蔣國平，王欣偉，吳 旭

(1.南京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院、人工智能學(xué)院，江蘇 南京 210023 2.江蘇省物聯(lián)網(wǎng)智能機(jī)器人工程實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210023)

近年來，隨著復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)理論的深入發(fā)展，針對復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性及可觀性的研究逐漸成為科研人員的關(guān)注熱點(diǎn)。一般的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)往往具有節(jié)點(diǎn)數(shù)量眾多、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜等特點(diǎn)，但只要通過施加有效的外部輸入變量，就能夠?qū)⒄麄€復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)控制到預(yù)期的目標(biāo)狀態(tài)，或是能夠?qū)φ麄€復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部進(jìn)行節(jié)點(diǎn)狀態(tài)觀測，將復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的演化行為向有利于人類生產(chǎn)生活的方向進(jìn)行引導(dǎo)。例如，在龐大的電力網(wǎng)絡(luò)中，眾多的變電站和用戶端口可以看作是不同類型的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，各網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間有向的相互作用可以看作是網(wǎng)絡(luò)連邊。若在每一個節(jié)點(diǎn)均施加控制輸入，將會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)控制成本極大增加，是既不現(xiàn)實(shí)也不合理的選擇。如果結(jié)合復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性理論，選擇網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)施加控制輸入，則可以達(dá)到有效調(diào)控整個電力網(wǎng)絡(luò)的效果，保證各變電站能夠輸出穩(wěn)定的電流，用戶端口維持在正常的用電狀態(tài)。在復(fù)雜的生態(tài)網(wǎng)絡(luò)中，不同物種可以看作是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，物種之間的捕食關(guān)系可以看作是網(wǎng)絡(luò)連邊，物種豐度即為節(jié)點(diǎn)狀態(tài)。在目前的科研水平下，無法精確地對每一個物種施加有效干預(yù)，使得整個生態(tài)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到預(yù)期狀態(tài)。然而，研究人員可以基于復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性理論，篩選生態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵物種。該類物種往往易于被外部輸入干預(yù)，在生態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中具有重要影響。針對該類物種進(jìn)行外部干預(yù)，可以降低有害種群豐度，促進(jìn)有益種群發(fā)展，控制整個生態(tài)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到各物種有效共存的平衡狀態(tài)，這種方法在生物醫(yī)療領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。上述關(guān)于復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性的案例在現(xiàn)實(shí)世界中是廣泛存在的，在金融網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)、通信網(wǎng)絡(luò)、基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)等不同的研究領(lǐng)域均有類似案例。由此可見，深入研究和發(fā)展復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性及可觀性理論，具有重要的實(shí)際意義及應(yīng)用價值。

本文詳細(xì)介紹分析近年來復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性及可觀性的研究成果。第一部分主要探討復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性。首先，討論線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)可控性及結(jié)構(gòu)可控性；接著，從圖論的角度出發(fā)，討論復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性及牽制可控性，分析節(jié)點(diǎn)動力學(xué)及網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對于復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性的影響；最后，從代數(shù)的角度出發(fā)，討論復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)可控性。第二部分主要探討復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可觀性。首先，討論線性復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可觀性；接著，討論非線性復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可觀性。第三部分給出總結(jié)及未來展望。

1 復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性

關(guān)于復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性的研究，最早源于線性時不變系統(tǒng)的可控性理論。在現(xiàn)實(shí)世界中，盡管很多真實(shí)系統(tǒng)的動態(tài)特性是非線性的，但是大量研究表明，線性系統(tǒng)的可控性研究在很多方面與非線性系統(tǒng)有著共通之處。線性系統(tǒng)可控性的定義便于進(jìn)行理論分析，也更加具有代表性。若某個線性系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量均可以由外部輸入從任意初始狀態(tài)控制到任意所需目標(biāo)狀態(tài)，則稱該線性系統(tǒng)為完全可控的?？紤]如下的線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程

其中，x（t）=（x1（t），x2（t），…，xn（t））T表示該系統(tǒng)的n維狀態(tài)變量，A∈Rn×n是系統(tǒng)矩陣，表征該系統(tǒng)的自身動態(tài)特性，u（t）=（u1（t），u2（t），…，um（t））T表示m維外部輸入變量，B∈Rn×m是輸入矩陣，表征該系統(tǒng)內(nèi)受控狀態(tài)的分布情況。當(dāng)且僅當(dāng)如下可控性矩陣滿足

即可控性矩陣為滿秩矩陣，則線性時不變系統(tǒng)（1）完全可控。該充分必要條件稱為Kalman秩判據(jù)［1］。Kalman秩判據(jù)是從代數(shù)的角度出發(fā)，對系統(tǒng)的狀態(tài)可控性進(jìn)行精確判定。然而，該線性系統(tǒng)可控性判據(jù)無法直接引申應(yīng)用于復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，原因如下：（1）該可控性判據(jù)需要明確知道網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞乃袡?quán)值，用于進(jìn)行矩陣計(jì)算，然而，對于大規(guī)模的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，從實(shí)際情況出發(fā)，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞乃袡?quán)值往往是不確定或者不可測的；（2）該可控性判據(jù)進(jìn)行矩陣計(jì)算的工作量在大規(guī)模的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中將成倍增長，需要計(jì)算由2N-1（N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量）個矩陣構(gòu)成的可控性矩陣的秩數(shù)，計(jì)算成本極大增加。因此，2011年，Liu等率先將線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可控性理論［2］引入到復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的領(lǐng)域中［3］。線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可控性理論［2］由Lin在1974年提出。針對線性時不變系統(tǒng)存在系統(tǒng)參數(shù)未知或者無法精確測量的情況，Lin從圖論的角度出發(fā)，提出了線性時不變系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)”及“結(jié)構(gòu)可控性”等新的概念，通過最大匹配原理對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，在無需知道任何參數(shù)權(quán)值的情況下，給出了線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可控性的判別準(zhǔn)則。Liu等結(jié)合了線性時不變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可控性理論，研究了由單維節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控性［3］。文獻(xiàn)［3］針對控制一個復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)所需最少的驅(qū)動節(jié)點(diǎn)數(shù)進(jìn)行研究，提出了最小輸入定理，即

其中，NI表示最少的外部輸入數(shù)量，ND表示最少的驅(qū)動節(jié)點(diǎn)數(shù)量，N表示所有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量，N-｜M*｜表示網(wǎng)絡(luò)中未被匹配的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。Liu等運(yùn)用了圖論中的最大匹配原理，通過對復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行匹配分類，找出了控制該網(wǎng)絡(luò)所需的最小驅(qū)動節(jié)點(diǎn)集。圖1給出了最大匹配過程的簡單實(shí)例。

如圖1所示，已匹配節(jié)點(diǎn)為綠色：x2由x1匹配，x3通過自環(huán)自匹配。未匹配節(jié)點(diǎn)為白色：x1未被任何節(jié)點(diǎn)匹配。根據(jù)最小輸入定理，僅需要對未匹配節(jié)點(diǎn)x1施加外部輸入，即可以完成對整個有向網(wǎng)絡(luò)的控制。接著，Liu等運(yùn)用最小輸入定理，對若干真實(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)了驅(qū)動節(jié)點(diǎn)數(shù)量主要由網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)分布所決定，對于稀疏的不均勻網(wǎng)絡(luò)控制難度最高，密集網(wǎng)絡(luò)或均勻網(wǎng)絡(luò)均可以通過最小驅(qū)動節(jié)點(diǎn)集進(jìn)行控制，同時，在網(wǎng)絡(luò)模型和真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中，驅(qū)動節(jié)點(diǎn)往往傾向于避開度數(shù)高的Hub節(jié)點(diǎn)。2013年，Chapman等［4］研究了線性時不變網(wǎng)絡(luò)的強(qiáng)結(jié)構(gòu)可控性。基于最大匹配原理，作者進(jìn)一步給出了約束匹配方法，推導(dǎo)出強(qiáng)結(jié)構(gòu)可控的充分必要條件；同時提出了一種O（n2）算法，該算法既能用于檢測任意一組輸入變量是否能夠使得網(wǎng)絡(luò)達(dá)到結(jié)構(gòu)可控，也能用于確定使得某個復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到結(jié)構(gòu)可控的一組合適的輸入變量集。2013年，Jia等［5］發(fā)現(xiàn)在特定的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎?，存在多種最小驅(qū)動節(jié)點(diǎn)集會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)在參與網(wǎng)絡(luò)控制中發(fā)揮的作用相異。為了量化這種參與程度的不同，作者采用隨機(jī)采樣算法量化了某個節(jié)點(diǎn)成為驅(qū)動節(jié)點(diǎn)的可能性。該算法不僅給出了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)控制能力的統(tǒng)計(jì)估計(jì)值，而且分析了多種微觀控制配置策略與受控整體網(wǎng)絡(luò)宏觀屬性之間的差距，證明了任意節(jié)點(diǎn)成為驅(qū)動節(jié)點(diǎn)的可能性是隨著節(jié)點(diǎn)入度降低的，并且與節(jié)點(diǎn)出度無關(guān)。2014年，Gao等［6］提出了目標(biāo)控制方案，該方案通過對預(yù)選節(jié)點(diǎn)子集進(jìn)行有效控制，使得所需的最少驅(qū)動節(jié)點(diǎn)數(shù)少于文獻(xiàn)［3］中結(jié)構(gòu)可控性判別方法給出的最少驅(qū)動節(jié)點(diǎn)數(shù)。作者基于最小輸入定理，結(jié)合“k-walk”理論，針對有向生成樹網(wǎng)絡(luò)，嚴(yán)格證明了如果某個節(jié)點(diǎn)到每個目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的路徑長度都是唯一的，則該節(jié)點(diǎn)可以控制一組目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，圖2通過簡單示例，給出了完全結(jié)構(gòu)可控和目標(biāo)可控所需驅(qū)動節(jié)點(diǎn)集的差別。對于更一般的情況，作者開發(fā)了一種貪婪算法，近似給出了針對大規(guī)模復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)控制所需的最小驅(qū)動節(jié)點(diǎn)集，發(fā)現(xiàn)了異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)比同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)具有更高的目標(biāo)可控性，目標(biāo)控制方案適用于很多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)。

如圖2所示，藍(lán)色箭頭表示外部控制輸入，在上述示例中，若要達(dá)到網(wǎng)絡(luò)整體受控，通過完全結(jié)構(gòu)可控方案所需的驅(qū)動節(jié)點(diǎn)數(shù)為3個，目標(biāo)可控方案所需的驅(qū)動節(jié)點(diǎn)數(shù)為1個。2014年，Zhang等［7］優(yōu)化了最大匹配算法，提出了一種優(yōu)先匹配算法選擇具有度數(shù)特性的最小驅(qū)動節(jié)點(diǎn)集，作者認(rèn)為文獻(xiàn)［3］中高度數(shù)節(jié)點(diǎn)往往無法成為驅(qū)動節(jié)點(diǎn)的觀點(diǎn)是基于對少量最小驅(qū)動節(jié)點(diǎn)集的分析。數(shù)值仿真結(jié)果表明，某些網(wǎng)絡(luò)的最小驅(qū)動節(jié)點(diǎn)集的平均度數(shù)往往大于整體網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的平均度數(shù)，驅(qū)動節(jié)點(diǎn)是否趨向于高度數(shù)節(jié)點(diǎn)，與網(wǎng)絡(luò)連邊方向有著密切的關(guān)系。2015年，Monshizadeh等基于文獻(xiàn)［6］所提出的目標(biāo)可控性，研究了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的強(qiáng)目標(biāo)可控性［8］。作者將目標(biāo)可控性看作是輸出可控性，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)可達(dá)子空間的結(jié)構(gòu)特性，運(yùn)用零強(qiáng)制集的概念，從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的角度給出了網(wǎng)絡(luò)的強(qiáng)結(jié)構(gòu)輸出可控性的判別準(zhǔn)則。2017年，Aguilar等［9］針對多智能體網(wǎng)絡(luò)，從圖論的角度提出了新的網(wǎng)絡(luò)可控性判別的必要條件。作者針對包含多個領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)的加權(quán)有向網(wǎng)絡(luò)，分析了圖對稱性和網(wǎng)絡(luò)不可控性之間的關(guān)系，明確了特定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)不可控性。2017年，Mousavi等［10］結(jié)合平衡集的思想，基于網(wǎng)絡(luò)中心性研究了無向網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控性和強(qiáng)結(jié)構(gòu)可控性。作者在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上，引入了廣義零強(qiáng)制集的概念，得出了可控子空間維度的下限值，給出了促進(jìn)結(jié)構(gòu)可控性和強(qiáng)結(jié)構(gòu)可控性結(jié)合的方法。2018年，Lou等［11］提出了一種新的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型——q-snapback網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)具有較多鏈狀及環(huán)狀結(jié)構(gòu)，其可控性具有更強(qiáng)的魯棒性。作者評估了該網(wǎng)絡(luò)的基本拓?fù)涮卣鳎缍确植?、平均路徑長度、聚類系數(shù)以及Pearson相關(guān)系數(shù)等，通過與多路同余網(wǎng)絡(luò)和一般無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比較，給出了該網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)可控性方面對于固定攻擊和隨機(jī)攻擊的魯棒性。2019年，Pang等［12］針對多層復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)連邊動力學(xué)，研究了其可控性問題。研究表明，使得多層復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的連邊動力學(xué)可控的最少驅(qū)動節(jié)點(diǎn)數(shù)和最少驅(qū)動連邊數(shù)存在特定的上下界值，并且該上下界值與同規(guī)模的單層網(wǎng)絡(luò)相比明顯不同。相比同規(guī)模的單層網(wǎng)絡(luò)，多層復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的連邊動力學(xué)在結(jié)構(gòu)上具有更強(qiáng)的可控性。層間的度數(shù)關(guān)聯(lián)程度對于連邊可控性有著重要影響。2019年，Zhang等［13］針對網(wǎng)絡(luò)規(guī)模逐漸增大的動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，分析了不斷演化的結(jié)構(gòu)可控性，提出了適時更改驅(qū)動節(jié)點(diǎn)的一般性準(zhǔn)則。相比于大多數(shù)文獻(xiàn)僅考慮了靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，作者考慮了在網(wǎng)絡(luò)中不斷增加新的節(jié)點(diǎn)和連邊的情況，在可控性約束條件下，運(yùn)用所提出的更改驅(qū)動節(jié)點(diǎn)策略解決了網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)充問題。上述文獻(xiàn)主要是從圖論的角度，研究了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性問題。

在很多關(guān)于復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性的研究中，還有一類較為特殊的研究，該類研究基于牽制控制思想，僅僅通過施加1個外部控制輸入，達(dá)到控制整個網(wǎng)絡(luò)的目的，這類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性通常稱之為牽制可控性。2007年，Chen等［14］在不假設(shè)拓?fù)渚仃噷ΨQ性、不可約性或線性的前提下，提出了一種耦合強(qiáng)度自適應(yīng)方法，推導(dǎo)了保證局部和全局穩(wěn)定收斂的充分條件，證明了單個控制器可以將耦合的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定到原點(diǎn)。2007年，Sorrentino等［15］將網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度與拓?fù)涞念l譜特性相結(jié)合，進(jìn)一步研究了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的牽制可控性。2012年，Wang等［16］提出了一種新的參數(shù)攝動方法，通過適當(dāng)?shù)馗淖兙W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，達(dá)到優(yōu)化復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)牽制可控性的目的。該方法的有效性在同構(gòu)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、異構(gòu)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)及不同類型的真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中得到了驗(yàn)證。2012年，Song等［17］基于M矩陣分析方法和有向生成樹特性，針對任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)給出了選取牽制節(jié)點(diǎn)位置及數(shù)量的一般性準(zhǔn)則，研究了一般復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的全局牽制可控性。2013年，Miao等［18］針對包含不同類型社團(tuán)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，研究了其牽制可控性問題，研究結(jié)果表明社團(tuán)結(jié)構(gòu)數(shù)量的增加或者強(qiáng)度的下降均有利于增強(qiáng)復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的牽制可控性。2015年，Ding等［19］引入了主干控制的概念，采用隨機(jī)采樣算法對單個節(jié)點(diǎn)之于網(wǎng)絡(luò)整體結(jié)構(gòu)可控性的作用進(jìn)行了量化計(jì)算和分析評估。在上述文獻(xiàn)中，所考慮的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型大多數(shù)是由單維節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，其研究結(jié)論對于大量真實(shí)存在的由多維節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)而言并不適用。同時，節(jié)點(diǎn)自身的動態(tài)特性對于復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性也會產(chǎn)生很大影響，是在研究網(wǎng)絡(luò)可控性過程中應(yīng)審慎考慮的重要因素。

隨著復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性研究的深入，科研人員發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)自身動力學(xué)特性對于整體網(wǎng)絡(luò)可控性的影響不可忽略。2012年，Cowan等［20］認(rèn)為相比于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度分布，節(jié)點(diǎn)自身的動態(tài)特性才是決定復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性的關(guān)鍵性因素，施加于功率支配集的單個控制輸入是復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到結(jié)構(gòu)可控的必要條件。2014年，Gates等［21］認(rèn)為復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可以看作是大型非線性多元系統(tǒng)，從圖論的角度出發(fā)，有助于研究拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對網(wǎng)絡(luò)可控性產(chǎn)生的影響，但是忽略了節(jié)點(diǎn)固有多維動力學(xué)特性所發(fā)揮的作用。網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)自身具有多維狀態(tài)，同時可以自動更新狀態(tài)是研究網(wǎng)絡(luò)可控性的重要設(shè)定之一。2015年，Zhao等［22］研究了節(jié)點(diǎn)動力學(xué)特性的多樣性對網(wǎng)絡(luò)可控性的影響。作者發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性的全局對稱性，即交換任意兩種不同類型動力學(xué)單元的密度不會改變其網(wǎng)絡(luò)可控性，網(wǎng)絡(luò)可控性的峰值出現(xiàn)在全局對稱點(diǎn)上，此時，不同類型的動力學(xué)單元具有相同的密度。2017年，Wang等［23］針對具有n維節(jié)點(diǎn)動態(tài)特性的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合圖論中的最大匹配原理，研究了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控性問題。在一定條件下，將原n維網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)看作是n個單維子網(wǎng)疊加而成，基于文獻(xiàn)［3］，針對所有單維子網(wǎng)進(jìn)行最大匹配：若網(wǎng)絡(luò)達(dá)到完美匹配，則任選一個節(jié)點(diǎn)，對該節(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)施加控制，即可完全控制整個網(wǎng)絡(luò)；若存在未匹配節(jié)點(diǎn)，則針對這些未匹配節(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)施加控制，即可使得網(wǎng)絡(luò)達(dá)到結(jié)構(gòu)可控狀態(tài)。圖3是“分解”多維網(wǎng)絡(luò)的簡單示例。

2018年，Hou等［24］在線性動力學(xué)的框架下，研究了控制輸入矩陣和節(jié)點(diǎn)動態(tài)特性對于網(wǎng)絡(luò)的可控性。作者以控制輸入矩陣列向量為設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，最大化可控子空間，在保證網(wǎng)絡(luò)可控性的前提下，給出了控制輸入矩陣的設(shè)計(jì)方法。研究結(jié)果表明，在單維節(jié)點(diǎn)動態(tài)特性下，高度異質(zhì)的節(jié)點(diǎn)動力學(xué)可以支配網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，同質(zhì)的節(jié)點(diǎn)動力學(xué)對網(wǎng)絡(luò)可控性沒有影響；在多維節(jié)點(diǎn)動態(tài)特性下，可控網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜涂煽毓?jié)點(diǎn)動力學(xué)同時存在仍然不足以確保整個網(wǎng)絡(luò)的可控性。上述文獻(xiàn)大多數(shù)是從圖論的角度出發(fā)，研究復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控性。

目前，針對復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)可控性的研究主要是從代數(shù)的角度出發(fā)的。2012年，Yazicioglu等［25］運(yùn)用代數(shù)圖論工具，研究了具有靜態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)可控性問題。研究結(jié)果表明，該類網(wǎng)絡(luò)的可控性矩陣秩數(shù)具有嚴(yán)格的下限值。此下限值是基于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)到領(lǐng)導(dǎo)節(jié)點(diǎn)的距離推導(dǎo)得出的，該結(jié)論對于具有任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)且包含多個領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體網(wǎng)絡(luò)依然成立。2013年，Yuan等［26］基于線性時不變系統(tǒng)的PBH可控性判據(jù)，提出了一種基于拓?fù)渚仃囂卣髦底畲笾財?shù)的精確可控性判別準(zhǔn)則。針對具有任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和連邊權(quán)重分布的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)，該準(zhǔn)則可以有效識別實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)完全控制的最小驅(qū)動節(jié)點(diǎn)集。2016年，Wang等［27］研究了MIMO網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性，該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是有向加權(quán)的，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)是高維線性時不變系統(tǒng)。作者分析了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、節(jié)點(diǎn)動力學(xué)、外部控制輸入及內(nèi)部交互作用等對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可控性的影響。研究結(jié)果表明，整體網(wǎng)絡(luò)可控性是上述相關(guān)因素綜合作用的結(jié)果，不僅僅取決于節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)可控性或者拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可控性等單方面因素。2019年，Zhu等［28］研究了一類特殊的有向復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)可控性問題，該類網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)動力學(xué)是線性時不變奇異系統(tǒng)。作者分別針對SISO和MIMO網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，推導(dǎo)了保證復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)R-可控性及C-可控性的充分必要條件。2019年，Hao等［29］針對Kronecker乘積網(wǎng)絡(luò)，給出了其滿足狀態(tài)可控性的充要條件。作者分析了有向因子網(wǎng)絡(luò)對于整體網(wǎng)絡(luò)可控性的影響，同時，對于至少存在一個因子網(wǎng)絡(luò)可對角化的特殊情況，給出了一種易于驗(yàn)證的判別方法。

2 復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可觀性

作為可控性的對偶概念，可觀性描述了利用測量到的輸出重構(gòu)系統(tǒng)所有狀態(tài)的可能性，可觀性問題是眾多復(fù)雜系統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)問題?？煽乜捎^性概念由Kalman在線性動態(tài)系統(tǒng)中提出，隨后由其他研究者擴(kuò)展到非線性動態(tài)系統(tǒng)［30-31］。Liu等［32］認(rèn)為在復(fù)雜系統(tǒng)中，各個系統(tǒng)組成部分相互關(guān)聯(lián)，因而選擇一組合適的狀態(tài)變量集合可以包含剩余變量的充分信息，從而重構(gòu)系統(tǒng)的完整狀態(tài)。對于線性系統(tǒng)，可觀性問題可以利用對偶性轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)置網(wǎng)絡(luò)的最少輸入問題解決。而對于非線性系統(tǒng)，作者通過一種圖的形式（推理圖）描述系統(tǒng)各部分之間的互相依賴關(guān)系，接著將該圖分解為最大強(qiáng)連通分量（Strongly Connected Component，SCC）的集合，最終從每個根強(qiáng)連通分量（Root SCC，rSCC）選擇一個節(jié)點(diǎn)作為被測量節(jié)點(diǎn)，從而得到一個可行的最少狀態(tài)變量集合觀測整個系統(tǒng)，該方法被稱為圖方法（Graphical Approach，GA）。自Liu之后，可觀性問題引起了眾多研究者的關(guān)注。

針對線性時不變系統(tǒng)，Pequito等［33］基于最大化不同rSCC中未被匹配節(jié)點(diǎn)數(shù)量的策略，從圖方法的角度，提出了相應(yīng)算法尋找最少測量節(jié)點(diǎn)集，解決該類系統(tǒng)的最優(yōu)傳感器配置問題。進(jìn)一步地，又針對大規(guī)?？刂葡到y(tǒng)提出了一個有效的統(tǒng)一框架，選擇最少數(shù)量的控制和觀測變量以及最少數(shù)量的反饋連接，以解決輸入輸出與控制配置的聯(lián)合最稀疏選擇問題［34］。而從代數(shù)的角度，Yin等［35］將最少受控節(jié)點(diǎn)集的辨識問題映射為約束組合優(yōu)化問題，并用分支定界法（Branch and Bound Method）求解。Sarma等［36］定義了最少稀疏可觀性問題（Minimal Sparse Observability Problem，MSOP），旨在辨識出傳感器的最小集合以及它們的位置，從而使得一個大規(guī)模離散復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)是可觀的，通過貪婪算法分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)算法，確定最稀疏測量向量以及設(shè)計(jì)稀疏卡爾曼濾波器。Sakha等［37］通過應(yīng)用狹義遺傳算法（Restricted Genetic Algorithm，RGA）開發(fā)出一種新的在大規(guī)模系統(tǒng)中放置傳感器和執(zhí)行器的方法。不同于其他方法，該方法不僅能夠適用于不穩(wěn)定系統(tǒng)，還能顯著地降低計(jì)算復(fù)雜度。Gracy等［38］研究了如何重構(gòu)具有時變拓?fù)涞木€性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的初始狀態(tài)和未知輸入的問題（即輸入和狀態(tài)的結(jié)構(gòu)可觀性問題），分別針對輸入和狀態(tài)的結(jié)構(gòu)和強(qiáng)結(jié)構(gòu)可觀性問題，推導(dǎo)出相應(yīng)的充分條件和必要條件。

在非線性系統(tǒng)的可觀性研究中［39-50］，布爾網(wǎng)絡(luò)作為一類離散非線性系統(tǒng)被廣泛研究。布爾網(wǎng)絡(luò)是廣泛應(yīng)用于生物系統(tǒng)的重要模型，在該網(wǎng)絡(luò)中，每一個基因（網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點(diǎn)）被構(gòu)建為一個二值裝置，整個網(wǎng)絡(luò)變量的演變由變量間的邏輯關(guān)系決定。為了操控布爾網(wǎng)絡(luò)，引入了布爾控制輸入，構(gòu)建了布爾控制網(wǎng)絡(luò)。Zhu等［39］為了研究布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀性，將兩個具有相同轉(zhuǎn)移矩陣的布爾控制網(wǎng)絡(luò)合并成一個新的布爾控制網(wǎng)絡(luò)，推導(dǎo)出布爾控制網(wǎng)絡(luò)可觀的多個必要與充分條件。另外，還提出了一個算法并且構(gòu)建了一個可觀性圖，確定布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可觀性。Yu等［40］研究了一般布爾控制網(wǎng)絡(luò)的輸入可觀性（也被稱為非奇異性）問題，先通過圖方法將全局非奇異性轉(zhuǎn)化為逐點(diǎn)有限步非奇異性（Pointwise Finite-step Nonsingularity），隨后給出了一系列矩陣形式的準(zhǔn)則辨識出非奇異性，并據(jù)此設(shè)計(jì)出合適的逆布爾控制網(wǎng)絡(luò)。Liu等［41］利用矩陣的半張量積方法研究布爾網(wǎng)絡(luò)的可觀性問題，將不可觀測狀態(tài)分成兩類，一類為可利用分塊思想容易確定的不可觀狀態(tài)，另一類則為可基于轉(zhuǎn)移矩陣的子圖和分塊思想確定的不可觀狀態(tài)。Zhou等［42］利用并行擴(kuò)展技術(shù)，將概率布爾網(wǎng)絡(luò)的可觀性問題轉(zhuǎn)化為互連的概率布爾網(wǎng)絡(luò)的集合可達(dá)性問題，并通過重構(gòu)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖（State Transfer Graph，STG）設(shè)計(jì)了一個隨機(jī)邏輯動態(tài)系統(tǒng)（Random Logic Dynamical System，RLDS）分析集合可達(dá)性。Yu等［43］從邏輯矩陣方程的新視角研究布爾網(wǎng)絡(luò)的可觀性問題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)構(gòu)造的矩陣方程有唯一的標(biāo)準(zhǔn)解時，一個布爾網(wǎng)絡(luò)在可達(dá)狀態(tài)集上是局部可觀的，并且結(jié)合一種等價關(guān)系，推導(dǎo)出保證全局可觀的新條件。Liu等［44］研究了概率布爾多重網(wǎng)絡(luò)的可觀性問題，提出了概率布爾多重網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)模型和結(jié)構(gòu)，通過利用半張量積方法，將概率布爾多重網(wǎng)絡(luò)的邏輯動態(tài)轉(zhuǎn)化為一個等價的代數(shù)表達(dá)式，從而推導(dǎo)出概率布爾多重網(wǎng)絡(luò)的可觀性條件。

除了布爾網(wǎng)絡(luò)，Kawano等［45］定義并研究了網(wǎng)絡(luò)動態(tài)由非線性平衡方程表示的一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可觀性問題，對于非線性平衡方程，根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步地將非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可觀的必要條件與傳統(tǒng)的傳感器節(jié)點(diǎn)選擇方法聯(lián)系起來。對于一般非線性動態(tài)系統(tǒng)，Letellier等［46］通過一個符號雅可比矩陣計(jì)算可觀性系數(shù)，其中，符號雅可比矩陣的元素由系統(tǒng)變量之間交互的線性、非線性多項(xiàng)式或合理特性組成。該方法的關(guān)鍵是從符號雅可比矩陣辨識出需要測量的變量的最小集合，從而完成整個系統(tǒng)狀態(tài)空間的重構(gòu)。隨后，Letellier等［47］根據(jù)系統(tǒng)方程的雅可比矩陣，構(gòu)建了一個剪枝通量圖（Pruned Fluence Graph），其中節(jié)點(diǎn)為狀態(tài)變量，連邊表示忽略非線性部分之后的線性動態(tài)部分，再從圖中各個root SCC中選擇一個節(jié)點(diǎn)作為測量節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)整個非線性系統(tǒng)的觀測。針對具有明確對稱性的非線性網(wǎng)絡(luò)，Whalen等［48］探究了對稱性與可觀性的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中對稱性的存在可能會降低可觀性，而僅僅存在旋轉(zhuǎn)對稱的網(wǎng)絡(luò)仍然是可觀的。

3 結(jié)束語

結(jié)合復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性及可觀性理論，對少量網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)施加外部輸入，就能夠?qū)⒄麄€復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)控制到預(yù)期的目標(biāo)狀態(tài)，或是能夠?qū)φ麄€復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)觀測，將復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的演化行為向有利于人類生產(chǎn)生活的方向進(jìn)行引導(dǎo)，具有重要的實(shí)際意義及應(yīng)用價值。本文詳細(xì)介紹了近年來復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性及可觀性的研究成果。第一部分主要介紹了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性。從對系統(tǒng)狀態(tài)可控性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可控性的討論，引入到對復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性、復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)牽制可控性的討論，分析了節(jié)點(diǎn)動態(tài)特性及網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對于復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可控性的影響，從代數(shù)的角度出發(fā)，介紹了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)可控性。第二部分主要介紹了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可觀性。首先，討論了線性復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可觀性；接著，討論了非線性復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可觀性。在未來的研究工作中，可以關(guān)注以下幾個方面：

（1）目前，大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)可控性研究是基于節(jié)點(diǎn)動力學(xué)為線性時不變系統(tǒng)的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)展開的，針對非線性復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)可控性及狀態(tài)可控性問題，如何發(fā)展出一套精確、完善的分析理論，值得深入思考。

（2）大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)可控性及可觀性研究是基于理想的網(wǎng)絡(luò)模型，然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，存在大量非理想或不確定的通信干擾因素，例如隨機(jī)噪聲、信息時延等。這些通信干擾因素將會對復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性及可觀性產(chǎn)生怎樣的影響，有待進(jìn)一步分析研究。

（3）關(guān)于節(jié)點(diǎn)動態(tài)特性及網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)可控性及可觀性影響的研究仍未深入涉及。如何將這兩種因素產(chǎn)生的影響進(jìn)行定性定量的研究分析，具有一定的挑戰(zhàn)性。