)實(shí)時(shí)飛行狀態(tài)和離線軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)，快速計(jì)算以低密度節(jié)點(diǎn)表示的飛行軌跡。其基本思路為，根據(jù)離線軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)中給定的低密度節(jié)點(diǎn)值，通過(guò)張量積樣條插值方法計(jì)算給定插值點(diǎn)的狀態(tài)量、控制量等軌跡參數(shù)。

首先，需要在離散化的參數(shù)空間中確定與當(dāng)前狀態(tài)對(duì)應(yīng)的相鄰參數(shù)空間，在此將其命名為相關(guān)子空間。插值過(guò)程均在相關(guān)子空間中進(jìn)行，且插值點(diǎn)與相關(guān)子空間節(jié)點(diǎn)越接近，插值結(jié)果越準(zhǔn)確。以二維插值為例，相關(guān)子空間如圖3 所示。圖中，X1、X2分別表示二維插值需要的參數(shù)，x1、x2分別表示參數(shù)的實(shí)際值，角標(biāo)L和U分別表示參數(shù)的下界和上界。

圖3 相關(guān)子空間示意圖Fig.3 Reference subspace diagram

確定各維度插值點(diǎn)的相關(guān)子空間后，通過(guò)張量積樣條插值方法對(duì)初始偏差進(jìn)行插值，得到某一時(shí)間節(jié)點(diǎn)的軌跡值。張量積樣條插值方法可參考文獻(xiàn)[28]。在時(shí)間節(jié)點(diǎn)的選擇方面，本文采用FRP方法得到配點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，相關(guān)分析可參照文獻(xiàn)[27]。

經(jīng)過(guò)上述過(guò)程，即可由離線軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)插值得到低密度軌跡。在此可認(rèn)為該軌跡是對(duì)最優(yōu)軌跡較好的近似，其求解過(guò)程既滿(mǎn)足實(shí)時(shí)性需求又避免了過(guò)大的計(jì)算負(fù)擔(dān)。

3.4 低密度-高密度轉(zhuǎn)換

本節(jié)給出如何避免在線插值的巨大計(jì)算量和存儲(chǔ)全程軌跡的龐大存儲(chǔ)量的前提下，將低密度軌跡轉(zhuǎn)化為具有高密度節(jié)點(diǎn)的飛行軌跡。

仍然采用FRP方法確定高密度節(jié)點(diǎn)，并通過(guò)計(jì)算飛行軌跡在這些節(jié)點(diǎn)的值替代計(jì)算全程飛行軌跡。由偽譜離散方法相關(guān)原理可知，當(dāng)?shù)?高密度節(jié)點(diǎn)數(shù)目確定后，相對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣也是確定的，與飛行狀態(tài)無(wú)關(guān)，可由離線計(jì)算得到。

設(shè)低密度插值中共取NLD+1個(gè)FRP插值點(diǎn)(NLD個(gè)FRP節(jié)點(diǎn)和-1)，通過(guò)對(duì)時(shí)間tLD、狀態(tài)量XLD、控制量ULD進(jìn)行插值，得到各個(gè)插值點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)值。XLD和ULD向量的矩陣維數(shù)分別為ns×(NLD+1)、nc×(NLD+1)，其中ns和nc分別表示求解問(wèn)題的狀態(tài)量和控制量數(shù)目。將XLD和ULD寫(xiě)成(ns+nc)×(NLD+1)維的矩陣TLD：

(16)

對(duì)應(yīng)的，高密度插值矩陣THD為

(17)

式中：NHD+1為高密度插值的離散節(jié)點(diǎn)數(shù)。此外，插值節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的物理時(shí)刻可以離線計(jì)算好，無(wú)需在線計(jì)算。

于是，將低密度插值轉(zhuǎn)換為高密度插值的問(wèn)題即變?yōu)?，如何求矩陣TLD和矩陣THD之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。下面，考慮多項(xiàng)式插值公式

(18)

式中：Fi表示低密度插值量，可以由矩陣TLD的對(duì)應(yīng)行替代。令時(shí)間變量τ∈[>-1,1]在NHD+1個(gè)高密度節(jié)點(diǎn)分別取值，可以得到

(19)

式(19)可以推廣到矩陣THD的所有行，并表示為

THD=TLDPFRP

(20)

式中：矩陣PFRP為

(21)

此外，還需將插值用到的偽譜時(shí)間轉(zhuǎn)化為實(shí)際的物理時(shí)間。具體公式為

(22)

經(jīng)過(guò)上述過(guò)程，飛行軌跡的在線生成簡(jiǎn)化為在少量節(jié)點(diǎn)的插值和矩陣乘法，大幅降低了計(jì)算負(fù)擔(dān)和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量。

4 數(shù)值仿真

本節(jié)首先對(duì)返場(chǎng)軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)策略進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建離線軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)，進(jìn)而驗(yàn)證基于AMPI的返場(chǎng)軌跡在線生成策略。本文仿真采用的編程環(huán)境為MATLAB R2016b，CPU為Intel Core i5-8250U，主頻3.4 GHz。

4.1 返場(chǎng)軌跡分段優(yōu)化

采用本文提出的設(shè)計(jì)策略得到的飛行軌跡如圖4 所示?？梢钥闯?，高度曲線十分明顯的分為增高減速段和下降滑翔段，且在兩階段均光滑、平穩(wěn)、無(wú)跳躍，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期效果。由經(jīng)緯度曲線可以看出，飛行器從分離點(diǎn)緩慢轉(zhuǎn)彎直到對(duì)準(zhǔn)著陸機(jī)場(chǎng)，并到達(dá)著陸機(jī)場(chǎng)附近。

通過(guò)圖5 所示的航向角偏差曲線和傾側(cè)角曲線可以看出：在航向轉(zhuǎn)彎段，傾側(cè)角保持較大幅值，升力提供較大的側(cè)向機(jī)動(dòng)能力使飛行器迅速轉(zhuǎn)彎，航向角偏差隨之快速減??；在航向微調(diào)段，航向角偏差已經(jīng)接近于零，飛行器基本對(duì)準(zhǔn)著陸機(jī)場(chǎng)，此時(shí)傾側(cè)角在小幅值內(nèi)緩慢變化且未發(fā)生翻轉(zhuǎn)，航向角偏差逐漸收斂到零，這表明一子級(jí)飛行航向完全對(duì)準(zhǔn)著陸機(jī)場(chǎng)。在整個(gè)過(guò)程中，傾側(cè)角始終朝向一個(gè)方向逐漸減小到零。而若采用傳統(tǒng)再入軌跡設(shè)計(jì)方法，側(cè)向剖面的航向角誤差走廊將導(dǎo)致傾側(cè)角多次翻轉(zhuǎn)，對(duì)一子級(jí)控制系統(tǒng)造成過(guò)大壓力，甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)。

本文優(yōu)化模型以攻角變化率代替攻角作為控制變量，其主要目的是防止攻角過(guò)快變化，本質(zhì)上關(guān)注的仍是攻角變化過(guò)程本身。由圖6 可以看>出，返場(chǎng)過(guò)程中攻角曲線連續(xù)平穩(wěn)，幅值始終在約束范圍內(nèi)。在增高減速段，飛行器動(dòng)壓不斷減小，為滿(mǎn)足這一階段航跡角大于零的約束條件，攻角持續(xù)增大。在下降滑翔段，前期氣動(dòng)力過(guò)剩，攻角不斷減小；后期隨著飛行速度降低，攻角再次增大以保證終端高度。在整個(gè)飛行過(guò)程中，兩階段的攻角變化率均符合約束條件，有利于控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。

表1 一子級(jí)標(biāo)稱(chēng)條件Table 1 Nominal conditions for first stage

圖4 一子級(jí)優(yōu)化軌跡Fig.4 First stage optimization trajectory

圖5 側(cè)向剖面隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Time history of lateral profile

圖6 攻角隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Time history of angle of attack

相比之下，現(xiàn)有文獻(xiàn)給出的再入軌跡設(shè)計(jì)算法難以滿(mǎn)足本文提出的一子級(jí)返場(chǎng)軌跡設(shè)計(jì)需求，此處不再進(jìn)行對(duì)比。

4.2 返場(chǎng)軌跡在線生成

4.1節(jié)的軌跡設(shè)計(jì)未考慮分離點(diǎn)狀態(tài)偏差。在實(shí)際飛行過(guò)程中，一二級(jí)分離過(guò)程存在很大的分離擾動(dòng)，這將對(duì)飛行狀態(tài)產(chǎn)生顯著影響。假設(shè)組合體上升段軌跡跟蹤理想，考慮到分離過(guò)程非常短暫，認(rèn)為分離擾動(dòng)僅對(duì)縱向飛行剖面的狀態(tài)量速度和航跡角以及控制量攻角產(chǎn)生比較明顯的干擾。

分離后一子級(jí)初始偏差節(jié)點(diǎn)如下所示：

(23)

考慮上述初始狀態(tài)量和控制量偏差，通過(guò)前面介紹的分段優(yōu)化算法設(shè)計(jì)出離線軌跡庫(kù)。相關(guān)結(jié)果如圖7 所示。若需要考慮更大偏差，只需要適當(dāng)降低節(jié)點(diǎn)密度或增加與更大偏差對(duì)應(yīng)的參數(shù)網(wǎng)格數(shù)量即可。前者會(huì)導(dǎo)致精度有所降低，但在合理范圍內(nèi)可接受；后者會(huì)增加離線計(jì)算量和在線存儲(chǔ)量，但不會(huì)降低精度。

通過(guò)圖7 可以看出，在構(gòu)造的離線軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)中，軌跡各狀態(tài)量符合給定的各項(xiàng)約束條件。同時(shí)，在各組條件下傾側(cè)角均未發(fā)生翻轉(zhuǎn)，符合2.1節(jié)分析。

圖7 離線軌跡庫(kù)Fig.7 Offline trajectory database

在上述離線軌跡庫(kù)基礎(chǔ)上，根據(jù)分離時(shí)刻的實(shí)際飛行狀態(tài)，采用AMPI算法進(jìn)行在線軌跡生成。由AMPI算法原理可知，一般而言初始偏差取值與參數(shù)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)距離越遠(yuǎn)則精度越低。因此，可將各參數(shù)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的條件看作極限偏差條件。以如下極限初始偏差為例：

(24)

圖8將AMPI算法在線生成的飛行軌跡和采用AMPI算法給出的控制量進(jìn)行積分得到的軌跡進(jìn)行了對(duì)比。可以看出，AMPI算法成功生成了符合要求的飛行軌跡，且該軌跡與積分得到的軌跡幾乎完全重合，說(shuō)明AMPI算法具備足夠高的在線計(jì)算精度。

為進(jìn)一步驗(yàn)證AMPI算法的計(jì)算精度，在多組不同初始偏差條件下，采用AMPI算法進(jìn)行在線軌跡生成。初始狀態(tài)偏差如表2 所示，最終得到的軌跡終端誤差如表3 所示。從表3 可知，終端高度偏差普遍小于100 m且最大值約120 m，終端速度偏差小于6 m/s，終端航跡角可以忽略，終端航向角偏差普遍小于0.2°。上述仿真結(jié)果說(shuō)明，AMPI算法生成的軌跡能夠準(zhǔn)確地表示出一子級(jí)返場(chǎng)過(guò)程，且終端誤差較小，能夠滿(mǎn)足軌跡在線計(jì)算的精度要求。

最后，對(duì)AMPI算法計(jì)算效率進(jìn)行了分析，并與本文給出的優(yōu)化策略進(jìn)行了對(duì)比。在離線軌跡數(shù)據(jù)庫(kù)生成過(guò)程中，不同初始條件的軌跡優(yōu)化耗時(shí)大約30～60 s，而對(duì)應(yīng)的AMPI算法生成軌跡僅需0.2 s以?xún)?nèi)。從圖9 可見(jiàn)，AMPI在線生成的軌跡和離線優(yōu)化得到的軌跡基本重合。這說(shuō)明AMPI算法具備在線軌跡生成潛力，并且生成的軌跡十分接近最優(yōu)軌跡。

表2 初始偏差取值Table 2 Values of initial errors

表3 AMPI軌跡終端偏差Table 3 Final errors of AMPI trajectory

圖9 AMPI軌跡和優(yōu)化軌跡Fig.9 AMPI trajectory vs optimization trajectory

5 結(jié) 論

1) 提出的側(cè)向剖面的傾側(cè)角-航向角偏差策略能夠滿(mǎn)足兩級(jí)入軌運(yùn)載器一子級(jí)返場(chǎng)需求。在航向角偏差快速調(diào)整并逐漸減小至零的同時(shí)，軌跡的傾側(cè)角變化連續(xù)平緩且未發(fā)生翻轉(zhuǎn)，更符合一子級(jí)返場(chǎng)需求。

2) 提出的縱向剖面的分段優(yōu)化策略合理可行，適用于一子級(jí)返場(chǎng)軌跡優(yōu)化。生成的軌跡各段狀態(tài)量變化平穩(wěn)，高度曲線全程無(wú)跳躍，能夠滿(mǎn)足各項(xiàng)過(guò)程約束和終端約束。

3) 擴(kuò)展了AMPI算法的參數(shù)空間，并成功應(yīng)用于一子級(jí)返場(chǎng)軌跡在線生成問(wèn)題。擴(kuò)展后的AMPI算法保證了攻角連續(xù)變化。計(jì)算精度方面，終端高度偏差普遍小于100 m，速度偏差小于6 m/s，航跡角和航向角偏差可忽略，滿(mǎn)足在線軌跡生成需求。計(jì)算效率方面，耗時(shí)在0.2 s以?xún)?nèi)，具備在線應(yīng)用潛力。