非線(xiàn)性橢圓方程變分方法研究的若干新進(jìn)展

云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

1 項(xiàng)目研究的背景和意義

Hilbert與變分法：1900年， 國(guó)際數(shù)學(xué)領(lǐng)袖、20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家D.Hilbert在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上， 提出的23個(gè)著名數(shù)學(xué)問(wèn)題中有3個(gè)問(wèn)題與變分法直接相關(guān)， 特別是第23個(gè)問(wèn)題就是 “變分法的進(jìn)一步發(fā)展”，Hilbert認(rèn)為變分法將匯入20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的主流。

希爾伯特(David Hilbert 1862-1943)

變分法的起源：18世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家J.Bernoulli提出了最速降線(xiàn)問(wèn)題：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，從一個(gè)給定點(diǎn)A到不在它垂直下方的另一點(diǎn)B，如果不計(jì)摩擦力，問(wèn)沿著什么曲線(xiàn)滑下所需時(shí)間最短?

變分法的重要里程碑：1973年，意大利倫琴科學(xué)院院士A.Ambrosetti和美國(guó)科學(xué)院院士P.H.Rabinowitz提出了著名的山路定理， 標(biāo)志著變分法有了重大發(fā)展。

變分法的近期發(fā)展：2018年，意大利數(shù)學(xué)家A.Figalli因在最優(yōu)傳輸理論及其在偏微分方程等方面的應(yīng)用做出的重要貢獻(xiàn)獲菲爾茲獎(jiǎng)(Fields Medal， 這是數(shù)學(xué)界2個(gè)最重要獎(jiǎng)項(xiàng)之一)。

A.Figalli

變分法中的2個(gè)典型困難：一是失去“緊性”；二是失去“光滑性”。

失去“緊性”的問(wèn)題：最早在文[H.Brezis，L.Nirenberg，Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents， Comm.Pure Appl.Math.36 (1983)437-477]中提出。

失去“緊性”的典型例子Brezis-Nirenberg 問(wèn)題：有界區(qū)域上帶臨界指數(shù)的問(wèn)題

失去“光滑性”的問(wèn)題：最早出現(xiàn)在文[S.Kurihara， Large-amplitude quasi-solitons in superfluids films， J.Phys.Soc.Jpn.50(1981)3262-3267]中提出的一類(lèi)帶修正項(xiàng)的Schrodinger方程駐波的研究中.

X不是一個(gè)線(xiàn)性空間，u，v屬于X，不一定屬于X，很難找到一個(gè)合適的空間， 使得I是光滑泛函，這導(dǎo)致很多經(jīng)典的變分技巧不能直接用來(lái)研究該方程。

項(xiàng)目提出了變分泛函擾動(dòng)法。變分泛函擾動(dòng)法的主要思想：用光滑泛函逼近非光滑泛函。 考慮擾動(dòng)泛函

2 項(xiàng)目主要研究?jī)?nèi)容及發(fā)現(xiàn)點(diǎn)

1）提出了一種把非光滑變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)變分問(wèn)題的新方法——變分泛函擾動(dòng)法。克服了約束極小化、Nehari流形和變量代換等方法不能研究一般擬線(xiàn)性橢圓方程的局限性。該方法具有原創(chuàng)性， 已成為研究具有重要物理背景的帶修正項(xiàng)的Schr?dinger 方程解存在性的1種重要方法。

2）對(duì)擾動(dòng)方法做了進(jìn)一步的討論， 通過(guò)添加2項(xiàng)擾動(dòng)來(lái)獲得擬線(xiàn)性橢圓方程變號(hào)解的存在性。 特別將我們提出的新方法應(yīng)用于幾類(lèi)典型的擬線(xiàn)性橢圓方程：全空間上擬線(xiàn)性橢圓方程；帶參數(shù)形式擬線(xiàn)性橢圓方程；帶臨界指數(shù)擬線(xiàn)性橢圓方程.取得了突破性的進(jìn)展。

3）項(xiàng)目還有其他幾個(gè)重要工作， 例如：全空間上非線(xiàn)性Schr?dinger方程組混合態(tài)解的存在性；漸近線(xiàn)性Schr?dinger方程變號(hào)解、半空間橢圓邊值問(wèn)題、重調(diào)和方程及帶Hardy項(xiàng)的p-重調(diào)和方程變號(hào)解、哈密頓性橢圓方程組半經(jīng)典問(wèn)題基態(tài)解的集中現(xiàn)象等。

3 成果的收錄、引用及評(píng)價(jià)情況

該成果的70篇論文發(fā)表在Calc.Var.Partial Differential Equations， Comm.Partial Differential Equations， J.Differential Equations， Nonlinearity， Proc.Amer.Math.Soc.等該領(lǐng)域國(guó)際公認(rèn)的權(quán)威期刊上，全部被SCI收錄， 其中JCR一區(qū)期刊上52篇。ESI高被引論文5篇， 其新方法、新思想及新結(jié)果被國(guó)內(nèi)外同行在 Calc.Var.Partial Differential Equations，Comm.Partial Differential Equations，J.Differential Equations， Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.， Z.Angew.Math.Phys.等 SCI刊物上總引697次， 他引510次；單篇SCI論文他引最高為67次； 20篇核心論文SCI他引383次；8篇代表性論文SCI他引192次。

所開(kāi)展的系列工作被國(guó)際數(shù)學(xué)界最重要的評(píng)論機(jī)構(gòu)“美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》”收錄并摘評(píng)。例如：日本Kyoto Sangyo University， W.Tatsuya 教授在美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論代表性論文[1]：“In this paper，the authors propose a newapproach…Their approach is effective for dealing with multiple solutions of quasilinear equations in a general form to which the idea of change of variables does not apply (在該文中，作者提出了一種新方法，克服了變量代換方法不能研究一般擬線(xiàn)性橢圓方程的局限性，并用該方法獲得了其無(wú)窮多解的存在性)”美國(guó)St.John’s University，F(xiàn).Catrina教授在美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論代表性論文[3]：“The authors use a perturbation method to prove the existence of ground state solutions to modified nonlinear Schr"odinger equations.The existence of solutions is proved first for a perturbed problem with additional terms， and with constant(作者利用擾動(dòng)方法證明了帶修正項(xiàng)的擬線(xiàn)性Schr?dinger方程基態(tài)解的存在性，這是該方程在臨界情形下解存在性的第一個(gè)結(jié)果)”。

項(xiàng)目提出的新方法、新思想及獲得的新結(jié)果被美國(guó)、 意大利、日本、巴西、突尼斯、越南、波蘭以及國(guó)內(nèi)同行在該領(lǐng)域國(guó)際公認(rèn)的權(quán)威期刊上多次介紹和引用。國(guó)內(nèi)也有很多同行對(duì)我們的工作給予了高度評(píng)價(jià)。

4 促進(jìn)科學(xué)發(fā)展的重要意義

1）發(fā)展了變分法，針對(duì)失去“光滑性”的問(wèn)題，原創(chuàng)性地提出一種把非光滑變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為光滑變分問(wèn)題的新方法——變分泛函擾動(dòng)法， 完全克服了約束極小化、Nehari流形和變量代換等方法不能研究一般擬線(xiàn)性橢圓方程的局限性，該方法已成為研究擬線(xiàn)性橢圓方程特別是有重要物理意義的帶修正項(xiàng)的Schr?dinger方程解存在性的主要方法之一(見(jiàn)代表性論文[1])。

2）應(yīng)用所提出的新方法在擬線(xiàn)性橢圓方程解的存在性、多重性及解的性態(tài)分析等問(wèn)題取得了突破性進(jìn)展(見(jiàn)代表性論文[2，3，6，7])。

3）發(fā)現(xiàn)了全空間及半空間上p-Laplace算子第二特征值及其等價(jià)定義，刻畫(huà)了該算子的特征值序列并完整描繪了相應(yīng)的特征曲線(xiàn)圖，結(jié)合團(tuán)隊(duì)所發(fā)展的Cerami條件下的變號(hào)臨界點(diǎn)定理，進(jìn)而在全空間及半空間上帶位勢(shì)井的漸近線(xiàn)性p-Laplace方程變號(hào)解存在性方面獲得系列全新結(jié)果；在高階Sobolev空間中提出了1種新的產(chǎn)生流不變集的算子，得到了重調(diào)和方程及帶Hardy項(xiàng)的p-重調(diào)和方程變號(hào)解的存在性(見(jiàn)代表性論文[4，5，8])。

4）代表性文獻(xiàn)

[1]Xiangqing Liu，Jiaquan Liu， Zhiqiang Wang.Quasilinear elliptic equations via perturbation method.Proc.Amer.Math.Soc.141(1) (2013) 253-263.

[2]Xiangqing Liu， Jiaquan Liu， Zhiqiang Wang.Quasilinear elliptic equations with criticalgrowth via perturbation method.J.Differential Equations 254(2013) 102-124.

[3]Xiangqing Liu， Jiaquan Liu， Zhiqiang Wang.Ground states for quasilinear Schr?dinger equations with critical growth.Calc.Var.Partial Differential Equations 46 (2013)641-669.

[4]Xiangqing Liu， Yisheng Huang.On signchanging solution for a fourth-order asymptotically linear elliptic problem.Nonlinear Anal.72 (2010)2271-2276.

[5]Xiangqing Liu， Jiaquan Liu.On a boundary value problem in the half-space.J.Differential Equations 250 (2011) 2099-2142.

[6]Xian Wu.Multiple solutions for quasilinear Schr?dinger equations with a parameter.J.Differential Equations 256(7) (2014) 2619-2632.

[7]Xian Wu， Ke Wu.Existence of positive solutions， negative solutions and high energy solutions for quasilinear elliptic equations on RN.Nonlinear Anal.Real World Appl.16(2014)48-64.

[8]Yanheng Ding， Cheng Lee， Fukun Zhao*.Semiclassical limits of ground state solutions to Schr?dinger systems.Calc.Var.Partial Differential Equations 51(2014) 725-760.